Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Геом.Устян.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
812.03 Кб
Скачать

Парабола

Параболойназывается множество точек плоскости, равноудаленных от данной точкиF, называемойфокусом, и данной прямойl, называемойдиректрисой(предполагается, что фокус не лежит на директрисе).

Для вывода уравнения параболы проведем ось абсцисс через фокус перпендикулярно директрисе, ось ординат поместим между фокусом и директрисой на одинаковом расстоянии от них. Расстояние от фокуса до директрисы обозначим черезр, это число называется параметром параболы. Фокус будет иметь координатыF(p/2, 0) уравнение директрисыx = p/2.

Уравнение параболы выводится из равенства

MF =MА.

После преобразований получаем уравнение

y2= 2px.

Парабола имеет ось симметрии, которая называется осьюпараболы. Точка пересечения параболы с осью называетсявершиной параболы. В отличие от гиперболы парабола не имеет асимптот.

Все параболы подобны друг другу. Значит, если сжать или растянуть параболу в любом направлении, получим подобную параболу.

Определение вида кривой второго порядка

По данному уравнению кривой второго порядка общего вида непонятно, какую кривую оно определяет. Чтобы выяснить это, уравнение требуется привести к каноническому виду с помощью преобразования координат. Если при этом используются только параллельные переносы и повороты, то определяется не только вид, но и все параметры кривой. Если же используется косоугольная система координат, то параметры искажаются, и мы сможем определить только вид кривой. Особым является случай, когда в уравнении кривой отсутствует произведение Вху. В этом случае преобразование координат основано на выделении полных квадратов, преобразование сводится к параллельному переносу, и параметры кривой сохраняются.

Пример 10. Определите вид и параметры кривой второго порядка, задаваемой уравнением 2x2– 3y2+ 4x– 12y– 16 = 0.

Решение. а) Сначала выделим полные квадраты:

2(x2+ 2x) – 3(y2 – 4y) – 16 = 0;

2(x2+ 2x+ 1) – 2 – 3(y2 – 4y+ 4) + 12 – 16 = 0;

2(x + 1)2– 3(y – 2)2= 6.

Сделаем замену переменных: x+ 1 =x1,y– 2 =y1:

2x12– 3y12= 6;

;

.

Получилось уравнение гиперболы с параметрами ,,,.

Пример 11. Определите вид кривой второго порядка, задаваемой уравнениемx2– 2xy+ 3y2+ 4x– 8y– 2 = 0.

Решение. а) Сначала произведем преобразование, позволяющее убрать член 2xy:

(x2 – 2xy + y2) + 2y2 + 4x – 8y – 2 = 0;

(xy)2 + 2y2 + 4x – 8y – 2 = 0.

Делаем замену xy = x1, y = y1, откуда x = x1 + y1:

x12 + 2y12 + 4(x1 + y1) – 8y1 – 2 = 0;

x12 + 2y12 + 4x1 – 4y1 – 2 = 0;

(x12 + 4x1+ 4) – 4 + 2(y12– 2y1 +1) – 2 – 2 = 0;

(x1 + 2)2+ 2(y1 – 1)2= 8;

.

Получилось уравнение эллипса. Его параметры по полученному уравнению определить невозможно, так как в процессе преобразований они исказились.

У п р а ж н е н и я

1.Определите вид и параметры кривых второго порядка, заданных уравнениями: а); б); в) 2x2– 3y2= 12; г)x2– 4y= 0.

2.Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуосиa= 2,b= 5.

3.Составьте уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точкахА1(–3, 0) иА(3, 0), а фокусы в точкахF1(–5, 0) иF2(5, 0).

4.Определите вид и параметры кривой второго порядка, заданной уравнением

а) x2– 2y2+ 4x– 8y– 2 = 0;

б) 3x2+ 2y2+ 6x– 12y– 3 = 0.

5.Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением

а) x2– 4ху – 2y2+ 4x– 12y– 3 = 0;

б) x2+ 2ху + 2y2+ 2x– 2y– 1 = 0;

в) x2+ 2ху +y2+ 4xy– 2 = 0.

14