ВМ_LABS / ЛР1_ИнтерполяцияP

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, x ,..., x

f(x1, x2,..., xn+1) − f(x0, x1,..., xn )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2015

Размер:

164.81 Кб

Скачать

☆

Лабораторная работа № 1

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

1. Постановка задачи.

Пусть на отрезке [a, b] в некоторых попарно различных точках x0, x1,..., xn известны значения функции f(x).

Задача интерполирования функции f(x) состоит в том, чтобы найти значение f(x), x ¹ xi , (i = 01,,..., n), если известны узлы интерполирования x0, x1,..., xn и значения функции f(x) в этих

узлах.

Очевидный приём решения этой задачи – вычислить значение f(x), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием, однако, можно применить лишь в случае, когда аналити- ческое выражение f пригодно для вычислений. Более того, часто аналитическое выражение функцииf вовсе неизвестно. В этих случа- ях применяется особый приём – построение по исходной информа- ции приближающей функции F , которая в некотором смысле близка к функцииf и аналитическим выражением которой можно восполь- зоваться для вычислений, считая приближённо, что

f(x) = F(x). (1.1)

Классический подход к решению задачи построения прибли- жающей функции F(x) основывается на требовании строгого сов- падения значений f(x) и F(x) в точках xi ,(i = 01,,..., n), т.е.

F(x0 ) = y0, F(x1 ) = y1,..., F(xn ) = yn . (1.2)

В этом случае нахождение приближённой функции называют интер-

поляцией (или интерполированием), а точки x0, x1,..., xn – узлами

интерполяции.

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть функция f задана таблицей на отрезке [a, b]. Интерполя- ционный многочлен L n (x) степени не выше n по системе алгеб-

раических многочленов 1, x, x2,..., xn можно задать по формуле Ла-

гранжа

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

n	ω(x)
Ln (x) = å		× f(xk ), (2.1)
Ln (x) = å	(x - xk ) × w¢(xk )	× f(xk ), (2.1)
k=0	(x - xk ) × w¢(xk )
где	n
	n
w(x) = ∏ (x - xk ).		(2.2)
	k=0

Разность rn (x) = f(x) − L n (x) называется погрешностью ин-

терполирования или остаточным членом интерполирования. В

узлах интерполирования погрешность rn (x) обращается в нуль, в ос- тальных точках она отлична от нуля, но если f(x) – многочлен сте- пени k, а число узлов интерполирования n +1 > k , то rn (x) ≡ 0. Если функция f(x) имеет непрерывную n +1-ю производную, то

возможно представление остаточного члена вида

rn (x) =	f(n+1) (x)	× w(x), (2.3)
	(n +1)!
где ξ – некоторая точка,
	лежащая на отрезке, содержащем узлы

x0, x1,..., xn и точку x.

Из формулы (2.3) видно, что для данной функции f(x) погреш- ность интерполирования зависит от выбора узлов x0, x1,..., xn на отрезке [a, b], и можно выбрать узлы интерполирования таким обра-

зом, чтобы

w(x)

max

min max

a ≤x≤b

(x0 ,x1,...,xn ) a ≤x≤b

= max

Если принять M n+1

f(n+1) (x)

, то для подсчёта погреш-

x0≤x≤xn

ности метода интерполирования по формуле Лагранжа непосредст-

венно применима следующая оценочная формула

r (x)	£	Mn+1	×	ω(x)



n		(n +1)!			.
		(n +1)!			.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3. Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов.

3.1. Конечные разности и разностные отношения.

Пусть заданы равноотстоящие узлы xk = x0 + k × h k = 012, , ,... и значения функции f(xk ) = fk , h > 0.

Конечными разностями первого порядка называются величины

Df(xi ) = Dfi = fi+1 - fi , i = 012, , ,...

Конечные разности второго порядка определяются равенствами

2f(xi ) =

(

fi ) =

fi+1 −

fi , i

= 012, , ,...

Конечные разности (n +1)-го порядка определяются через раз-

ности n-го порядка по формуле

nfi , i = 012,

, ,...

n+1fi

nfi+1 −

Имеет место следующее равенство

f(x

) = f

= f +

n(n -1)

+...+

n f .

Разностными отношениями первого порядка называются вели-

чины

f(x1 ) − f(x0 )

f(x2 ) − f(x1)

f(x

, x ) =

f(x , x

) =

, ...,

x1 − x0

x2 − x1

узлы xk произвольные.

По ним составляются разностные отноше-

ния второго порядка:

f(x1, x2 ) − f(x0, x1)

f(x

, x , x

) =

x2 − x0

f(x , x

, x

) =

f(x2, x3 ) − f(x1, x2 )

, ...

x3 − x1

Разностные отношения порядка n + 1 (n = 12,,... ) определяют-

ся при помощи разностных отношений предыдущего порядка n по

формуле

При всяком n верно равенство

	n		f(xi )
f(x0	,x1,...,xn+1) = å
f(x0	,x1,...,xn+1) = å	(xi	− x0 )...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn )
	i=0	(xi	− x0 )...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn )

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Последнее равенство позволяет утверждать, что разностные от- ношения являются симметричными функциями своих узлов.

Для равноотстоящих узлов xk = x0 + kh, k = 01,,2,..., имеет

место соотношение между				разностными отношениями и конечными
разностями					Dk f0
f(x	0	, x ,..., x	k	) =		, k = 01,,2,... . (3.1.1)

		1			hk × k !

Конечная разность порядка n от многочлена степени n равна постоянной величине, и, следовательно, все разности более высокого порядка равны нулю. Аналогичное свойство имеет место также для разностных отношений.

С помощью разностных отношений строится другая формула интерполяционного многочлена – интерполяционный многочлен Ньютона:


	L n (x) = f(x0 ) + (x	− x0 )f(x0, x1 ) +
	+ (x − x0 )(x − x1 )f(x0, x1, x	2 )+...+		(3.1)
	+ (x - x0 )(x - x1 )...(x - xn−1 )f(x		0, x1,..., xn ),	(3.1)
	+ (x - x0 )(x - x1 )...(x - xn−1 )f(x		0, x1,..., xn ),
где	Ln (xk ) = f(xk ),(k = 01,,..., n).		Остаточный	член

rn (x) = f(x) − L n (x) в этом случае можно выразить через разде-

лённую разность:

rn (x) = f(x, x0, x1,..., xn )(x − x0 )(x − x1)...(x − xn ).

Формулой Ньютона (3.1) удобно пользоваться для интерполиро- вания одной функции с меняющейся системой узлов: при добавлении

нового узла xn+1 нужно вычислить только одно слагаемое

(x − x0 )...(x − xn )f(x0, x1,..., xn+1) и добавить его к предыдущей

сумме.

В случае равноотстоящих узлов имеется много различных фор- мул, построение которых зависит от расположения точки интерполи- рования x по отношению к узлам интерполирования.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.2. Интерполяционная формула Ньютона для интерполирования в начале таблицы.

Пусть функция f(x) задана таблицей значений fk = f(xk ) в равноотстоящих точках xk = x0 + k × h (k = 012, , ,...) и точка ин- терполирования x находится вблизи от начальной точки x0 . Введём новую переменную t , положив x = x0 + t × h, t = (x - x0 ) / h . Ис-

пользуя (3.1) и соотношения (3.1.1) между разностными отношения- ми и конечными разностями, получаем интерполяционную формулу

Ньютона для интерполирования в начале таблицы

f(x) = f(x

+ th) = f

+ t(t −1) 2f

+ ...+

+ t(t −1)...(t − n +1)

+ r (x),

(3.2.1)

где

| t(t -1)×...×(t - n) |

| r (x) |≈

n+1f.

(n +1)!

Здесь

n+1f = max | n+1fm |.

0≤m≤n

3.3. Интерполяционная формула Ньютона для интерполирования в конце таблицы.

Если точка интерполирования находится вблизи конца таблицы узлов, то узлы интерполирования естественно брать в порядке

xn , xn

- h, xn - 2h,....

Введя

переменную t и положив

x = xn

+ t × h, получим формулу Ньютона для интерполирования в

конце таблицы

t(t +1)

f(x) = f(xn + th) = fn

fn −1

2fn −2 + ...+

t(t +1)...(t + n −1)

(3.3.1)

+ r (x),

где

| t(t +1)×...×(t + n) |

| r (x) |≈

n+1f.

(n +1)!

Здесь

n+1f = max | n+1fm |.

0≤m≤n

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4. Уплотнение таблиц функций.

Интерполирование может применяться для уплотнения заданной таблицы функции, т.е. вычисления по исходной таблице новой таб-

лицы с большим числом значений аргумента на прежнем участке его изменения. Эту операцию называют иногда субтабулированием функции.

∙В случае, когда исходная таблица является таблицей с постоян- ным шагом, естественно применять интерполяционный многочлен Ньютона.

∙При заданном числе узлов (т.е. при условии, что конечные раз- ности и степень полинома определены вручную) для расчётов на ЭВМ формулы Ньютона удобно представлять по схеме Горнера. Так,

интерполяционная формула Ньютона для интерполирования в начале таблицы может быть представлена в виде:

P (x) = y			+ t( y		+	t −1	(	2y		+	t − 2	(	3y		+...+
P (x) = y		0	+ t( y	0	+		(	2y	0	+		(	3y	0	+...+
n		0		0	2				0	3				0
	t − n +1				2					3
+	t − n +1		n y0 ))... ).
+			n y0 ))... ).
	n

Использование схемы Горнера позволяет вычислять значение Pn (x)

вцикле.

∙Если же максимальный порядок используемых конечных раз-

ностей невелик, для вычисления значений Pn (x) могут использо- ваться формулы Ньютона в их стандартном виде (3.2.1), (3.3.1).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Содержание отчёта (по каждому из заданий):

∙ручное решение;

∙решение в MS Excel;

∙программа решения на языке Turbo Pascal.

Задание 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по известной таблице значений функции. Вычислить значение функции в задан- ной точке.

Вар.		Таблица значений				Новое значение
						аргумента x

1	x	0	1	3	4	2
	f(x)	1	1.382	0.28	– 2.762

2	x	14	17	31	35	20
	f(x)	0.991	– 0.961	– 0.404	– 0.428

3	x	0.5	0.6	0.7	0.8	0.655
	f(x)	0.352	0.534	0.762	1.039

4	x	1	1.2	1.4	1.6	1.35
	f(x)	1.209	1.704	2.277	2.882

5	x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.15
	f(x)	1.1	1.197	1.29	1.374

6	x	– 0.8	0.4	2.8	4	1
	f(x)	2.142	– 0.282	0.142	1.05

7	x	1.2	1.9	3.3	4.7	3.99
	f(x)	5.094	5.271	– 0.387	– 4.779

8	x	2.1	3.7	4.5	6.1	5
	f(x)	– 0.419	– 0.901	– 0.309	0.965

9	x	1.45	1.36	1.14	0.11	1.2
	f(x)	2.296	2.128	1.787	1.185

10	x	2.8	4	6.4	7.6	3.5
	f(x)	0.087	0.733	2.849	2.279

11	x	6.1	7.5	8.2	9.6	7
	f(x)	– 4.357	4.81	1.927	3.341

12	x	– 2	1	2	4	2.89
	f(x)	– 28	17	56	350

13	x	11	13	14	18	17.5
	f(x)	1.741	1.783	1.802	1.872

14	x	93	96.2	104.2	108.7	100
	f(x)	11.231	7.947	5.887	8.877

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Задание 2. Записать необходимый для дальнейших расчетов многочлен Ньюто- на по известной таблице значений функции. Определить значение аргумента x , соответствующее указанному значению функции.

Вар.		Таблица значений				Новое значение
						функции f(x)

1	x	1	2	3	4	23.095
	f(x)	8	19	42	101

2	x	– 4	– 1	2	5	– 20
	f(x)	101	8	– 9.889	– 24.996

3	x	– 7	– 6	– 5	– 4	1.6
	f(x)	1.946	1.792	1.609	1.386

4	x	– 3	– 1	1	3	5.3
	f(x)	8	6	4	1

5	x	1	2	3	4	5
	f(x)	1	7	29	33

6	x	– 2	– 1	0	1	10.7
	f(x)	12	3	– 1	– 5

7	x	1	2	3	4	1.8
	f(x)	– 18	– 11	– 1	5

8	x	– 4	– 1	2	5	– 23.4
	f(x)	– 26	– 17	– 3	14

9	x	– 2	– 1	0	1	12.8
	f(x)	21	17	11	5

10	x	1/3	2/3	1	5/3	0.423
	f(x)	0.26	0.5	0.71	0.97

11	x	– 2	– 1	0	1	8.4
	f(x)	12	3	– 1	– 5

12	x	– 6	– 3	0	3	9.5
	f(x)	21	17	5	2

13	x	– 3	– 2	– 1	0	9.2
	f(x)	– 21	– 10	3	11

14	x	– 4	– 2	0	2	– 1.45
	f(x)	43	37	25	– 4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Задание 3. Уплотнить таблицу с заданным шагом на заданном участке.

Вар.		Таблица значений				Участок	Шаг уплот-
						уплотнения	нения

1	x	– 2	– 1	0	1	[– 2,– 1]	0.1
	f(x)	– 26	– 17	– 3	14

2	x	– 5	– 3	– 1	1	[– 3,– 1]	0.2
	f(x)	12	3	– 1	– 5

3	x	2	3	4	5	[4,5]	0.1
	f(x)	21	17	5	3

4	x	– 2	0	2	4	[0,2]	0.2
	f(x)	– 34	– 21	– 10	3

5	x	1	3	5	7	[3,5]	0.2
	f(x)	37	25	– 4	– 13

6	x	– 3	– 2	– 1	0	[– 1,0]	0.1
	f(x)	8	6	4	1

7	x	0	1	2	3	[1,2]	0.1
	f(x)	1	7	23	29

8	x	– 4	– 2	0	2	[– 4,– 2]	0.2
	f(x)	8	19	42	67

9	x	– 3	– 1	1	3	[– 3,– 1]	0.2
	f(x)	– 18	– 11	1	4

10	x	0	2	4	6	[4,6]	0.2
	f(x)	– 26	– 17	– 3	14

11	x	– 4	– 3	– 2	– 1	[– 3,– 2]	0.1
	f(x)	21	17	11	5

12	x	2	3	4	5	[2,3]	0.1
	f(x)	8	6	5	3

13	x	– 1	0	1	2	[0,1]	0.1
	f(x)	12	3	– 1	0

14	x	– 2	0	2	4	[0,2]	0.2
	f(x)	8	19	42	101

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Соседние файлы в папке ВМ_LABS

#
21.03.2015164.81 Кб23ЛР1_ИнтерполяцияP.pdf
#
21.03.201598.75 Кб25ЛР2_МНК (задание).pdf
#
21.03.2015129.19 Кб28ЛР3_ЧИ(p).pdf
#
21.03.2015128.56 Кб23ЛР4_ЧР ОДУ(p).pdf
#
21.03.2015136.1 Кб22ЛР5_ЧР СОДУ[p].pdf
#
21.03.2015909.31 Кб257Тема 3.doc