Математическая экономика

вовании которых трудно догадаться. Речь идет о таких факторах, как многоэкстремальность, вырожденность, очень высокая чувствительность к исходным данным, плохая обусловленность [15, 32, 37]. Часто такие факторы рассматривают как разного рода проявления так называемой некорректности задач [15]. Тем, кто знает о существовании таких «подводных камней», но не имеет еще достаточного практического опыта в решении задач, обычно кажется, что они являются какой-то экзотикой и встреча с ними представляется маловероятной. Однако, когда им приходится исследовать свою конкретную задачу, часто возникают указанные препятствия.

Автор имел возможность много раз убедиться в этом. Например, при отыскании наименьшего значения целевой функции, возникшей в одной прикладной задаче, одна и та же программа, реализованная на различных вычислительных машинах, при одних и тех же исходных данных, дала существенно различные результаты. Тщательный анализ ситуации позволил понять, что решаемая задача является плохо обусловленной и разницы в длине машинных слов, с которыми работали эти машины, оказалось достаточно для того, чтобы спровоцировать значительную разницу в получаемом решении.

7.Изложенные обстоятельства дают основания для того, чтобы согласиться с мнением [32], в соответствии с которым оптимизацию следует рассматривать и как науку, и как искусство. Безусловно, в основе решения любой оптимизационной задачи лежит научная база, связанная с построением математической модели, выбором и реализацией математического метода, использующего эту модель. Однако успех в использовании математического аппарата от формулировки задачи до получения решения во многом зависит от творческих способностей, интуиции, опыта специалиста, решающего задачу, в том числе и умения «обходить подводные камни», а это уже искусство.

291

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ РАЗДЕЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

К главе 1

[1]: § 1.1 – задачи об оптимальном планировании производства, задача об оптимальном раскрое ткани, задача о перевозках, задача о размещении предприятий, задача о распределении удобрений по посевным площадям, задача об оптимальном составе смеси.

[14]: гл. II – балансовые модели; гл. VI – транспортные задачи; гл. VII – задачи об оптимальном распределении взаимозаменяемых ресурсов, задачи об оптимальных назначениях; гл. VIII – задача об оптимальном планировании производства, задачи об оптимальном рационе и задачи о смесях, задача об оптимальном ассортименте, задача о раскрое, задача об оптимальном регулировании запасов; гл. X – целочисленные задачи оптимального планирования; гл. XI – нелинейные задачи оптимального планирования.

[20]: гл. 20, 21 – задачи оптимального планирования производства; гл. 23 – транспортные задачи; гл. 26 – задача о назначениях.

К главе 2

[1]: гл. 1 – общая формулировка и примеры задач линейного программирования, методика их решения, в том числе симплекс-метод, двойственные задачи и двойственный симплекс-метод, большой набор задач для самостоятельного решения и примеры решения; гл. 2 – специальные задачи ЛП, включая транспортные и целочисленные задачи, задачи параметрического, дробно-рационального и блочного программирования.

[15]: гл. 4 – 5 – общая теория линейного программирования, особо рассмотрены различные аспекты реализации вычислений по симплекс-методу, в том числе проблемы врожденности, рассмотрена методика декомпозиции задач ЛП.

[11]: гл. 2 – задачи ЛП, симплекс-метод, метод обратной матрицы и декомпозиционные методы решения ЗЛП большой размерности, многокритериальные ЗЛП.

[32]: гл. 2 – 7 – формулировка и примеры задач ЛП, градиентное решение и симплекс-метод, особые случаи в применении симплекс-метода, использование симплекс-таблиц для исследования модели ЗЛП на чувствительность к изменениям запасов ресурсов и вариации коэффициентов целевой функции, экономическая интерпретация двойственности, связь ЛП с транспортными и сетевыми задачами, матричное представление ЗЛП, модифицированный симплекс-метод, декомпозиция в ЛП, параметрическое ЛП, целочисленное ЛП, в том числе метод ветвей и границ, метод отсекающих плоскостей и булево программирование.

292

[3]: гл. 1 – 5 – общая теория ЛП и симплекс-метод, алгоритмы решения ЗЛП на базе симплекс-метода и листинги программ, реализующих эти алгоритмы на Бэйсике.

[14]: гл. II – V – применение матричной алгебры в экономических расчетах, балансовые модели, симплекс-метод, теория двойственности и экономическая интерпретация двойственных задач; большой набор задач для самостоятельного решения с примерами решений и ответами.

К главе 3

[6]: гл. 2 – различные формулировки транспортных задач и их решение на основе метода потенциалов.

[14]: гл. VI – решение транспортных задач методом потенциалов и распределительным методом, открытые модели ТЗ.

[23]: гл. 1 – решение ТЗ методом потенциалов и дельта-методом, приложения ТЗ к решению различных экономических задач – об увеличении производительности автомобильного транспорта за счет минимизации порожнего пробега, об оптимальных назначениях, об оптимизации суммарных расходов предприятия на производство и транспортировку продукции, об оптимальном размещении предприятий, при котором суммарные затраты на доставку сырья, производство продукции и ее транспортировку были минимальными.

К главе 4

[18]: гл. 2 – основные определения теории графов (кратко), задачи о кратчайшем пути в графе и графе наименьшей длины, а также задачи на транспортных сетях.

[21]: гл. 1 – 7 – основные понятия теории графов (подробно); гл. 8 – задачи о кратчайших путях; гл. 10 – задача о кратчайшем остове, а также задача коммивояжера и задача о назначениях; гл. 11 – потоки в сетях.

[22]: гл. 2 – основные определения теории графов, задача о кратчайших путях в графе, задачи на транспортных сетях.

[25]: гл. 1 – основные понятия; гл. 2 – алгоритмы построения деревьев; гл. 3 – алгоритмы поиска путей; гл. 4 – потоковые алгоритмы; гл. 5 – 8 – задачи о паросочетаниях, задача почтальона, задача коммивояжера и задачи размещения; гл. 9 – сетевые графики.

[29]: гл. 1 – 10 – подробное изложение основных понятий теории графов; гл. 15 – оптимизационные алгоритмы, включая алгоритмы отыскания кратчайших путей, отыскания оптимальных деревьев; решение задач об оптимальных назначениях и составлении расписаний, решения оптимизационных задач в транспортных сетях.

293

ДП (задач с мультипликативным критерием, целочисленные задачи ДП, задач о маршрутизации, стохастических задач).

[5]: гл. 8 – 12 – общая методология ДП, решение различных задач ДП (об управлении запасами, распределении усилий и др.), анализ вычислительных возможностей и области эффективного применения метода ДП.

[32]: гл. 9 – принципы построения и примеры моделей ДП, проблемы практического применения ДП, в том числе проблема размерности, применение методологии ДП для решения задач линейного программирования.

К главе 7

[22]: гл. 11 – задачи Лагранжа, Майера и Больца, уравнение Эйлера, условие Лежандра, условие трансверсальности, задачи с вырожденными функционалами и их решение с использованием метода Кротова; приближенные методы решения задачи вариационного исчисления (метод Ритца и метод Эйлера).

[30]: гл. 3 – классические задачи Лагранжа, Больца и Майера, необходимые условия в форме уравнения Эйлера – Лагранжа и условия трансверсальности, решение вариационных задач с дополнительными ограничениями в форме равенств и неравенств; примеры решений, задачи для самостоятельного решения.

[31]: гл. 13 – основные понятия вариационного исчисления, классические задачи и необходимые условия в форме уравнения Эйлера – Лагранжа, условие Лежандра, условия Вейерштрасса; задачи с ограничениями типа равенств и неравенств, применение аппарата ВИ для решения задач оптимального управления; примеры решений и задачи для самостоятельного решения.

[34]: гл. 10, §10.2 – вариационные задачи с закрепленными концами и фиксированным временем; задачи с подвижными концами и нефиксированным временем, уравнение Эйлера, использование множителей Лагранжа для решения вариационных задач с ограничениями.

К главе 8

[4]: гл. II – формулировка и доказательство принципа максимума, его связь с динамическим программированием; гл. III – линейные задачи об оптимальном управлении и принцип максимума как необходимое и достаточное условие оптимальности, решение различных задач об оптимальных быстродействиях, вычислительные методы решения этих задач.

[22]: гл. 12 – принцип максимума как обобщение и расширение классического вариационного исчисления, вывод уравнений принципа максимума и уравнений Гамильтона – Эйлера, применение принципа максимума для решения некоторых частных задач динамической оптимизации.

295

[24]: гл. 6 – формулировка принципа максимума, ПМ как необходимое и достаточное условие оптимальности, примеры применений ПМ для решения различных задач, задачи для самостоятельного решения; гл. 8 – применение ПМ для решения задачи о календарном планировании поставки продукции и задачи об оптимальном потреблении в однопродуктовой макроэкономической модели.

[30]: гл. 4 – связь принципа максимума с вариационным исчислением и с непрерывным динамическим программированием.

[31]: гл. 14 – формулировка и доказательство принципа максимума, его применение для решения задач об оптимальном быстродействии, управлении линейными системами, оптимальном управлении расходом топлива, задач Лагранжа, Майера, управлении нестационарными системами, оптимальном управлении при ограничениях на переменные состояния, 7 примеров решения задач на применение ПМ и 16 задач для самостоятельного решения.

[3]: § 10.3 – формулировка ПМ, его связь с ВИ, использование ПМ для отыскания оптимального управления линейной системой, решение задачи об оптимальном быстродействии, теорема об n интервалах, вырожденные и особые задачи динамической оптимизации.

К главе 9

[22]: §12 – 14 – формулировка дискретного варианта принципа максимума, задача об управлении линейной дискретной системой и принцип максимума как необходимое и достаточное условие оптимального управления, применение дискретного ПМ для решения транспортных задач.

[24]: гл. 7 – формулировка задачи об оптимальном многошаговом управлении, условия оптимальности при отсутствии и при наличии ограничений на управление.

[30] § 6.2 – 6.3 – формулировка дискретного ПМ, его применение для системы управления, оптимального по обобщенному суммарному квадратичному показателю качества, сравнение дискретного и непрерывного ПМ.

К задачам для самостоятельного решения к гл. 7 – 9

[24]: с. 83 – 85, с. 128 – непрерывные задачи оптимального управления (19 задач); с. 95 – 96, с. 128 – дискретные задачи оптимального управления

(11 задач).

[30]: с. 47 – 49, с. 77 – 80 и 108 – 111 – непрерывные задачи оптимального управления (45 задач); с. 127 – 128 – дискретные задачи оптимального управления (12 задач).

[31]: § 12.8, 13.7, 14.9, 15.9, 16.8 – непрерывные задачи об оптимальном управлении (66 задач).

296

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах

/И. Л. Акулич. – М. : Высш. шк., 1986. – 319 с.

2.Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. – М. : Радио и связь, 1988. – 126 с.

3.Банди, Б. Основы линейного программирования / Б. Банди. – М. : Радио и связь, 1989. – 176 с.

4.Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. – М. : Наука, 1966. – 307 с.

5.Вагнер, Г. Основы исследования операций : в 2 т. / Г. Вагнер. – М. : Мир, 1973. – Т. 2. – 488 с.

6.Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е. С. Вентцель. – М. : Сов.

радио. – 1972. – 552 с.

7.Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. –

М. : Мир, 1985. – 510 с.

8.Дегтярев, Ю. И. Исследование операций / Ю. И. Дегтярев. – М. : Высш.

шк., 1986. – 320 с.

9.Дегтярев, Ю. И. Методы оптимизации / Ю. И. Дегтярев. – М. : Сов.

радио, 1980. – 416 с.

10. Деордица, Ю. С. Исследование операций в планировании и управлении

/Ю. С. Деордица, Ю. М. Нефедов. – Киев : Выща шк., 1991. – 270 с. – ISBN 5-11- 002581-9.

11. Зайченко, Ю. П. Исследование операций / Ю. П. Зайченко. – Киев : Выща шк., 1988. – 552 с. – ISBN 5-11-002226-6.

12. Исследование операций : в 2 т. / под. ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. –

М. : Мир, 1981. – Т. 1. – 712 с.

13. Калихман, И. Л. Динамическое программирование в примерах и задачах / И. Л. Калихман, М .А. Войтенко. – М. : Высш. шк., 1979. – 125 с.

14. Калихман, И. Л. Сборник задач по математическому программированию / И. Л. Калихман. – М. : Высш. шк., 1975. – 270 с.

15. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. – М. : Наука, 1986. – 288 с.

16.Конюховский, В. П. Математические методы исследования операций в экономике / В. П. Конюховский. – СПб. : Питер, 2000. – 208 с. – ISBN 5-8046- 0190-3.

17.Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1973. – 831 с.

Б. П. Чупрынов. – СПб. : Питер, 2004. – 464 с. – ISBN 5-94723-672-9.

297

20. Красс, М. С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М. : Дело, 2002. – 688 с. – ISBN 5-7749-0186-6.

21. Кристофидес, Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н. Кристофидес. – М. : Мир, 1978. – 432 с.

22.Кузин, Л. Т. Основы кибернетики / Л. Т. Кузин. – М. : Энергия, 1973. –

504 с.

23.Кузнецов, Ю. Н. Математическое программирование / Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. Б. Волощенко. – М. : Высш. шк., 1980. – 300 с.

24.Лагоша, Б. А. Оптимальное управление в экономике / Б. А. Лагоша. –

М. : МГУЭСИ, 2004. – 128 с. – ISBN 5-7764-0392-8.

И. О. Протодьяконов, И. И. Евлампиев. – М. : Высш. шк., 1986. – 384 с.

28.Основы кибернетики. Математические основы кибернетики / под. ред.

К. А. Пупкова. – М. : Высш. шк., 1974. – 413 с.

29.Свами, М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман. – М. :

Мир, 1984. – 454 с.

30.Сейдж, Э. П. Оптимальное управление системами / Э. П. Сейдж, Ч. С. Уайт. – М. : Радио и связь, 1982. – 392 с.

31.Сю, Д. Современная теория автоматического управления и ее применение / Д. Сю, А. Мейер. – М. : Машиностроение, 1972. – 544 с.

32.Таха, Х. Введение в исследование операций : в 2 кн. / Х. Таха. – М. : Мир, 1985. – Кн. 1. – 479 с.

33.Таха, Х. Введение в исследование операций : в 2 кн. / Х. Таха. – М. :

Мир, 1985. – Кн. 2. – 496 с.

34.Теория автоматического управления. В 2 ч. Ч. 2. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления / под. ред. А. А. Воронова. –

М. : Высш. шк., 1986. – 504 с.

35.Федоренко, Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р. П. Федоренко. – М. : Наука, 1978. – 488 с.

36.Филлипс, Д. Методы анализа сетей / Д. Филлипс, А. Гарсиа-Диас. –

М. : Мир, 1984. – 496 с.

37. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау. – М. : Мир, 1975. – 534 с.

38.Охорзин, В.А. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде Mathcad : учеб. пособие / В.А. Охорзин. – М. : Финансы и статистика, 2005. – 144 с. – ISBN 5-279-02918-1.

39.Привальский, В. Б. О построении управления, приводящего объект в

заданную точку / В. Б. Привальский [и др.] // Х Всесоюз. совещ. по проблемам управления : тез. докл. В2 кн. Кн. 1 / Акад. наук СССР. – М., 1986. – 564 с.

298

ПРИЛОЖЕНИЕ

Основные сведения об операциях над матрицами

1. Матрица. Совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из n столбцов и m строк, называется прямоугольной матрицей с размерами m ×n :

Если m = n , то матрица называется квадртной. Числа aij – элементы

матрицы. Аналогично можно рассматривать функциональные матрицы, если в таблице записываются не числа, а функции, например, A(t) с эле-

ментами aij (t) .

2. Матрица-столбец. Это матрица с размерами m ×1:

x1 x = x2 .

...

xm

3.Матрица-строка. Это матрица с размерами 1×n :

xΤ = [x1 … ].x2 xn

4.Скаляр. Это матрицы с размерами 1×1.

5.Транспонирование матриц. Это операция образования по матрице A

новой матрицы AΤ , строки которой являются столбцами матрицы A:

6. Симметрическая матрица. Это квадратная матрица A, для которой

AΤ = A. Элементы такой матрицы располагаются симметрично относительно главной диагонали, например:

7. Сложение матриц. Складывать можно матрицы A и B одинакового размера. Сумма A + B – это матрица, элементы которой получают сложением одинаково расположенных элементов матриц A и B.

299

8.Произведение матрицы и скаляра. Это матрица, у которой каждый элемент получен умножением соответствующего элемента исходной матрицы A на данное число α.

9.Произведение матрицы и столбца. Это матрица-столбец, определяемая следующим образом:

10. Произведение строки и столбца. Это скаляр, получаемый по следующему правилу:

y1

xΤy =[x1 x2 … xn ] y2 =[x1y1 + x2 y2 +... + xn yn ].yn

11. Умножение прямоугольных матриц. Матрицу A с элементами aij с размерами m × p можно умножить на матрицу B с размерами p ×n . В результате получим матрицу C с размерами m ×n с элементами cij , причем

p

cij = ∑aik bkj .

k=1

12.Квадратичная форма. Это многочлен n переменных x1, x2 ,..., xn , ко-

торый можно ввести с помощью равенства:

n n

y = xΤQ x = ∑∑qij xi x j ,

i =1 j =1

где Q – квадратная симметрическая матрица. Например, для n = 2 :

=[x1(q11x1 + q12 x2 ) + x2 (q12 x1 + q22 x2 )]= [q11x12 + 2q12 x1x2 + q22 x22 ].

13.Дифференцирование матриц по скалярному параметру (например

времени). Оно определяется следующим образом:

300