Виходячи з цього Я.Лукасевич зауважував, що справжніх аподиктичних висловлювань немає. І в ніякому разі він не зазіхав на прерогативу філософії стосовно: теоретичного та емпіричного рівнів пізнання, співвідношення категорій можливості – дійсності, необхідності – випадковості, ос- новних критеріїв типології наук, вихідних моментів про- цесу пізнання тощо. Хоча це може здатися, коли він заяв- ляє, що немає різниці між математичною істиною і емпіричною, що істина завжди синтетична, що закон при- чинності повинен розглядатися як гіпотеза і т.д.

Але на цьому він наголошує лише з однією метою, щоб вказати на особливий, специфічний характер досліджень сучасної логіки.

1.Передумови виникнення модальної логіки.

2.Матеріальна імплікація і теорія логічного слідування.

3.Строга імплікація К.Льюїса.

4.Аксіоми строгої імплікації К.Льюїса.

5.Порівняння матеріальної та строгої імплікації.

6.Тлумачення К.Льюїсом модальних операторів.

7.Вихідні принципи концепції модальної логіки Я.Лукасе-

вича.

8.Характерні особливості тризначної модальної логіки Я.Лу- касевча.

9.Визначення модальних функцій у тризначній системі Я.Лу- касевича.

10.Витоки чотиризначної модальної логіки Я.Лукасевича.

11.Визначення модальних функцій у чотиризначній системі Я.Лукасевича.

12.Визначення доказової формули в чотиризначній системі Я.Лукасевича.

13.Два функтори для модальності «можливість» у чотиризнач- ній системі Я.Лукасевича.

14.Характерні риси модального функтора «випадковість» в чотиризначній системі Я.Лукасевича.

РОЗДІЛ ІІІ

СИСТЕМА МОДАЛЬНОЇ ЛОГІКИ

1.Алетична логіка

Упопередньому розділі розглядалися результати дослі- джень в галузі модальної логіки, що належать її засновни- кам К.Льюїсу та Я.Лукасевичу. Результати цих дослі- джень є своєрідною новітньою історією модальної логіки, з одного боку, а з іншого – вони послугували сильним по- штовхом для сучасних досліджень модальної логіки.

Роботи К.Льюїса та Я.Лукасевича були пов’язані, в ос-

новному, із синтаксичною побудовою модальної логіки.

Cемантика модальних логік починає розроблятися лише в 50 – 60-х роках ХХст. завдяки працям Р.Кар-

напа, С.Кріпке, Я.Хінтікки. Кожен із цих вчених зробив вагомий внесок у розробку сучасної модальної логіки.

Так, Р.Карнап, досліджуючи модальності, розробляє

концепцію «опису станів».

С.Кріпке та Я.Хінтікка формулюють метод семан-

тики можливих світів. Тобто, фактично на сьогоднішній день модальна логіка знаходиться в стані систематичного дослідження та вивчення.

Виходячи із типології модальних операторів, виділяють різні види модальних логік.

Серед найбільш канонічних є такі види модальних логік:

алетична;

темпоральна;

деонтична;

епістемічна.

Знайомство з цими системами розпочнемо з алетичної логіки.

а) Мова алетичної логіки висловлювань

Назва «алетична логіка» походить від грецького слова –

«aletheia» (що означає істина).

де л – знак логічної необхідності, а ф – знак фізичної необхідності.

Наприклад, відповідно до закону тотожності істинним є висловлювання: «Якщо метал – електропровідник, тоді він завжди проводитиме електричний струм». Цей логіч-

ний наслідок є також істиною фізики. Але те, що у металу є певна кількість вільних електронів на зовнішній орбіті, регламентується законом фізики, а не логіки.

ІІ. ◊

Існує два види можливості: а) логічна і

б) фізична.

Л о г і ч н а можливість пов’язана із внутрішньою несуперечливістю висловлювання. Логічно можливим є те, що не суперечить законам логіки, є сумісним із ни- ми і заперечення якого не випливає з них.

Ф і з и ч н о можливим є те, що узгоджується із за- конами природи, не суперечить їм і заперечення якого не випливає з них.

Зв’язок між логічною можливістю (◊л) і фізичною (◊ф)

можливістю можна зафіксувати у вигляді такої залеж- ності:

«Все, що можливо фізично, те можливо і логічно, але не все, що можливо логічно є можливим фізично».

Схематично це записується у вигляді такої формули:

[ х◊фА х◊лА] [ х◊лА х◊фА].

Наприклад:

а) якщо фізично можливо побудувати міст через певну річку, то й теоретично можливо здійснити проектування цієї дії;

б) якщо теоретично можна спроектувати вічний двигун, то фізично це неможливо.

ІІІ.

Випадковість визначають через можливість. якщо мож- ливість – це те, що може бути, то випадковість – це те, що може бути, а може й не бути.

Випадковість теж поділяють на: а) логічну та

б) фізичну.

Л о г і ч н о випадковим є висловлювання, якщо ні воно саме, ні його заперечення не містить внутрішньої суперечності.

Ф і з и ч н о випадковим є те, наявність чого чи його відсутність не регламентована природними законами.

Введемо дефініції , ◊, .

1.р ≡ Df ◊р («р є необхідним, якщо і тільки якщо

неможливим є заперечення р»);

2.◊р ≡ Df р («р є можливим, якщо і тільки якщо

не є необхідним заперечення р»);

3.р ≡ Df ◊р ◊р («р є випадковим, якщо і тільки,

якщо можливим є р і його заперечення»).

б) Алетична логіка і теорія «можливих світів»

Щоб установити логічне значення дескриптивного ви- словлювання, ми співставляємо дане висловлювання з тим, про що в ньому йдеться (або з дійсністю).

Якщо маємо відповідність висловлювання з дійсністю, то фіксуємо за ним значення «істина», а якщо ні – зна- чення «хиба».

Так, наприклад, «Варшава – столиця Польщі» – це висловлювання відповідає дійсності, отже воно є істинним,

а висловлювання «Авраам Лінкольн відкрив Америку» не відповідає дійсності, отже, є хибним.

А як себе поводять в такій ситуації модальні вислов-

лювання? Виявляється, що модальні висловлювання не

є ні категорично істинними, ні категорично хибни- ми, а є істинними або хибними в деяких або усіх ви- падках.

Проілюструємо зазначене на прикладах.

Візьмемо дескриптивне висловлювання:

1) «Всі планети мають атмосферу» (р). Утворимо від нього модальне висловлювання:

2) «Необхідно, що всі планети мають атмосферу» ( р).

Отже, можемо сформулювати відповідний постулат:

«Якщо дескриптивне висловлювання хибне, то утво- рене від нього необхідне висловлювання буде хибним»:

р→ р

↓↓

x x

Маємо висловлювання:

1) «Будь-яка планета є космічним об’єктом» (р); 2) «Необхідно, що будь-яка планета є космічним

об’єктом» ( р); 1′) «Всі мої приятелі мають вищу освіту» (р);

2′) «Необхідно, що всі мої приятелі мають вищу осві-

ту» ( р).

Якщо в ситуації (1, 2) ми із істинного дескриптивного висловлювання отримуємо істинне модальне висловлюван- ня, то у ситуації (1′, 2′) – сумнів, що висловлювання « р» фіксує безумовність і неминучість даного факту.

Звідси випливає постулат: «Якщо дескриптивне висло-

влювання істинне, то утворене від нього необхідне ви- словлювання може бути будь-яким (як істинним, так і хибним)»:

p → р

↓↓

i(i, x).

Подібним чином, але тільки у зворотньому розумінні, поводить себе оператор можливості (◊).

Звернемося до прикладу:

1) «Всі учасники конференції підготували змістовні до- повіді» (р);

2) «Можливо, що всі учасники конференції підготували доповіді» (◊р).

«Якщо дескриптивне висловлювання істинне, то утворене від нього можливе висловлювання також буде істинним»:

p → ◊р

↓↓

ii

Наведемо ще такий приклад:

1) «Природні супутники мають атмосферу» (р); 2) «Можливо, що природні супутники мають атмосфе-

ру» (◊р).

1′) «Метали – рідини» (р); 2′) «Можливо, що метали – рідини» (◊р).

Якщо у ситуації (1, 2) із хибності дескриптивного ви- словлювання ми отримуємо хибність модального вислов-

лювання, то у випадку (1′, 2′) із хибності дескриптивного ви- словлювання ми маємо істинне модальне висловлювання.

Отже, якщо дескриптивне висловлювання хибне, то

утворене від нього можливе висловлювання може бути будь-яким (як хибним, так і істинним).

p → ◊р

↓↓

x(≈x, i)

Із наведених прикладів випливає, що для встановлен-

ня логічного значення модальних висловлювань недо- статньо лише співставити його із реальною дійсністю, а треба мати на увазі всю множину варіантів ситуації, з якими є смисл співставляти дане висловлювання. При цьому необхідно враховувати ці ситуації стосовно ми- нулого, майбутнього, просторової координації прийня- тих моральних, правових норм системи оцінок, стан- дартів пізнавальної діяльності тощо.

Упізнавальній, практичній діяльності у нас постійно виникає потреба оцінювати свої дії, поведінку інших лю- дей, прогнозувати події, виражати своє ставлення до ре- зультатів як своєї діяльності, так і оточуючих. Іншими словами, ми постійно вимушені припускати стосовно пев- ного факту, події довільне число можливостей, альтерна- тив, підходів, які забезпечують їх інтерпретацію.

Узв’язку з цим множину альтернативних підходів, множину припустимих варіантів пояснення ситуацій, розв’язання проблем, прогнозування подій, оцінки ре- зультатів діяльності тощо прийнято називати мож- ливими світами.

Фундатор теорії «можливих світів» – Г.Лейбніц. Саме він, досліджуючи природу істини розуму та істини факту, звертається до поняття «можливий світ». Трактовка

Г.Лейбніцем «можливого світу» переобтяжена гносеологі-

чним змістом. Це наклало відповідний відбиток при ви- значенні необхідного висловлювання як істинного у всіх можливих світах, а можливого – хоча б в одному.

Усучасній логіці «можливий світ» розглядається як теоретико-множинне поняття. Навіть тоді, коли ми гово- римо, що дескриптивне висловлювання співставляється для визначення його значення з дійсністю, реальним ста- ном справ, то мається на увазі не реальна дійсність, яка є

незалежною від суб’єкта, що пізнає, а «істина» не як то- тожність мислення і буття, а «хиба» як спотворене відо- браження дійсності, а маються на увазі теоретико- множинні поняття «належності», чи «не належності» еле- мента до множини, «включення» чи «не включення» одні- єї множини в іншу. Тим більше це стосується «можливого

світу».

Оскільки, можливі світи моделюють різні обставини, альтернативні стани справ, різноманітні гносеологічні стандарти, припустимі і неприпустимі норми, оцінки відносно якогось випадку чи умови, то кожен можливий світ розглядається як елемент деякої множини можли- вих світів.

Між можливими світами існує відношення досяжно- сті, яке також має теоретико-множинний смисл. Це не відношення співставлення, яке має місце між дескрип- тивними висловлюваннями і реальним (дійсним) сві- том, а відношення обстеження перегляду множини мо- жливих світів, які якимось чином зв’язані, стосуються реального світу.

Відношенню досяжності (альтернативності) прита- манні такі властивості, як:

рефлексивність,

симетричність,

транзитивність.

Якщо позначити можливі світи символами w1, w2, w3, … wn, а відношення досяжності – R, то названі властивості можна записати так:

1.w R w – рефлексивність;

2.w R w1 → w2 R w – симетричність;

3.(w R w1 w1 R w2) → w R w2 – транзитивність.

Р.Карнап конкретизує поняття можливий світ через те-

рмін «опис стану».

Опис стану – це один з можливих розподілів істині- сних значень для елементарних висловлювань.

Так, для висловлювання р q можливими є чотири комбінації розподілу істинністних значень:

1.р — і, q — і;

2.р — і, q — х;

3.р — х, q — і;

4.р — х, q — х.

Кожна з цих комбінацій є описом стану.

Можливий світ – це саме той світ, який є заданим пе-

вним описом стану. Ми маємо чотири можливих світи. У нашому прикладі лише перший опис стану відповідає реаль- ному світові. Р.Карнап використовує поняття «опис стану» для дефініції логічної і фактичної істинності висловлювання.

Л о г і ч н о і с т и н н и м є висловлюваня, яке іс- тинне в усіх описах світів, а ф а к т и ч н о і с т и н -

ни м – яке лише в деяких описах станів істинне.

Враховуючи вищезазначене, визначимо основні алетичні

модальності і аналітичні правила для них.

Визначення , ◊ у термінах можливих світів:

а) Висловлювання А буде необхідним у деякому мож- ливому світі w, якщо воно буде істинним в усіх можли- вих світах, досяжних із w:

де w′ є будь-який можливий світ, який досяжний із wґ.

б) Висловлювання А не буде необхідним у деякому можливому світі w, якщо воно буде хибним хоча б в од- ному можливому світі w, який є досяжним із w:

де w’ – є деякий можливий світ, якого ще не було в попе- редніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовується це пра- вило, і який досяжний із w.

в) Висловлювання А буде можливим у деякому мож- ливому світі w, якщо воно буде істинним хоча б в одно- му можливому світі wґ, який є досяжним із w:

де w’ є деякий можливий світ, якого ще не було в попере- дніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовувалося це пра- вило, і який досяжний із w.

г) Висловлювання А не буде можливим у деякому можливому світі w, якщо воно буде хибним у будь- якому можливому світі wґ, який досяжний із w:

де w’ є будь-який можливий світ, який досяжний із w.

Застосування аналітичних правил ефективне для здійс- нення проблеми розв’язання в алетичній логіці.

При побудові аналітичних таблиць для формул але- тичної логіки треба мати на увазі, що таблиця вважа- ється замкненою лише тоді, коли одна і та сама пропо- зиціна змінна буде з індексом Т і F у тому самому мо- жливому світі.

Здійснимо побудову аналітичної таблиці для формули:А А

0.Fw A A

1.Tw A

Аналітична таблиця є замкненою. Отже, дана формула є законом алетичної логіки і при цьому відношення досяж-

ності R є рефлексивним: «Все необхідне є реальним».

Наведений закон відображає фундаментальне відношен- ня між необхідністю і дійсністю. Буквально він засвідчує те, що при істинності А А буде завжди істинним в усіх можливих світах і в дійсному також.

Ця залежність іноді може провокувати невірне обмеже- не твердження: «Все дійсне є необхідним». Але не завджи із дійсності випливає необхідність чогось. Для цього дійс- ність повинна мати атрибут необхідності.

Наприклад, із того, що «Всі мешканці нашого будинку знають англійську мову», не випливає необхідність цього факту.

Наведемо ще один приклад.

Маємо формулу ◊(А А). Побудуємо для неї аналітичну таблицю:

«Все необхідне є реальним».

Отже, формула є законом алетичної логіки, а відношен-

ня досяжності R є транзитивним і рефлексивним. Розглянемо ще два закони алетичної логіки.

А ◊А

«Все дійсне є можливим».

Аналітична таблиця цього закону матиме вигляд:

+

Даний закон регламентує той аспект відношення між реальним і можливим, коли визнання висловлюван- ня можливим означає його істинність хоча б в одному з можливих світів, але не виключено, що ним може бути дійсний світ.

Зрозуміло, що обернена залежність буде невірною: «Із

того, що можливо, не випливає його дійсність».

Наприклад, із того, що «Київське Динамо» може ви- грати у черговому турі, не випливає його перемога.

A ◊A

«Все необхідне є можливим».

Цей закон є наслідком із попередніх двох законів:

A A

A ◊AA ◊ A.

У цьому законі зафіксована залежність: «Якщо А іс-

тинне, то А буде істинним в усіх можливих світах, у тому числі і в дійсному, а, отже, і ◊А буде істинним».

Даний закон перевіримо за допомогою аналітичної таблиці:

+