Муромский институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

Кафедра: «ФПМ»

Дисциплина: Физика

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.00

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛиЧИНАХ

Утверждена на методическом семинаре кафедры ФПМ

Зав.кафедрой _____________

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.00

Вычисление погрешности при физических веЛиЧинах

Измерения физических величин подразделяются на прямые и косвенные. Прямые измерения выполняются непосредственно измерительными инструментами; приборами. Числовое значение определяется непосредственно по шкале инструмента или прибора. Косвенные измерения выполняются в случае; когда искомая величина зависит от других физических величин. Значения этих величин получают прямыми измерениями. Косвенные измерения поэтому сводятся к соответствующим числовым расчетам.

1. Вычисление погрешностей при прямых измерениях.

Особенность прямых измерений состоит в невозможности ''точно'' указать числовое значение измеряемой величины. Каждое измерение является приближенным и выполняется с некоторой погрешностью. Результат прямого измерения поэтому может быть записан в виде:

, (1)

где d – числовой отсчет по прибору,

d – абсолютная погрешность измерения.

Абсолютными погрешностями называются именованные числа, указывающие пределы; внутри которых заключёно остающееся неизвестным истинное значение измеряемой величины. Например, означает, что изменяемая величина, определена лишь в границах замкнутого интервала мм. Значение этих пределов необходимо, т. к. они позволяют определить число верных знаков результата измерений. Погрешности возникают от несовершенства устройства измерительного инструмента и приборов – это измерительные и приборные ошибки, от случайных, трудно учитываемых факторов – это случайные ошибки, от несовершенства регулировки измерительного инструмента и неумелого пользования им – это систематические ошибки от невнимательности экспериментатора – это "промахи". Систематические ошибки, погрешности и "промахи" могут быть обнаружены, учтены, исключены. Для этого требуется повторный анализ эксперимента. Инструментальные и случайные погрешности никакими способами исключить невозможно. Случайные погрешности приходиться вычислятьинструментальной абсолютной погрешностью – считается половина цены деления измерительного инструмента или прибора, т. к. отсчеты по шкалам можно производить с точностью до половины деления. Для стрелочных приборов (секундомер) приборная погрешность равна цене деления прибора. Погрешности электроизмерительных приборов вычисляются по их классу точности. Запишем результаты измерения диаметра цилиндра с помощью миллиметровой линейки:

мм,

где d = 0,5 мм равна половине цены деления миллиметрового масштаба, т. е. ½ мм. Уменьшить погрешность измерения можно только применением более совершенного инструмента, например, штангенциркуля. Цена деления его С = 0,1 мм, тогда d = 0,5 мм и диаметр цилиндра будет равен:

мм.

Если диаметр цилиндра измеряется микрометром с ценой деления С = 0,01 мм, то d = 0,005 мм и мм, Однократное измерение ненадежно. Если, например, у цилиндра нет строгой симметрии относительно оси вращения, то для выявления истинного значения диаметра следует выполнять многократные измерения. В теории вероятности доказывается, что при многократных измерениях истинное значение равно среднему значению измеряемой величины d при условии бесконечно большого числа измерений:

, (2)

где d_i – численное значение i-ого измерения. Практически n конечно. В этих случаях d_ср является наиболее вероятным, но не истинным значением величины d. Вычисление погрешности d связано с выполнением n изменений (п > 2).

Отклонения измеренных значений d₁, d₂, …, d_n от среднего значения d_ср носят случайный характер. В силу этого имеют место случайные погрешности d₁, d₂, …, d_i, …, d_n, определяемые формулой (3):

(3)

Случайные погрешности имеют место в силу случайных обстоятельств, учесть которые заранее невозможно. Случайные погрешности могут уменьшать или увеличивать средний результат (равномерно). Ни одну из случайных погрешностей типа (З) нельзя принять за d. Для среднего результата измерений характерна так называемая средняя квадратичная погрешность d_кв. Теория вероятности дает для нее следующую зависимость:

, (4)

где n – число измерений.

Формула (4) справедлива при значительном числе измерений n > 2 более 10. В лаборатории большое число измерений более 10 затруднительно.

Пример: Стьюдентом разработан метод оценки случайной погрешности для любого числа измерений (n > 2). Пользуясь теорией вероятности, Стьюдент получил соотношение для случайной погрешности:

,

где  – зависит от числа и надежности измерений, дается таблицами. Учитывая (4), имеем:

. (5)

Если внести обозначение , то случайная погрешность измерения среднего результата примет вид:

. (6)

В таблице 1 приведены значения, которые следует использовать при выполнении лабораторных работ.

Таблица 1

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	9,60	9,00	1,76	0,93	0,62	0,47	0,38	0,32	0,27	0,24

Расчет случайной погрешности методом Стьюдента сводится к следующему:

1). Производят n прямых измерений физической величины и определяют ее среднее арифметическое.

2). Вычисляют по формуле (3) абсолютные погрешности каждого измерения

3). По табл. 1 находят значение  для имевшего места числа измерений.

4). Вычисляют, пользуясь формулой (6), случайную погрешность среднего результата d_ср.

5). Прежде чем записать результат измерения в виде (7), сравнивают случайную погрешность с инструментальной. Если случайная погрешность менее инструментальной; то в (7) подставляют инструментальную. Так что никакой обработкой невозможно повысить точность данного прибора.

В ряде случаев бывает необходимо произвести сравнительную оценку точности измерений двух однородных величин. Для этого одной абсолютной погрешности недостаточно. Для сравнительной оценки точности измерений двух однородных величин вводят так называемую относительную погрешность Е, равную:

, (8)

где d – случайная или приборная погрешность прямого измерения.

Относительная погрешность выражается отвлеченным числом и равна отношению абсолютной погрешности к среднему результату измерений. Произведем сравнительную оценку точности измерений двух величин на примере, относящемся к работе № 7.

Расстояние l между метками m и n измерялось масштабной линейкой с ценой деления 1 мм. Результат измерения:

(9)

Относительная погрешность этого изменения составляет:

(10)

Диаметр шарика измеряется штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм. Результат измерения:

мм. (11)

Относительная погрешность измерения диаметра равна:

(12)

Сравнение относительных погрешностей (10) и (12) показывает, что измерение длины выполнено точнее, чем измерение диаметра.

Рассмотрим пример вычисления времени при прямых измерениях. При помощи маятника Обербека (см. раб. 4) определялись времена падения груза массы 300 г с высоты 120 см над полом. Результат десяти измерений приведен во второй колонке табл. 2.

Таблица 2

№ п/п	t (c)	t (c)	t2 (c2)
1	7,2	0,06	0,0036
2	7,0	0,14	0,0196
3	7,0	0,14	0,0196
4	7,2	0,06	0,0036
5	7,4	0,26	0,0676
6	7,7	0,14	0,0196
7	7,0	0,14	0,0196
8	7,2	0,06	0,0036
9	7,0	0,14	0,0196
10	7,4	0,26	0,0676

t_ср = 7,14 с, (t²) = 0,2440.

Произведем оценку результата многократного измерения времени. Для этого:

1). Вычисляем среднее арифметическое значение десяти измерений с числом знаков, на единицу большим, чем дано во второй колонке табл. 2. Записываем результат расчета (7 и 14) в ту же колонку.

2). В соответствии с формулой (3) находим абсолютные значения погрешностей отдельных измерении, записывая их в колонку 3 табл. 2. Заполняем колонку 4 той же таблицы.

3). По формуле (6) рассчитываем величину случайной абсолютной погрешности, находя  по табл. 1 ( = 0,24 для n = 10).

4). Сравниваем случайную погрешность измерения (0,12 с) с приборной (0.2 с). Поскольку случайная погрешность измерения менее приборной, то в качестве t необходимо взять величину приборной ошибки:

t = 0,2 c. (14)

5) Записываем результат измерений времени согласно (7):

(15)

6). Относительная погрешность результата измерений времени равна:

(16)