цьому вираз А А є законом (наприклад, в чотиризначній логіці), то формула А А не буде законом виключеногo третього у власному розумінні.

Виходячи з цього, завжди треба підходити прискіпливо до тези: «закон виключеного третього в даній системі

не діє».

Якщо взяти чотиризначну логіку Я.Лукасевича, то заява, що «кожне висловлювання або істинне, або хиб- не» буде некоректною. Тут прийнятним є твердження: «Будь-яке висловлювання має значення «1», або «2», або «3», або «0». В іншому формулюванні: «Будь-яке вислов- лювання або має значення істинності, або не має його (має якесь інше з чотирьох можливих)».

Це ж саме стосується і закону протиріччя, але тут із трьох можливих дефініцій перша зберігає силу і в багато- значній логіці:

1.«Не може бути, щоб висловлювання було істинним

іодночасно хибним».

2.«Не може бути, щоб висловлювання мало і одноча- сно не мало хоча б одне значення із числа можливих».

3. (А А).

Такі основні риси багатозначної логіки Я. Лукасевича.

2. Багатозначна логіка Брауера — Гейтінга

Як у розвитку будь-якої науки, так і у розвитку логіки визначальними є два види причин:

а) внутрішні і б) зовнішні.

Для логіки внутрішніми стимулами розвитку є роз- робка та вдосконалення її апарату, а зовнішніми – ті процеси в науковому пізнанні, для аналізу яких потріб- ні засоби логіки.

Якщо для формування багатозначної логіки Я.Лукасе-

вича таким зовнішнім поштовхом був аналіз модальних висловлювань, то для багатозначної логіки Брауера – Гейтінга – потреба обгрунтування математики на базі принципів інтуїціонізму.

Брауер виходить із положення: «Якщо закон виключе-

ного третього діє в кінцевій математичній системі, то

в системі з нескінченними величинами він втрачає свою абсолютність».

Гейтінг вводить таке табличне визначення для запере-

чення (N) та імплікації (С):

Уформі рівностей Гейтінг так задає імплікацію:

1)С х,у = 1, якщо х ≤ у.

а) С х,у = С 0,1 = 1 б) С х,у = С 0, ½ = 1 в) С х,у = С ½,1 = 1

г) С х,у = С 0,0 = 1 д) С х,у = С 1,1 = 1 е) С х,у = С ½, ½ = 1

2) С х,у = у, якщо х > у.

а) С х,у = С 1,0 = 0 б) С х, у = С 1, ½ = ½ в) С х, у = С ½, 0 = 0

Якщо скласти результати двох рівностей, то отримаємо наведену вище таблицю істинності для імплікації.

Порівняємо імплікацію тризначної логіки Я.Лукасевича і Б.Гейтінга:

Я.Лукасевич: С х, у = С ½, 0 = 1 – ½ + 0 = ½

С х, у = С 1, ½ = 1 – 1 + ½ = ½.

Б.Гейтінг: С х, у = С ½, 0 = 0

С х, у = 1, ½ = ½.

Отже, повної подібності немає.

Кон’юнкцію і диз’юнкцію Б.Гейтінг визнaчає відповідно за рівностями:

а) К х, у = min (х, у) б) А х, у = max (х, у).

За допомогою таблиць істинності перевіримо, чи є тав- тологіями вирази: CNNxx та AxNx:

1.CNNxx = CNN½½ = CN 0 ½ = C1½ = ½

2.AxNx = A½ N½= A½ 0 = ½.

Отже, закон подвійного заперечення і виключеного

третього в системі Брауера–Гейтінга не є доказовим.

В той час як вирази CxNNx і AAxNxNNx є тавтоло- гіями:

1.CxNNx = C½ NN½ = C½ N0 = C ½1 = 1

2.CxNNx = C0 NN0 = C 00 = 1

3.CxNNx = C1 NN1 = C11 = 1.

Розглянемо вираз AAxNxNNx:

1.AAxNxNNx = AA1 N1 NN1 = AA101 = A11 = 1

2.AAxNxNNx = AA00 N0 NN0 = AA 010 = A01 = 1

3.AAxNxNNx = AA½ N½ NN½ = AAN½ N0 = A½1 = 1.

Даний вираз є своєрідним узагальненням закону ви- ключеного третього: (р р) р (враховуючи те, що в ло- гіці Гейтінга подвійне заперечення не дорівнює ствер-

дженню). Все це свідчить про те, що багатозначна

логіка Гейтінга є доповненням, узагальненням двозна- чної логіки.

Для доведення формул у даній системі будуються таб- лиці істинності. Оскільки дана логіка тризначна, то таб- лиця істинності будується за формулою «3ⁿ».

Візьмемо два вирази і побудуємо відповідні їм таблиці істинності.

а) (p q) q;

б) p (p q).

а)

б)

3. Багатозначна логіка Е.Поста

Як уже зазначалося, незалежно і майже одночасно з Я.Лукасевичем почав розробляти систему багатозначної логіки Е.Пост.

Він виходить із того, що висловлювання може мати не декілька фіксованих значень, а відповідну множину «n» (1, 2, 3, … n). Причому ці значення можуть бути різної природи (а не тільки {істина … хиба}). Це можуть бу-

ти оцінки: {добро … зло}; {включено … виключено};

{прекрасне ... потворне} тощо. Головне тут – логічні відношення, у які вступають аргументи (висловлювання).

При побудові своєї системи Е.Пост вводить два запе-

речення.

Перше заперечення він називає «циклічним» поетап- ним, а друге заперечення збігається із запереченням Я.Лукасевича.

Перше заперечення позначимо х, а друге – х.

Дамо табличне визначення цих заперечень:

У формі рівностей Е.Пост ще так визначав заперечення.

Перше заперечення (циклічне) визначається двома рів- ностями:

1.х = х + 1 при х ≤ n — 1

2.n =1.

Друге заперечення визначається однією рівністю:

x = n — x + 1.

Прокоментуємо дані дефініції заперечення.

Візьмемо циклічне заперечення (1). Припустимо, що наша система багатозначної логіки (у варіанті Поста) має 6 значень для одного висловлювання: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (тобто

«6 = n», а «5 = n-1»).

Маємо висловлювання р, яке «пробігає» по множині да- них значень. Знайдемо його значення впродовж усієї шка- ли (від 1 до 6).

1.р = 1+1 = 2

2.р = 2+1 = 3

3.р = 3+1 = 4

4.р = 4+1 = 5

5.р = 5+1 = 6 (n)

6.р = 6+1 = 1 (х = 1).

У табличному варіанті ця зв’язка матиме вигляд:

Тепер розглянемо другий варіант запереченя ( х) Е.Поста. Знову припустимо, що в нашій системі 6 значень (1, 2, 3, 4, 5, 6) для довільного висловлювання.

1.р = 6 — 1 + 1 = 6 при n = 6

2.р = 6 — 2 + 1 = 5

3.р = 6 — 3 + 1 = 4

4.р = 6 — 5 + 1 = 3

5.р = 6 — 5 + 1 = 2

6.р = 6 — 6 + 1 = 1.

Табличний варіант для ( х):

Диз’юнкція і кон’юнкція визначаються відповідними рівностями:

а) А xy = min (x,y) б) К ху = max (x,y).

Тут необхідно мати на увазі, що в системі Е.Поста більш стверджувальним (враховуючи те, що ми маємо справу не з двозначною логікою, то за терміном «ствер- джувальне» не треба розуміти «більш істинне») є те запе-

рчення, яке ближче по порядку до вихідного.

Наприклад, в системі із 6 значень (1, 2, 3, 4, 5, 6) більш стверджувальним буде «2», а не «3».

Розглянемо наведені приклади диз’юнкції та кон’юн- кції:

1.Аху = min (1, 2) = 1

2.Аху = min (2, 3) = 2

3.Аху = min (3, 4) = 3

4.Аху = min (4, 5) = 4

5.Аху = min (5, 6) = 5.

Табличний варіант:

Визначимо таким самим способом кон’юнкцію:

1.Кху = max (1,2) = 2

2.Кху = max (2,3) = 3

3.Кху = max (3,4) = 4

4.Кху = max (4,5) = 5

5.Кху = max (5,6) = 5.

Табличне визначення: