Використовуючи введені Е.Постом обидва варіанти за- перечення, диз’юнкцію та кон’юнкцію, визначимо вирази:

p р, (р р).

Припустимо, що в нашій системі n = 6:

4. Тризначна логіка Д. Бочвара

Відомий математик, логік Д.Бочвар в 1938 р. запро- понував тризначну систему логіки, яка розповсюджується не лише на істинні та хибні висловлювання, а й на висло- влювання, які не мають смислу.

Відповідно до цього він вводить три значення: «1» – істинно; «2» – хибно; «3» – беззмістовно.

Вихідним положенням логіки Д.Бочвара є теза:

«Якщо до складу висловлювання «А» входить беззмі- стовне висловлювання «В», то висловлювання «А» тре- ба визнати беззмістовним».

Ця теза покладена в основу визначення логічних сполу- чників Д.Бочваром. Дамо послідовно табличне визначення заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції та імплікації.

Заперечення:

Доказовою формулою у Д.Бочвара є вираз, який при- ймає значення «1» при будь-яких значеннях аргументів.

Доведення здійснюється табличним шляхом. Протестуємо декілька формул:

Свою багатозначну логіку Д. Бочвар задумав як запобі- жний засіб проти парадоксів. Він дає свою типологію ви- словлювань, розрізняючи висловлювання у власному розу- мінні від речення (тобто висловлювання зі смислом).

І знову, як і у попередніх багатозначних системах пере- конуємося, що логіка Д.Бочвара є узагальненням класич- ної логіки.

1.Визначення некласичної логіки.

2.Передумови виникнення некласичної логіки.

3.Визначення багатозначної логіки.

4.Обставини виникнення тризначної логіки Я.Лукасевича.

5.Види оцінок висловлювання в тризначній логіці Я.Лука- севича.

6.Табличне визначення логічних сполучників у тризначній логіці Я.Лукасевича.

РОЗДІЛ ІІ

МОДАЛЬНА ЛОГІКА НА ПОЧАТКУ ХХ ст.

Модальна логіка – це розділ некласичної логіки, де досліджуються логічні відношення між висловлювання- ми, в яких дається їх оцінка з тієї чи іншої точки зору.

Ці оцінки називаються модальними і позначаються відповідно поняттями: «необхідно», «можливо», «дове- дено», «обов’язково», «заборонено», «добре» тощо.

Свої витоки модальна логіка бере в логіці античності та середньовіччя, але систематичні її розробки припадають на

початок ХХ ст.

Перші дослідження в галузі модальної логіки здійсню-

ють К.Льюїс, Я.Лукасевич, В.Аккерман. Характерним є те, що ні Льюїс, ні Лукасевич не починають з безпосеред- ніх досліджень проблем модальної логіки, а до ідеї мода- льної логіки вони приходять через аналіз проблем класич- ної логіки, які, на їх думку, не можна розв’язати засобами класичної логіки.

К.Льюїс переглядає класичне понятння логічного сліду- вання, а Я.Лукасевич звертає увагу на недостатність засобів двозначної логіки при аналізі висловлювань, в яких не просто щось стверджується або заперечується, а в яких ви- словлюється думка про неможливість чогось, про майбутні події, про неминучість чогось і т.д.

Здійснимо послідовно короткий огляд цих пошуків.

1. Критика К.Льюїсом класичної теорії

логічного слідування

Після виходу в світ праці Б.Рассела та В.Уайтхеда «Принципи математики» громадянство отримала класи- чна теорія логічного слідування, в основу якої було покла-

дено відношення матеріальної імплікації. Дана теорія ло- гічного слідування дала позитивні результати і в певних межах була досить адекватною, але вже зразу після своєї появи викликала до себе прискіпливий інтерес, який часто межував із спробами її ревізії.

Матеріальна імплікація є абстракцією, узагальнен- ням відношення між умовою і результатом, причиною і наслідком, підставою і висновком, попереднім і наступ- ним, а також узагальненням, абстракцією смислового, змістовного зв’язку між антецедентом і консеквентом.

Така абстракція дозволяє зв’язувати не лише причину і наслідок, істинні висловлювання, які зв’язані за змістом, а й протилежні їм.

Це зафіксовано у дефініції імплікації:

«Імплікація хибна тоді і тільки тоді, коли антеце- дент істинний, а консеквент хибний, в решті випадків вона істинна».

Використовуючи в теорії логічного слідування матеріа- льну імплікацію, ми можемо досліджувати найрізноманіт- ніші предметні області, зв’язки та відношення, які існують між ними: чи йдеться про числа, чи про історичні події, чи про астрономічні об’єкти тощо.

Така універсальність теорії логічного слідування є її значним досягненням, але вона має низку небажаних нас- лідків, за якими в логіці закріпилася назва «парадокси матеріальної імплікації». Образність цієї назви полягає в тому, що у відношеннях матеріальної імплікації немає то- го, що в логіці прийнято називати парадоксами, тобто вну- трішньої суперечності. Тут є інше: невідповідність логіч-

ного слідування звичайному умовному зв’язку («якщо …,

то …»).

У численні матеріальної імплікації істинними бу- дуть:

1.«Якщо через провідник пропустити електричний струм, то він нагріється».

2.«Якщо Земля – планета, то Париж – столиця Франції».

3.«Якщо 2 × 2 = 5, то число планет 9».

4.«Якщо 2 × 2 = 5, то число планет 5».

Лише в першому випадку антецедент і консеквент іс- тинні і змістовно зв’язані. В решті прикладів антецедент з консеквентом або одночасно не істинні і не пов’язані за

змістом, а якщо і істинні, то не мають смислового зв’язку, хоча і в цих випадках імплікація істинна.

Звідси випливають дві залежності: 1. «Істина слідує з будь-чого»

p (q p).

2. «Із хиби слідує будь-що»

p (p q).

Таблиця істинності для імплікації дуже виразно це ілюструє:

З таблиці видно, що дефініція імплікації забороняє 2-й рядок, решту все дозволяє. Це відбувається за принципом

«все, що не заборонено, те дозволяється». Тому, виходя-

чи із даної дефініції, ніяких «парадоксів» не виникає. Дискомфорт виникає тоді, коли ми виходимо за межі

цієї дефініції і мимоволі забуваємо, що вона є абстракці- єю умовного зв’язку і що таблиця істинності для імплі- кації не є ізоморфним зліпком зображення умовного зв’язку.

Тоді 1-й та 3-й рядки таблиці є ілюстрацією першого формулювання «парадоксу», а 3 і 4 – другого. У зв’язку з цим пошуки моделі логічного слідування, яке було б аде- кватне змістовному, смисловому тлумаченню, полягають не в тому, щоб знайти ще якусь імплікацію поряд з матеріа- льною, чимось схожу на матеріальну, але щоб вона не ма- ла названих недоліків. Строга, сильна імплікації не є та- кими.

К. Льюїс спеціально підкреслює, що всі функції від р та q, які властиві системі класичного слідування: p, p q, pq, p q, p ≡ q, є функціями істинності, в той час в сис- темі строгої імплікації відношення p p q, p = q не є функ- ціями істинності.

У зв’язку з цим К.Льюїс перед тим як описати свою сис- тему строгої імплікації, вводить низку попередніх понять.

До таких понять відносяться: «породжує», «сумісно», «незалежно», «вивідне судження», «стверджувальне суд- ження».

Роглянемо по порядку.

Термін «р породжує q» означає «із р вивідним є q» («із р випливає q»). Тут не просто «голе» співставлення істинністних значень (екстенсіоналів) антецедента та консеквента (якщо це має місце у відношенні матеріаль- ної імплікації), а тут натяк на внутрішній, змістовний зв’язок р і q.

Наступний термін «р сумісне з q» означає «р не поро-

джує хибності q» («із р не випливає не-q», або «із р не випливає хибність q»), а термін «q незалежне від р» означає «р не породжує q», або «із р не випливає q».

Іншими словами, коли «р сумісне з q», то це означає,

що «р» може породити, з нього може слідувати лише іс-

тинне «q», а коли «q» незалежне, незв’язане з «р», то

«р» ніяким чином не може породити «q».

Термін «вивідне судження» еквівалентне терміну «іс-

тинне судження», а вираз «стверджувати «р» означає

«стверджувати істинність «р», в той час «стверджува- ти заперечення «р» означає «стверджувати хибність

«р».

Розглянемо складові системи строгої імплікації:

1.p, q, r, … p, q, r, … – висловлювання;

2.р – заперечення (читається «р – хибне», або «не –

р»);

3.(рq) – логічний добуток (читається: «р – істин- не і q – істинне», «р і q»);

4.◊р – (читається: «р можливо», «можливо, щоб р

було істинним», «р самосумісне»);

5.р = q – логічна еквівалентність.

Пункти 1–5 складають вихідні елементи алфавіту.

Крім вихідних елементів система містить низку дефі- ніцій:

Df 1: р q = ( р q)

– читається: «в крайньому випадку одне із двох, р або q,

істинне, разом хибними вони не можуть бути». Df 2: р p q = ◊(р q).

Ця дефініція є визначенням строгої імплікації. Чита-

ється: «Хибно, що можливо, щоб «р» було істинним і

одноразово «q» було хибним»; «Не можне бути, щоб «р» було істинним, а «q» хибним»; «Забороняється, щоб «р» було істинним, а «q» – хибним».

Іншими словами наведена дефініція звучить так:

«Якщо забороняється, щоб «р» було істинним, а «q» – хибним, то це означає, дозволяється лише, щоб при іс- тинності «р» обов»язково істиним було «q».

З поверхової точки зору це може означати, що строга імплікація зводиться до першого рядка таблиці істинності для імплікації:

Тобто дозволяється перший рядок таблиці і заборо-

няється решта рядків. Якщо це витримати, то небажані ситуації, які отримали назву «парадокси матеріальної імплікації» виключені самі собою.

Проти такого поспішного погляду застережує К.Льюїс, і тоді, коли підкреслюється, що сторога імплікація і строга еквіваленція не є функціями істинності, і тоді, коли вводять в дефініцію матеріальної імплікації модальні поняття.

Отже, у відношенні строгої імплікації має місце не екстенсіональна комбінація істинністних значень, а – інтенсіональний зв’язок попереднього і наступного.

Наступна дефініція характеризує строгу еквіваленцію:

Df 3: (р = q) = (р p q) (q p р)

– читається: «р строго еквівалентне q тоді і тільки

тоді, коли р строго імплікує q, а q строго імплікує р».

К.Льюїс визначає аксіоми своєї системи, в структурі яких фігурують лише логічний добуток, заперечення і строга імплікація.

1.рq p qр

2.рq p р

За допомогою правила строгої імплікації і Df 2 із наве- дених аксіом доводять аксіоми класичної системи логічно- го висновку і, що саме головне, доводиться теорема:

[р (р q)] p q.

Застосовуємо правило адьюнкції: «Якщо стверджу- ється р і стверджується (р q), то q приймається згі-

дно строгій імплікації». Виходить, що вся система мате- ріальної імплікації утримується в системі строгої імплі- кації при наявності Df 4 в останній.

І ще один важливий висновок, який випливає з факту порівняння «p», « ».

«Якщо в будь-якій теорії матеріальної імплікації ви- ду «А В», де А і В будь-які складні формули, замінити

знак стверджувальної матеріальної імплікації знаком строгої імплікації, то отримана формула буде доказо- вою в системі строгої імплікації.»

Оскільки, як було встановлено вище, не будь-яка теорема матеріальної імплікації є теоремою в системі строгої імплі- кації, то Льюїс розглядає теореми матеріальної імплікації, які не мають аналогів у системі строгої імплікації.

Із Df 2 випливає дві формули:

(р q) p (р q)

Згідно третього висновку, що випливає із порівняння «<» і « », аналог першої формули приймається в системі строгої імплікації:

(р p q)p (р q)

– читається: «істинне висловлювання не породжує хиб-

ного ні строго, ні матеріально».

Аналог другої формули, що випливає із Df 4, не при- ймається:

(р q) p (рp q).

Це обумовлено тим, що немає гарантії в змістовному зв’язку «р» і «q».

К.Льюїс вважає, що наслідок (2) із Df 4 є джерелом «парадоксів» матеріальної імплікації.

Якщо р p (q p р), то р (q р). Значить, коли «р» іс-

тинне, то будь-яке висловлювання матеріально поро-

джує «р». Але аналог зі строгою нестверджувальною ім- плікацією не приймається:

р p (q p р).

Якщо р p (р q), то р (р q). Отже, при хибності «р» з нього випливає матеріально будь-яке «q». І знову аналог зі строгою імплікацією не приймається:

р p (рp q).

Візьмемо наступну низку теорем:

а) (р q) p (р q) – аналогом є (р q) (р q); б) (р q) p (р q) – аналогом є (р q) (р q).

Виходить, що коли ми маємо висловлювання «р» і «q», то «р» повинно імплікувати матеріально істинність «q», в протилежному випадку «р» буде імплікувати хиб- ність «q».

Оскільки, якщо б «р q» була прийнята за еквівалент виразу «із р вивідним є q», то ні одна пара висловлювань не могла б бути одночасно сумісною і незалежною. Тому що відомо, коли «р» і «q» сумісні, то «р» не може імплі- кувати хибність «q», а коли «q» незалежне від «р», то «р» не може імплікувати істинність «q». Цей факт є основним проти того, щоб ототожнювати змістовне логічне слідуван- ня з матеріальною імплікацією. Для більш повного опису змістовного логічного слідування К.Льюїс вводить ще дві дефініції:

Df 6. р o q = (р p q).

Це визначення відношення сумісності: «р і q сумісні,

тоді і тільки тоді, коли не може бути такого, щоб із р строго імплікувалася хибність q».

Df 7. ◊р = р o р = (р p р)

– «◊» – це модальний оператор «можливо». ◊р читається:

«р самосумісно», або «р не породжує свого заперечення»,

або «р можливо». Якщо ми введемо заперечення, то отри- маємо низку похідних операторів:

◊ р – «р неможливе», або «хибно, що р можливе»;

◊ р – «можливо, що р хибне», або «р не необхідно

істинне»;◊ р – «неможливо, що р хибне», або «р необхідно

істинне».

К.Льюїс тлумачить так модальні оператори «можливо»,

«неможливо», «необхідно»:

◊р – розуміється як логічно можливе, як відсут-

ність самосуперечки, як логічно мислиме;

◊р – розуміється як логічна неможливість, як

логічно немислиме;

◊ р – розуміється як логічна необхідність, як ло-

гічна немислимість того, щоб «р» було хибним.

Використовуючи модальні оператори К.Льюїс вводить низку теорем, серед яких:

1)р p ◊р;

2)◊ р p р;

3)◊ р p ◊р.

Застосовуючи аксіоматику К.Льюса, теореми 1, 2 і пра-

вила доведення, побудуємо доведення теореми 3.

Візьмемо аксіому VI

1.[(p p q) (q p r)] p (p p r)

2.[( ◊ p p p) (p p ◊р)] p ( ◊ р p ◊р) – за правилом

підстановки до 1 p/ ◊ p, q/p, r/◊p

3.( ◊ р p р) (р p ◊р) – за принципом логічного до- бутку

4.◊ р p ◊р – за правилом інференції.

До семи аксіом своєї системи К.Льюїс додає аксіому

VIII, яка іменується «постулат сумісності»:

VIII. ◊(pq) p ◊p.

За допомогою цієї аксіоми К.Льюїс виводить низку тео- рем, серед яких вирази, що співзвучні з «парадоксами» матеріальної імплікації, але тепер вони отримані в системі строгої імплікації:

1.«Неможливе висловлюванння породжує будь-яке висловлювання»

◊p p (p p q).

2.«Необхідно істинне висловлювання породжує будь- яке висловлювання»

◊ р p (q p p).