1. Система багатозначної логіки Я.Лукасевича.

а) Тризначна логіка Я.Лукасевича

Відомий польський логік Я.Лукасевич, досліджуючи природу модальних висловлювань, прийшов до висновку, що для оцінки модальних висловлювань засобів класичної логіки недостатньо. У зв’язку з цим він вводить третю оці- нку – «нейтрально», яка може розглядатися як «мож- ливо». Треба мати на увазі, що оцінка «можливо» – це не модальний оператор «◊», а оцінка висловлювання, яка знаходиться за межами самого висловлювання, подібно до оцінок «істинно» або «хибно».

При цьому необхідно підкреслити, що навіть у тих випадках, коли поняття «істинно», «хибно», «можли- во» виконують роль предикатів (наприклад, «висловлю-

вання р – істинне», «висловлювання р – хибне», «ви-

словлювання р – можливе»), суть справи не змінюється. Тобто, у цих випадках відбувається утворення нового ви- словлювання, де назва «висловлювання «р» є суб’єктом,

а оцінка «істинно» («хибно», «можливо») – преди-

катом.

Якщо прийняти трактовку принципу багатозначності як поділ усієї множини висловлювань на «істинні», «хибні», «можливі» («нейтральні»), то справедливим буде поло- ження:

Для будь-якого висловлювання правильно, що воно або «істинне», або «хибне», або «нейтральне» – четверто- го не дано.

При побудові тризначної логіки Я.Лукасевич істинніст- ні значення позначає таким чином:

«істинно» – 1, «хибно» – 0, «нейтрально» – ½.

Третє значення «нейтрально» може тлумачитися у ви-

гляді положення: «може бути істинним, а може бути

хибним».

Враховуючи значення «½» і визначення пропозиційних зв»язок у двозначній логіці, Лукасевич задає нове табличне визначення логічних сполучників:

Наведене табличне визначення логічних сполучників Я.Лукасевичем базується на своєрідній трактовці третього значення «нейтрально» («невизначено», або ½).

Третє занчення «невизначено» розглядається як дві рі- вноможливі ситуації:

а) «висловлювання «р» може мати значення «істин-

но» (1)» і

б) «висловлювання «р» може мати значення «хибно» (0)».

У такому випадку, коли розглядаємо диз’юнктивне ви- словлювання

«p v q», де р =1, а q = ½,

треба припустити дві можливості:

І – 1 v 1= 1 і ІІ – 1 v 0 = 1.

Виходить, що значенням p v q буде «1». Або ж візьмемо імплікацію

p q, де знову р = 1, а q = ½.

Тут матимемо таку ситуацію:

І – 1 1 = 1; ІІ – 1 0 = 0.

Отже, імплікація при такому наборі значень, де анте-

цедент істинний (1), а консеквент невизначенний (½) ма-

тиме значення «½». Таким способом встановлюється зна- чення для будь-якої формули в тризначній логіці.

Якщо побудува таблиці істинності в двозначній логіці здійснюється за формулою 2ⁿ, то в тризначній логіці – за формулою 3ⁿ.

У цій формулі число 3 вказує на кількість істинністних значень (1, 0, ½), а буква «n» на кількість простих вислов- лювань, що входять до складу вихідного висловлювання.

Звернемося до прикладу і побудуємо таблицю істинності для висловлювання:

(p ^ q) r.

Виходячи із формули побудови таблиці істинності в тризначній логіці, така таблиця матиме 27 рядків:

Закінчення табл.

Окрім табличного способу визначення пропозиційних сполучників існує ще спосіб визначення даних сполучни- ків у формі рівностей.

Скористаємося позначенням логічних сполучників, яке вживає Я. Лукасевич:

N – заперечення;

C – імплікація;

K – кон’юнкція;

A – диз’юнкція.

Тепер логічні сполучники, як пропозиційні функції мо- жна записати у вигляді таких рівностей:

а) Nx = 1 – x.

б) Kx, y = min (x,y). в) Ax, y = max (x,y).

г) Cx, y = min (1,1 – x + y).

Прокоментуємо кожну із наведених рівностей:

а) Nx =1-x (тобто Nx = 0 при х = 1, Nx = 1, при х = 0,

Nх = ½ при х = ½);

г) Cx,y = min (1,1 — x + y). Читається ця рівність: «значення істинності імплікації висловлювань х та у до- рівнює меншому із чисел «1»; «1 — х + у».

Розглянемо всі варіанти:

1.С 1,0 = min (1, 1 – 1 + 0) = 1, 0 = 0

2.С 0, 1 = min (1, 1 – 0 + 1) = 1, 2 = 1

3.С 1, 1= min (1, 1 – 1 + 1) = 1, 1 = 1

4.С 0, 0 = min (1, 1 – 0 + 0) = 1, 1 = 1

5.С ½, 1= min (1, 1 – ½ + 1) = 1, 1 ½ = 1

6.С 1, ½ = min (1, 1 – 1 + ½) = 1, ½ = ½

7.С 0, ½ = min (1, 1 – 0 + ½) = 1, ½ =1

8.С ½, 0 = min (1, 1 – ½ + 0) =1, ½ = ½

9.С ½,½ = min (1, 1 – ½ + ½) = 1, 1 =1.

б) Кх, у = min (х, у) – (тобто значення істинності кон’юнкції х та у дорівнює у меншому із значень істинно- сті х та у).

Розгорнемо цю дефініцію:

1.К 1, 0 = min (1, 0) = 0

2.К 0, 1 = min (0, 1) = 0

3.К 0, 0 = min (0, 0) = 0

4.К 1, 1 = min (1, 1) = 1

5.К ½, 1 = min (½, 1) = ½

6.К 1, ½ = min (1, ½) = ½

7.К ½, 0 = min (½, 0) = 0

8.К 0, ½ = min (0, ½) = 0

9.К ½, ½ = min (½, ½) = ½.

в) Ах,у = max (х, у) – (тобто значення істинності диз’юнкції х та у дорівнює більшому із значень істиннос- ті х і у).

Наведемо можливі варіанти.

1.А 1, 0 = max (1, 0) = 1

2.А 0, 1 = max (0, 1) = 1

3.А 1, 1 = max(1, 1) = 1

4.А 0, 0 = max (0, 0) = 0

5.А ½, 1 = max (½, 1) = 1

6.А 1, ½ = max (1, ½) = 1

7.А ½, 0 = max (½, 0) = ½

8.А 0, ½ = max (0, ½) = ½

9.А ½, ½ = max (½, ½) = ½.

Якщо співставити табличне визначення пропозиційних зв’язок (яке наводилося вище) із визначенням їх у формі рівностей, то їх ідентичність буде очевидною.

Як і у двозначній логіці, в якості тавтологій (стверджу- ваних, доказових, завжди істинних тощо висловлювань) вважаються ті, які набувають лише значення «і», так і в трьохзначній логіці Я.Лукасевича законом є формула, яка при будь-яких наборах значень пропозиційних змінних на- буває значення «1».

У зв’язку з цим виникає закономірне питання: «Чи

співпадає клас тавтологій двозначної логіки із класом тавтологій тризначної логіки?»

Виявляється, що не всі тавтології двозначної логіки є тавтологіями у тризначній.

Візьмемо такі принципові формули, як закон виключе- ного третього і закон протиріччя: A A, (A A).

При значені ½ вони перестають бути тавтологіями:

А А = ½ ½ = ½ ½ = ½

(А А) = (½ ½) = (½ ½) = ½ = ½.

Не відноситься до числа тавтологій і правило зведення до абсурду:

Як ми вже переконалися, закон виключеного третього і закон протиріччя не є тавтологіями в тризначній логіці, але й такими не є їх заперечення.

Переконаємося у цьому, здійснивши заперечення даних законів.

Візьмемо спочатку заперечення закону виключеного третього:

Із наведених фактів випливає, що багатозначна логіка не є запереченням (відкиданням) двозначної логіки (поді-

бно до того, як поява фізики Енштейна не була заперечен- ням, в негативному розумінні, фізики Ньютона), а багато- значна логіка є узагальненням двозначної. Адже при зна- ченнях «1» та «0», коли виключати проміжні значення, то двозначна логіка виступає як граничний (частковий) випа- док багатозначної.

б) Чотиризначна логіка Я.Лукасевича

У творі «Арістотелівська силогістика з точки зору су- часної формальної логіки» Я.Лукасевич розробляє чотири- значну логіку.

Для цього він бере два вихідні значення «1» та «0» і ут- ворює з них чотири впорядковані пари: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0). Які розглядаються як елементи нової таблиці істин- ності. Значення істинності для вихідних (в його логіці) ло- гічних зв’язок імплікації та заперечення Я.Лукасевич за- дає відповідними рівностями:

1)C (a, b) (c, d) = (C ab, C bd);

2)N (a, b) = (Na, Nb).

Упорядковані пари відповідно позначимо:

(1, 1) = 1, (1, 0) = 2, (0, 1) = 3, (0, 0) = 0.

Побудуємо таблицю істинності для імплікації із ураху- ванням введених рівностей:

q

Перепишемо дану таблицю, застосовуючи введені раніше скорочення:

q

Дамо табличне визначення заперчення (N):

Враховуючи скорочення, дана таблиця набуде вигляду:

Задамо значення для кон’юнкції, диз’юнкції та еквіва- ленції:

3)К (a,b) (c,d) = (K (a,c) K (b,d))

4)A (a,b) (c,d) = (A (a,c) A (b,d))

5)Q (a,b) (c,d) = (Q (a,c) Q (b,d)).

Введемо табличне визначення для кон’юнкції (К), диз’юнкції (А) та еквіваленції (Q).

q

У скороченому варіанті дана таблиця матиме вигляд:

q

Таблиця для диз’юнкції виглядатиме так: q

Скорочений варіант таблиці: q

Запишемо таблицю для еквіваленції:

q

Скорочений варіант таблиці для еквіваленції:

q

Нові символи, які введені для таблиць істинності «2» і «3», можна тлумачити: «2» – «ближче до істини», «3» – «ближче до хиби». Оскільки «2» і «3» взяті як додаткові істинісні значення, то їх можна ототожнювати з «1» і «0» байдуже як саме.

Візьмемо, наприклад, таблицю для імплікації і прийме- мо умову: 2 = 1, а 3 = 0.

Таблиця 1

q

Отже, даний вираз є доказуваним у чотиризначній ло- гіці.

Перевіримо, чи будуть тавтологіями в чотиризначній логіці закон виключеного третього і закон протиріччя: (А А) та (А А).

Виходить, що закони виключеного третього і проти-

річчя залишаються тавтологіями і в чотиризначній логіці.

Це означає, що багатозначна логіка не завжди від- кидає закони класичної логіки, тому більш конкрет- ним буде все ж таки визначення багатозначної логіки як такої, що визнає за висловлюванням більш ніж дві оцінки.

Критика законів виключеного третього та протиріччя є лише зовнішнім виявом тих процесів, які визначають від- ношення між класичною та некласичною логікою. І це по- трібно мати на увазі, даючи дефініцію класичної логіки.

Прокоментуємо дане положення.

Враховуючи факт існування класичної та некласич- ної логіки, закон виключеного третього матиме три рі- зні за формою дефініції:

а) «Будь-яке висловлювання або істинне, або хибне». б) «Будь-якому висловлюванню або притаманне деяке

значення істинності, або ні».

в) A A.

У наведених дефініціях закону виключеного третього визначальними є характеристики диз’юнкції та заперечен- ня. В усіх цих дефініціях диз’юнкція та запереченння ви- ступають в узагальнюючому вигляді. Це означає, що для одних визначень А А залишається законом (чотирьох- значна логіка Я.Лукасевича), а для інших – ні (тризначна логіка Я.Луксевича). Якщо ми приймемо, що тавтологією є висловлювання, яке завжди приймає одне з двох значень «1» або «½», то А А виявиться тавтологією:

А А = 1 1 = 1 0 = 1 А А = 0 0 = 0 1 = 1

А А = ½ ½ = ½ ½ = ½.

Третя дефініція закону виключеного третього А А (як і закону протиріччя (А А) є приблизним позначенням цього закону (тобто цей закон не можна зводити до відпо- відної тотожньо-істинної формули, це лише певна експлі- кація цього закону). І коли в підручниках з логіки в роз- ділі «Закони логіки висловлювань» приводять закони тотожності, виключеного третього, протиріччя як відпові- дні тавтології (А А, А А, (А А)), то це не зовсім коректно.

Особливо це відчутно, коли задається інтерпретація диз’юнкції та заперечення в багатозначній логіці, при