Свойства векторного произведения:

1.  = –(антикоммутативность).

2. = .

3. =.

4. Критерий коллинеарности векторов: .

5. .

6. Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллелограмма, стороны которого задаются векторами и, равна модулю их векторного произведения:.

7. Если = (a₁,a₂,a₃),= (b₁,b₂,b₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то.

Пример 6. Найти векторное произведение векторов = (2, –1, 3), и= (3, 2, –2).

Решение. По свойству (7) получаем

=

= (2 – 6) –(–4 – 9) +(4 + 3) = –4+ 13+ 7= (–4, 13, 7).

Пример 7. Найти площадь параллелограммаABCD, если заданы координаты вершинA(3, 2, 0),C(2, –1, 2)D(1, 3, –4).

Решение. Изобразим параллелограммABCDна рисунке, чтобы понять, какие векторы задают стороны параллелограмма.Так как заданы точкиA, C, D,то естественно использовать векторыи(хотя направление векторов не имеет значения, можно взять противоположные векторы):

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (10, –8, –7);

.

Смешанное произведение

Смешанным произведениемвекторов,,называется число ().

Свойства смешанного произведения.

1. Операции векторного и скалярного произведения можно переставить местами, то есть ()=(), поэтому смешанное произведение обозначают просто.

2. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение: ==.

3. Перестановка двух сомножителей меняет знак смешанного произведения: = –= –= –.

4. Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, ребра которого задаются векторами ,и, равен.

5. Критерий ориентации тройки векторов ,,: тройка правая, если> 0, и тройка левая, если< 0.

6. Критерий компланарности: векторы ,,компланарны тогда и только тогда, когда= 0.

7. Если = (a₁,a₂,a₃),= (b₁,b₂,b₃),= (c₁,c₂,c₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то.

Пример 8.Найти объем параллелограммаABCDA₁B₁C₁D₁, если заданы координаты вершинA(3, 2, 0),C(2, –1, 2)D(1, 3, –4),C₁(4, 5, 7).

Решение. Изобразим параллелепипедABCDA₁B₁C₁D₁ на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы понять, какие векторы задают ребра параллелепипеда. Так как заданы точкиA, C, D, C₁, то естественно использовать векторы,и:

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (4 – 2, 5 + 1, 7 – 2) = (2, 6, 5).

Тогда

= = 2(–20 – 36) – 1(5 – 12) + 4(6 + 8) = –49;

V= 49.

У п р а ж н е н и я

1.Найдите косинус углаСтреугольникаАВС, если заданы координаты вершинА(1; –3; 2), B(1; 0; –2), С(3; 1; 3).

2.Упараллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы координаты вершин А(1; 3; 0), B(–1; 2; 2), D(3; 2; –2), В₁(0; 7; 1). Найдите:

а) объем параллелепипеда;

б) площадь грани ABCD.

3.Прямые и плоскости в пространстве Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D= 0. (1)

Коэффициенты этого уравнения определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности. не равны нулю одновременно.

Нормалью, илинормальным векторомк плоскости называется любой вектор, ортогональный к этой плоскости.

Вектор, нормальный к плоскости, заданной уравнением (1), это вектор

= (A, B, C). (2)

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(x₀, y₀, z₀) и имеющей нормаль = (A, B, C):

A(x – x₀)+ B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. (3)

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂), М₃(x₃, y₃, z₃):

= 0. (4)

Расстояние от точки М(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:

. (5)

Если плоскость задана своим общим уравнением , то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от неё, а для координат всех точек, лежащих по другую сторону от неё.

Взаимное расположение двух плоскостей, заданными своими общими уравнениями

Пусть даны плоскости

и

Расположение плоскостей	Условие
Пересекаются	Ранг матрицы равен 2
Параллельны	Ранг матрицы равен 1 Ранг матрицы равен 2
Совпадают	Ранг матрицы равен 1