2. Вычисление погрешности при косвенных измерениях.

Если некоторая физическая величина А является функцией других а, в, с, измеряемых непосредственно измерительными инструментами или приборами, то определение величины А является косвенным измерением. Результат косвенного измерения должен быть записан в виде:

А_ист = А  А (17)

где А – величина, рассчитанная по средним значениям;

А – абсолютная погрешность косвенного измерения, зависит от погрешности прямых измерений d, b, с.

Значения абсолютных погрешностей А, как и относительных Е при косвенных измерениях, определяются функциональными зависимостями A = f(a,b,c). Они приведены в табл. 3 для наиболее употребляемых функций. Опуская порядок обоснования этого обстоятельства, изложим порядок вычисления относительной погрешности косвенного измерения на следующем конкретном примере.

Момент инерции J маятника Обербека определяется зависимостью:

(18)

где Р – вес груза, D – диаметр шкива, h – высота поднятия груза над полом, t – время падения груза с высоты.

Таблица 3

A	А		A	А
a + b	a + b
a – b	a – b		sin 
	ab + ba		cos 
an			ln a

Относительная погрешность найдется, если:

1). Взять от обеих частей (18) натуральный логарифм

. (19)

2). Продифференцировать равенство (19)

.

(20)

3). Заменить дифференциалы (dJ, dP, …) конечными приращениями соответствующих величин

(21)

4). Изменить знаки минус на плюс, что дает максимальную относительную погрешность, которую мы и определяем

(22)

Допустим, что при измерениях момента инерции прямые измерения дали следующие результаты

Р = (300,0 ± 0,5) h = (120 ⁺ 0,5) см

D = (90,00 ± 0,05) мм t = (7,1 ± 0,2) с.

Измерение времени выполнено согласно табл. 2. Формула. (22) позволяет рассчитать относительную погрешность косвенного измерения. Она равна

(23)

При числовых расчётах относительной погрешности каждое слагаемое (23) округляется до десятичных долей, суммарный результат – до тысячных. Эта точность в студенческой практике вполне удовлетворительна. Величина момента инерции вычисляется по формуле (18), если в нее подставить данные прямых измерений, получим, выполняя расчеты в СИ:

(24)

Абсолютную погрешность косвенного измерения находим по относительной погрешности

(25)

Причем, в результате следует оставить только одну значительную цифру, отбросив остальные (по правилам округления). Записываем результат косвенного измерения в виде:

(26)

В (26) число разрядов в. обоих слагаемых должно быть согласовано. В формулы погрешности часто входят величины взятые из таблицы. Например,  = 3,1416…, g = 980,665 см/м². Ограничиваясь для  сотыми долями, округляя g с точностью до целых чисел, имеем:

(27)

Значениями (27) следует руководствоваться.

В лабораторных условиях наблюдаются случаи, когда некоторые величины не измеряются, а задаются в виде готового результата. При таких обстоятельствах абсолютную погрешность принимают равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Если, например, дано, что плотность тела  = 1,12 г/см³, то  = 0,005 г/см². Удовлетворительная точность расчетов в студенческой практике 2 – 3 %. Эта точность соблюдается, если при расчетах пользоваться логарифмической линейкой.

НЕОБХОДИМО: повторить правила пользования логарифмической линейкой, иметь при себе на занятиях и пользоваться при расчетах.