Парабола
Параболойназывается множество точек плоскости, равноудаленных от данной точкиF, называемойфокусом, и данной прямойl, называемойдиректрисой(предполагается, что фокус не лежит на директрисе).
Д
ля
вывода уравнения параболы проведем ось
абсцисс через фокус перпендикулярно
директрисе, ось ординат поместим между
фокусом и директрисой на одинаковом
расстоянии от них. Расстояние от фокуса
до директрисы обозначим черезр,
это число называется параметром параболы.
Фокус будет иметь координатыF(p/2,
0) уравнение директрисыx
= –p/2.
Уравнение параболы выводится из равенства
MF =MА.
После преобразований получаем уравнение
y2= 2px.
Парабола имеет ось симметрии, которая называется осьюпараболы. Точка пересечения параболы с осью называетсявершиной параболы. В отличие от гиперболы парабола не имеет асимптот.
Все параболы подобны друг другу. Значит, если сжать или растянуть параболу в любом направлении, получим подобную параболу.
Определение вида кривой второго порядка
По данному уравнению кривой второго порядка общего вида непонятно, какую кривую оно определяет. Чтобы выяснить это, уравнение требуется привести к каноническому виду с помощью преобразования координат. Если при этом используются только параллельные переносы и повороты, то определяется не только вид, но и все параметры кривой. Если же используется косоугольная система координат, то параметры искажаются, и мы сможем определить только вид кривой. Особым является случай, когда в уравнении кривой отсутствует произведение Вху. В этом случае преобразование координат основано на выделении полных квадратов, преобразование сводится к параллельному переносу, и параметры кривой сохраняются.
Пример 10. Определите вид и параметры кривой второго порядка, задаваемой уравнением 2x2– 3y2+ 4x– 12y– 16 = 0.
Решение. а) Сначала выделим полные квадраты:
2(x2+ 2x) – 3(y2 – 4y) – 16 = 0;
2(x2+ 2x+ 1) – 2 – 3(y2 – 4y+ 4) + 12 – 16 = 0;
2(x + 1)2– 3(y – 2)2= 6.
Сделаем замену переменных: x+ 1 =x1,y– 2 =y1:
2x12– 3y12= 6;
;
.
Получилось уравнение
гиперболы с параметрами
,
,
,
.
Пример 11. Определите вид кривой второго порядка, задаваемой уравнениемx2– 2xy+ 3y2+ 4x– 8y– 2 = 0.
Решение. а) Сначала произведем преобразование, позволяющее убрать член 2xy:
(x2 – 2xy + y2) + 2y2 + 4x – 8y – 2 = 0;
(x – y)2 + 2y2 + 4x – 8y – 2 = 0.
Делаем замену x – y = x1, y = y1, откуда x = x1 + y1:
x12 + 2y12 + 4(x1 + y1) – 8y1 – 2 = 0;
x12 + 2y12 + 4x1 – 4y1 – 2 = 0;
(x12 + 4x1+ 4) – 4 + 2(y12– 2y1 +1) – 2 – 2 = 0;
(x1 + 2)2+ 2(y1 – 1)2= 8;
.
Получилось уравнение эллипса. Его параметры по полученному уравнению определить невозможно, так как в процессе преобразований они исказились.
У п р а ж н е н и я
1.Определите
вид и параметры кривых второго порядка,
заданных уравнениями: а)
;
б)
;
в) 2x2– 3y2= 12; г)x2– 4y= 0.
2.Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуосиa= 2,b= 5.
3.Составьте уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точкахА1(–3, 0) иА(3, 0), а фокусы в точкахF1(–5, 0) иF2(5, 0).
4.Определите вид и параметры кривой второго порядка, заданной уравнением
а) x2– 2y2+ 4x– 8y– 2 = 0;
б) 3x2+ 2y2+ 6x– 12y– 3 = 0.
5.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением
а) x2– 4ху – 2y2+ 4x– 12y– 3 = 0;
б) x2+ 2ху + 2y2+ 2x– 2y– 1 = 0;
в) x2+ 2ху +y2+ 4x–y– 2 = 0.