Математическая экономика

Будем считать все элементы матриц A, B, Q, R постоянными числами, а tк →∞.

Для отыскания оптимального управления воспользуемся принципом максимума. Сформируем функцию Гамильтона (8.4) для уравнения (8.57) и

где Ψ0 = −1, а функции Ψi (t) , i =1, n , входящие в Ψ , удовлетворяют системе уравнений

При этом использовались правила дифференцирования матричных выражений, приведенные в приложении.

Учитывая, что для оптимального управления функция Гамильтона должна иметь максимум, запишем необходимое условие экстремума:

где P – неизвестная пока матрица коэффициентов pij , связывающих Ψ и x . Если принять это предположение, то алгоритм оптимального управ-

251

Для определения неизвестной матрицы P подставим (8.62) в (8.60),

получаем ddtx = Ax + B R−1 BΤP x или (PA + PBR−1BΤP −Q + AΤP)x = 0 .

Это равенство должно выполняться для любых x = x(t) , а для этого необходимо, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Отсюда получаем уравнение для определения неизвестной матрицы P:

P = P* , предположение (8.62) можно считать оправданным и при этом оптимальное управление довольно просто выражается через переменные состояния системы и реализуется в виде обратных связей:

где a =1/T0; b = k0 /T0.

Качество управления оценивается по критерию (8.58) при

252

Приравняв соответствующие элементы матриц в левой и правой частях этого соотношения, запишем четыре уравнения для отыскания четырех неизвестных элементов матрицы P:

253

Можно показать, что для получения устойчивой системы необходимо принять концепцию отрицательной обратной связи, а для этого в формулах (8.69) и (8.70), содержащих знак «±», взять знак «–».

Таким образом, оптимальный по критерию (8.58) алгоритм управле-

254

Ясно, что разрешить матричное уравнение (8.66) относительно pij и получить в явном виде формулы, определяющие параметры ki алгоритма управления через параметры модели и критерия оптимальности, удалось благодаря простоте и в первую очередь низкому порядку рассмотренной системы.

Для более сложных систем это невозможно. В этих случаях для решения уравнения (8.66) можно использовать следующую итерационную процедуру для отыскания матрицы P:

где k – номер итерации; Pk – матрица P, получаемая на k-й итерации; P0 – некоторое начальное приближение, например P0 = I ; f – матричное выражение, стоящее в левой части решаемого уравнения (8.66); h – шаг решения.

При достаточно малом шаге h и большом количестве выполненных шагов матрицы Pk будут приближаться к искомой матрице P, удовлетворяющей уравнению f (P) = 0 . Разумеется, что реализацию вычислительного процесса по формуле (8.74) следует осуществлять с помощью компьютера, подготовив соответствующую программу для организации вычислений по (8.74) и (8.66). При этом можно использовать стандартные подпрограммы для выполнения матричных операций.

Изложенную выше методику решения можно применять для синтеза оптимального по критерию (8.58) управления в более сложных условиях, когда управляемая система нестационарна из-за того, что элементы aij (t); bij (t) матриц, входящих в модель (8.57), не являются постоянными

числами. Кроме того, в условиях задачи могут рассматриваться процессы управления на конечном промежутке времени 0 ≤t ≤tк < ∞.

Можно показать (см., например, [30]), что и в этом случае алгоритм управления будет иметь вид (8.63), но матрица K будет зависеть от времени. Ее определение потребует решения более сложного дифференциального уравнения вместо уравнения (8.66).

В заключение отметим, что оптимальное по критерию (8.58) управление зависит не только от параметров управляемой системы (элементов матриц A и B), но и от параметров qij и rij , входящих в критерий опти-

мальности.

255

Заметим, в частности, что второе слагаемое в критерии (8.58), как отмечалось ранее, оценивает затраты энергии на управление. Если в обобщенном показателе J им придать малый вес ( r → 0 ), то определяющие по (8.73) оптимальное управление настроечные коэффициенты k1,2 , а вслед за

ними и само управление u будет стремиться к бесконечности, а это не соответствует реальным условиям, поскольку имеющиеся для управления ресурсы всегда ограничены.

При решении реальных практических задач параметры критерия q1,2

и r обычно не заданы и их приходится выбирать. Обоснованный выбор конкретных значений указанных параметров обычно осуществить довольно трудно. Для этого можно, например, воспользоваться следующими рекомендациями [34]:

1)матрицы Q и R брать диагональными;

2)исходя из специфики конкретной рассматриваемой управляемой системы (технологических, экономических и других требований),

Тогда параметры обобщенного критерия оптимальности можно определить следующим образом [34]:

§ 8.7. Два подхода к реализации оптимального управления

Выше при рассмотрении задачи оптимального управления в § 8.1 – 8.5 предполагалось, что управляющее воздействие должно быть найдено, а

затем реализовано в виде искомой функции времени u = u * (t) . Этот закон изменения управляющих факторов нередко называют программой управления.

Однако в § 8.6 был рассмотрен иной подход к формированию управляющего воздействия в виде u = u * (x) , т.е. функции от текущих значений переменных состояния.

Обе концепции формирования управления можно проиллюстрировать схемами, представленными на рис. 8.8, где слева показана программ-

256

ная реализация управления, а справа – управление по принципу обратной связи.

Рис. 8.8

Концепция обратной связи оказалась плодотворной при решении задачи об управлении оптимальном по обобщенному квадратичному интегральному показателю качества; рассмотренный в § 8.6 закон управления получается довольно простым и для общего случая (8.63), и в частном слу-

чае (8.72).

Синтез управления в виде функции от переменных состояния оказывается возможным и целесообразным и в других случаях.

Рассмотрим в качестве примера задачу об оптимальном быстродействии, анализ которой был проведен в § 8.4. Вернемся к модели системы

(8.18)

dxdt1 = x2, dx2

= k u, dt

u {−U 0 ; +U 0 }.

Разделив второе уравнение на первое, получим:

dx2 = k u dx1 x2

или

Рассмотрим стадию процесса управления, когда u = +U 0 = const . Для нее, интегрируя (8.75), находим

257

Введем в рассмотрение плоскость переменных состояния ( x1, x2 )

(рис. 8.9, а). На ней уравнению (8.76) будет соответствовать семейство парабол, получающихся при различных значениях C.

управления играет особую роль. При попадании точки, изображающей со-

258

стояние системы, на эту линию должно происходить скачкообразное пере-

ключение значения управления c +U 0 на –U0 или наоборот. Поэтому линию MON называют линией оптимальных переключений. Она определяется двумя уравнениями:

u = 0, если x1 = x2 = 0.

Рассмотренный подход дает достаточно простой алгоритм управления, а главное позволяет обойти довольно сложную проблему отыскания констант Сi, необходимых для формирования управления в программном режиме.

§ 8.8. Приближенные методы отыскания решения задач оптимального управления

Примеры, рассмотренные в гл. 8, показывают, что даже в простейших случаях, когда управляемая система описывается линейным ДУ второго порядка, решение задачи об оптимальном управлении с помощью принципа максимума, так же как и по уравнениям Эйлера – Лагранжа, редко удается довести до результата в явном (аналитическом) виде, определяющем программу формирования оптимального управления. Ситуация значитель-

259

но усложняется с ростом порядка модели или появлением в ней нелинейных эффектов.

В этих случаях приходится использовать приближенные, итерационные процедуры. Сущность таких процедур, анализ трудностей, которые могут возникнуть при их реализации, изложены в специальной литературе, например в [35].

Рассмотрим один из таких подходов к приближенному отысканию оптимальных управлений. Допустим, что с помощью ПМ удалось установить вид, форму или характер искомого управления и для конкретизации остается определить численные значения нескольких параметров.

Типичным примером подобного рода может служить решение задачи об оптимальном быстродействии. В § 8.4 было показано, что оптимальное управление будет кусочно-постоянным и примет предельные возможные значения.

Это довольно важный результат, позволяющий существенно сузить класс функций, из которых должно быть выбрано искомое управляющее воздействие, и свести задачу к определению длительностей интервалов постоянства {t1, t2 ,..., tn}.

Пусть управляемая система имеет одно управляющее воздействие u(t) и один «выход» y(t), связь между которыми задается моделью в виде дифференциального уравнения

Предполагается, что начальное состояние и конечное состояние заданы, а управление ограничено: –U0 ≤ u ≤ U0. Требуется найти управление, которое переводит систему из начального состояния в заданное конечное состояние за минимальное время.

Перейдем от уравнения (8.77) к системе уравнений первого порядка,

260