із того, що одна із них тотожно-істинна слідує, що і друга теж тотожно-істинна».

Дійсно, нехай А* і В* – дедуктивно еквівалентні фор-

мули і А* – тотожно-істинна формула. А правила чис-

лення такі, що забезпечують отримання тотожно-істинних формул із тотожно-істинних формул.

Завдяки дедуктивній еквівалентності В* вивідна із аксі- ом числення предикатів і формули А*. А це означає, що

В* є тотожно-істинною формулою.

Окрім того, якщо А* і В* дедуктивно еквівалентні і А* –

вивідна формула в численні предикатів, В* також є ви- відною формулою.

Отже, проблема повноти числення предикатів у широ- кому смислі розв’язується позитивно.

Розглядом металогічних принципів завершується зна- йомство із побудовою аксіоматичного числення преди- катів.

4. Натуральне числення предикатів

Поряд із аксіоматичним численням у логіці предикатів застосовують і такий засіб дослідження, як натуральне чи- слення або систему натурального висновку.

На відміну від аксіоматичного числення, в якому разом із деяким необхідним мінімумом правил висновку в числі вивідних постулатів містяться аксіоми, натуральне чис-

лення містить тільки правила висновку.

Усю множину правил висновку в натуральному численні предикатів (S6) 1 поділяють на дві підмно- жини:

1) прямі правила і

2) непрямі правила.

За цими підмножинами правил зберігаються визначен- ня, які їм давалися при формулюванні натурального чис- лення висловлювань.

Тобто, правила першого виду дозволяють із одних вира- зів виводити нові вирази, а правила другого виду регламе- нтують виведення із тверджень про логічне слідування но- вих тверджень про логічне слідування.

1 Натуральне числення логіки предикатів позначають символом S6 .

Під виразом А(α / t) мається на увазі результат прави- льної підстановки у формулу А(α) замість усіх вільних входжень предметної змінної α терму t.

Звернемося до прикладу.

Нехай А(х) представляє формулу:

у (х < у х = z).

Уцій формулі змінна х має два вільних входження. За-

мість х будемо підставляти один із таких термів: «5» або

«z» або (x+z)• 5.

Внаслідок підстановки вираз А(х / t) у кожному конк- ретному випадку приймає вигляд:

В усіх трьох випадках ми здіснили підстановку прави- льно. Оскільки жодна змінна, яка входить у терм t, не стала зв’язаною на місцях, де з’явився в результаті підста- новки терм t.

Порушення цієї вимоги веде до некоректних семантич- них наслідків.

Візьмемо той самий вираз:

у (х < у х = z).

За семантичною типологією виразів логіки предикатів даний вираз є виконуваним. Приймемо за область визна- чення для змінних, що входять в даний вираз, універсум натуральних чисел.

При х / у+2 отримаємо:

у (у′ + 2 < у у′ + 2) = z.

Оскільки терм t містить змінну у, то після підстановки вона виявилася зв’язаною на тих місцях, де t з’явився у результаті підстановки. Графічно це зображено штрихом.

З точки зору семантики даний вираз є тотожно-хибним. Дійсно, які б значення не вибиралися для індивідних змінних із множини натуральних чисел, вираз х + 2 < у ніколи не буде істинним. А це означає, що вся кон’юнкція буде завжди хибною.

Отже, ми порушили правило підстановки, яке (як і всі правила висновку) гарантує отримання із істинних твер- джень знову ж таки істинні твердження.

Щодо виразу А(α / β , γ 1,..., γ n), який фігурує в правилах В і У , то він є метамовним записом часткового випадку

Щоб здійснити цей перехід, необхідно усунути , а в залишковій формулі А(α ) зробити правильну підстанов- ку замість α терму t. Оскільки в А(α ) можуть входити

квантори, то необхідно бути уважними, здійснюючи процедуру підстановки.

Наприклад, маємо вираз х у (х < у).

Якщо за область визначення для змінних х і у береться множина натуральних чисел, то даний вираз cтверджує про відсутність найбільшого числа. За значенням цей ви- раз є істинним. Але якщо підставити замість х терм у, то отримаємо із цього істинного твердження хибне:

у (у < у).

Тут терм у виявився зв’язаним на тому місці, де він був підставлений замість х.

Правило введення квантору існування дозволяє пере- йти від формули

А(α / t) до формули α А(α ).

Тут також необхідно дотримуватися вимог правильної підстановки. У протилежному випадку матимемо хибний висновок.

Візьмемо предикат «6 < у». Якщо невірно застосуємо правило В , то отримаємо хибне твердження: у (у < у).

Що ж тут насправді відбулося? Справа в тому, що у цьому застосуванні В предикат 6 < у трактувався як ніби- то результат вірної підстановки терму 6 замість змінної у. Але результатом такої підстановки повинен бути вираз 6 < 6, а не 6 < у, оскільки підстановка завжди здійснюється замість всіх входжень вільної індивідної змінної.

Отже, вираз 6 < у не можна розуміти як А(у / 6), а тому

перехід до у А(у) невірний.

З іншого боку 6 < у можна розуміти як А(х / 6), як ре- зультат тепер вірної підстановки у х < у замість всіх віль- них входжень змінної х терму 6. У цьому випадку ми

обм.». Розглянемо смисл цієї інформації.

З семантичної точки зору змінні трактуються як такі, що пробігають по деякій предметній області і набувають тут будь-яких значень. Саме в цьому полягає основна суть вільних змінних. Але в складі формул вільні змінні не завжди виконують цю роль, тобто не завжди розглядають- ся як знаки, що можуть позначати будь-який (довільний) об’єкт області визначення. Тут можливі варіанти.

Утому випадку, коли вільна предметна змінна в складі формули позначає будь-який об’єкт із універсуму розгляду, вважається, що вона застосована в цій фор- мулі в інтерпретації всезагальності.

Наприклад, у виразі «х • у = у • х» змінні у і х вжи-

ваються в інтерпретації всезагальності, оскільки їх спі-

відношення при будь-яких значеннях х і у буде істинним.

Утому випадку, коли твердження справедливе для якогось (фіксованого), можливо і невідомого предмета із області значень х, то маємо умовну інтерпретацію.

Так, наприклад, у виразі 3х + 6 = 0 змінна х уже не використовується у інтерпретації всезагальності, так як не позначає довільний об’єкт із універсуму. Навпаки, можли- ві значення для х суворо фіксовані, тобто обмежені умовою даного твердження. А це значить, що х використана в умовній інтерпретації.

Звернемося ще до прикладу.

Увиразі х + 6 < у нехай х і у взяті в умовній інтер-

претації.

Виберемо для х значення 2. Вибір цього значення для х відразу ж накладає обмеження на вибір можливих значень для у.

Дійсно, змінна у не може тепер прийняти в якості зна- чень числа, менші ніж 9. Але вибір числа 2 як значення х довільний. Нам нічого не заважало б вибрати в якості зна- чення для х число 23. Цей вибір відразу ж по-новому об- межить множину можливих значень для у. Тепер значен- ням для у повинно бути число, не менше як 30.

Отже, у випадку умовної інтерпретації змінних ви- бір значення для однієї змінної обмежує вибір значення для інших вільних змінних, які входять у конкретний вираз.

Проілюструємо правила В і У .

Відповідно до правила У дозволяється перехід від фор-

мули α (α , γ 1,..., γ n) до формули А (α / β , γ 1,..., γ n).

Зрозуміло, цей перехід регламентується вимогами пра- вильної підстановки.

Засновок даного правила α А (α , γ 1,..., γ n) стверджує, що в універсумі розгляду існує деякий об’єкт, що задово-

мет, що позначається змінною β . Буквально це звучить так:

«Якщо існує предмет, що задовольняє умові А, то нехай ним буде предмет β ». Цим самим здійснюється та- кий вибір значення для β , що предикат А (β , γ 1,...,γ n) стає істинним висловлюванням.

У цьому випадку β береться в умовній інтерпретації, а це означає, що вона абсолютно обмежена, тобто виступає іменем якогось чітко визначеного предмета, що задоволь-

няє умові А (β , γ 1, ..., γ n).

Але цим самим вибір значення для β обмежує можли- вість вибору значення для решти вільних змінних γ 1,...,γ n. Саме ця інформація і фіксується у правилі усунення кван-

Цей вираз стверджує про наявність у множині натура- льних чисел такого числа, яке задовольняє умові х + 6 =

= 9.

Припустимо, що таким числом буде значення змінної у. У цьому випадку відповідно до правила У отримаємо ви- раз у + 6 = 9, де у є обсолютно обмеженою змінною, оскі-

1 Тут необхідно зробити зауваження. Коли вживається термін «абсолютно об- межена змінна», то не у розумінні «неповноцінна», а обмежена у розумінні ви- значення, встановлення межі, відділення одного предмету від іншого. Тобто, об- межити предметні змінну – це означає визначити для неї характер інтерпретації.

льки у позначає тепер вибраний об’єкт із універсуму (у да- ному випадку він єдиний).

Розглянемо ще такий вираз: х (х + 6 < у).

Вибиремо у множині натуральних чисел предмет, який задовольняє умові х + 6 < у. Що такий об’єкт є, свідчить висловлювання

х (х + 6 < у).

Нехай таким об’єктом буде предмет, позначений індиві- дною змінною х. Застосовуючи тепер правило У , отрима- ємо вираз:

х + 6 < у,

де змінна х абсолютно обмежена, змінна у відносно об- межена, або просто обмежена.

Подібну інформацію несе і вираз «β – абс. обм.; γ 1,..., γ n – обм.», який є приміткою до правила В .

Суть цього правила полягає в дозволі переходу від виразу

А (α / β , γ 1,..., γ n) до α А (α , γ 1,..., γ n).

Прокоментуємо цей перехід.

У даному випадку є дві можливості.

Вираз А (β / α , γ 1,..., γ n) може, по-перше, при деяких фі- ксованих значеннях γ 1, ..., γ n приймати значення «істина» на певній області визначення при будь-яких значеннях β . Іншими словами, змінна β при відповідних фіксованих значеннях γ 1, ..., γ n входить у вираз А (β , γ 1, ..., γ n) в інтер-

претації всезагальності.

У даному випадку перехід від цього виразу за правилом В до виразу α А(α , γ 1, ..., γ n) є цілком правомірним.

По-друге, вираз А (β , γ 1, ..., γ n) може виявитися і таким, що при певних фіксованих значеннях γ 1, ..., γ n на відповід- ній області міркувань буде при деяких значеннях β при- ймати валентність «хибa».

Тоді виберемо це значення для β . Внаслідок цього β стає аб-

солютно обмеженою змінною, а решта вільних змінних – обмеженими.

Зрозуміло, що вираз А (β , γ 1,..., γ n) при такому виборі значень для змінних буде хибним. Але з хибного вислов-

лювання слідує все, що завгодно. Тому правомірним є ви-

раз α (α , γ 1,..., γ n ).

Після того, як ми виписали прямі правила висновку в S6 з їх короткою характеристикою, ознайомимося з не-

прямими правилами висновку S6 .

До непрямих правил висновку S6 відносять:

а) правило введення імплікації (ВІ):

Г, А| −B ;

Г| -A B

б) правило введення заперечення, або правило спрос- тування «шляхом зведення до абсурду» (ВЗ) або (Зв.А):

Г, А| -B, B ;

Г | A

в) правило доведення від противного (ДВП):

Г, А | −B, B .

Г| −A

Окрім правил висновку дедуктика, або дедуктивна логі- ка S6, включає в себе низку дефініцій:

1. Дефініція висновку:

«Висновком в S6 називається непорожня кінцева по- слідовність формул С1,..., Сn, яка задовольняє таким вимогам:

а) кожна Сi є або засновок, або отримана із попере- дніх формул за правилами висновку;

б) якщо у висновку застосовувалися правила ВІ або ВЗ, то всі формули, починаючи з останнього засновку аж до результату застосування даного правила, ви- ключаються із подальших кроків побудови висновку1;

1 Властивість «виключеності» деяких формул із подальшої побудови вис- новку означає, що до даних формул у подальших кроках уже не можна більше застосовувавти будь-яких правил. Ці формули нібито ізолюються із процесу по- будови висновку. У подальшому такі формули будемо називати виключеними формулами, або виключеними засновками. Той факт, що деякі засновки є вик-

люченими, при запису висновка графічно позначають вертикальною рискою. Звернемося до прикладів.

Нехай потрібно обгрунтувати метатвердження про вивідність формули R із засновків P Q, Q R i P.

в) жодна індивідна змінна у висновку не обмежується абсолютно більше одного разу;

г) жодна індивідна змінна не обмежує у висновку сама себе».

Для цього необхідно побудувати висновок у якому остання формула графічно співпадала б з формулою R, а засновками були б формули – P Q, Q R i P. Тобто, йдеться про таку послідовність:

1. P Q – засновок

2 Q R – засновок

3.P – засновок

4.Q – УІ до 1,3

5.R – УІ до 2,4

Дійсно, ми отримали висновок, де остання формула послідовності співпадає графічно з R, а формули P Q, Q R i P є невиключеними засновками. Цим

самим побудовано висновок, який обгрунтовує метатвердження про вивідність

|− P Q, Q R, P |− R.

Розглянемо ще одне метатвердження: |− (P Q) ((Q R) (P R)).

Це метатвердження фіксує той факт, що формула, яка стоїть справа від знака |−,

єтеоремою. Побудуємо послідовність, яка обгрунтовує дане метатвердження.

1.P Q – засновок

2.Q R – засновок

3.P – засновок

4 Q – УІ, до 1, 3

5.R – УІ, до 2, 4

6.P R – ВІ, до 3, 5

Отже, оскільки рядок 8 послідовності графічно співпадає із тією формулою, яку потрібно було отримати, то ми маємо висновок. Окрім того, усі засновки включені, тому множина невиключених засновків порожня. У зв’язку з цим дана послідовність згідно з дефініцією доведення є доведенням формули

(P Q) ((Q R) (P R)),

тобто дана формула є теоремою.

Якщо порівняти дану послідовність із попередньою, то легко побачити подіб-

кроці було застосовано правило ВІ до 3,5 рядків. Відповідно до цього правила дозволяється отримати формулу P R , де Р – останній засновок, а R – 5-та формула. Саме ця формула і записана на 6-му кроці.

У дефініції висновку зазначено, що при застосуванні правила ВІ із подаль- ших кроків висновку виключаються усі формули, починаючи із останнього за- сновку аж до результату застосування цього правила, тобто, у нашому випадку з 3-ї до 6-ї формули. Якщо висновок був би обірваний на 6-му кроці, то цим самим була б обгрунтована вивідність такого роду: P Q, Q R |− P R. Але оскільки процес виведення був продовжений у результаті застосування правила ВІ до 6-го кроку, то на 7-му кроці була отримана формула (Q R) (P R) і внаслідок цього були виключені рядки з 2-го по 7-й.

Якщо б виведення закінчилося на 7-му кроці, то була б обгрунтована вивідність (P Q) |− ((Q R) (P R)). Застосувавши до 7-го кроку правило ВІ, отримуємо на 8-му кроці обгрунтування вивідності із порожньої множини засновків формули (P Q) |− ((Q R) (P R)).

2. Дефініція доведення:

«Доведенням у S6 є висновок із порожньої множини не виключених засновків».

3. Дефініція завершеного висновку:

«Завершеним називається висновок у якому ніяка змінна, що абсолютно обмежувалася у процесі висновку, не зустрічається вільно ні у не виключених засновках, ні у наслідку».

4. Дефініція завершеного доведення:

«Завершеним доведенням у численні предикатів є за- вершений висновок із порожньої множини не виключених засновків».

Якщо проаналізувати чотири наведені дефініції, то оче- видно, що основною є дефініція висновку.

Порівняно з поняттям висновку в численні висловлю-

вань у S6 поняття висновку збагачується ще двома ви-

могами.

Перша вимога зводиться до того, що позначка про аб- солютну обмеженість деякої змінної означає, що в процесі побудови висновку вона стає знаком якогось конкретного предмета, а тому друге її абсолютне обмеження може вка- зувати на те, що вона стала знаком якогось іншого пред- мета. Така ситуація повинна бути заборонена, оскільки во- на веде до протиріччя.

Відносно другої вимоги, то вона пов’язана з такими міркуваннями. В основі кванторних правил У і В ле- жить відношення логічного слідування1.

Іншими словами, для У це означає, що перехід від фо- рмули α А(α ) до А(α / t) виправданий відношенням логі- чного слідування:

Незважаючи на цю обставину, в численні предикатів все

жтаки приймаються ці правила. Але з певними умовами. Для того, щоб не допустити можливості виведення із іс-

тинних тверджень хибних наслідків, необхідно якимось чином заблокувати, виключити негативний вплив відсут- ності логічного слідування.

Це досягається завдяки двом формальним умовам. Перша формальна умова представлена пунктом г)

дефініції висновку.

Необхідно мати на увазі, що ситуація, коли змінна об- межує сама себе, може виникнути не тільки прямим чином, а й опосередковано.

Тут мається на увазі, що відношення «х обмежує у» є транзитивним, тобто для нього вірним є співвідношення:

«якщо α обмежує β , а β обмежує γ , то α обмежує γ ».

Це пояснює ситуацію самообмеження деякої змінної в процесі побудови висновку, скажімо змінної х, таким чи-

ном: в одному кроці висновку змінна х, будучи абсолют- но обмеженою, обмежує змінну у, а в другому кроці – змінна у, будучи абсолютно обмеженою, обмежує х. То-

ді, згідно з відношенням транзитивності, змінна х буде обме-

жувати сама себе.

Друга формальна умова, як зазначалося в §2, полягає в розрізненні поняття висновку і поняття завершеного висновку.

Наявність завершеного висновку гарантує відношення логічного слідування між засновками і наслідком.

Перед тим, як розглянути конкретні варіанти побудови висновку і доведення в S6, зупинимося ще на одному пи- танні.

Побудова висновків і доведень є творчою проблемою. Вона полягає у находженні потрібної послідовності фор- мул, зокрема, знаходженні засновків. Звичайно, в якості засновків можна брати будь-які формули, але обов’язково треба враховувати ту обставину, що, застосовуючи до виб- раних засновків відповідне правило, необхідно мати мож- ливість виключити із висновку всі зайві засновки.

Для того, щоб вибір потрібних засновків для побудови висновку не носив випадкового характеру і не був прос-

тим перебиранням різних можливостей, необхідно описати деякі способи або прийоми вибору засновків.

Назвемо прийом вибору засновків для побудови про- цедури висновку методикою вибору засновків. Скорочено позначається буквами МЗ. Розглянемо основні з них.

Нехай шляхом побудови висновку необхідно обгрунту- вати метатвердження про вивідність:

А1, А2,..., Аn |− (С1 (С2 ... (Сn В))).

Спочатку в якості засновків беремо формули, які стоять до знака |−. Подальший вибір засновків здійснюється за такими методиками.

Перша МЗ: «Якщо формула, що стоїть після знака |−, є

імплікацією, то антецедент даної імплікації береться за засновок, а метою виведення стає консеквент. Тоб- то, до уже вибраних засновків А1, A2,..., Аn додається новий засновок С1.

Застосування першої МЗ здійснюють до того часу, поки метою побудови висновку не стане формула, яка не має ви- гляду імплікації. В нашому випадку це формула В:

А1, А2, ..., Аn, С1, С2, ..., Сn |− В».

Якщо побудова висновку відбувається, то, послідовно застосовуючи правило ВІ для виключення додаткових за- сновків, можна отримати обгрунтування даного висновку:

А1, А2,..., Аn |− (С1 (С2 ... (Сn В)...)).

Друга МЗ: «Якщо послідовне застосування першої МЗ привело до формули В як мети побудови висновку, але висновок не вдається побудувати, то необхідно взяти в якості додаткового засновку заперечення формули В:

А1, А2,..., Аn, С1, С2,..., Сn , В».

Метою висновку тепер стає отримання в його складі протиріччя.

Третя МЗ. «Якщо в процесі побудови висновку зустрі- чається диз’юнктивна формула А В (вона може вхо-

дити до складу більш складного виразу), то є декілька варіантів вибору частин цієї формули в якості додат- кових засновків: або А, або В; або А і В, або A , або B ; або A і B ».

Четверта МЗ. «Після того, як завдяки застосуванню першої МЗ вдалося отримати формулу В, яка має ви- гляд α Α або α Α , дозволяється продовжити вибір за-

сновків із формули за першою МЗ і другою МЗ, не звер- таючи уваги на квантори».

Зупинимося на декількох варіантах побудови висновків і доведень в S6.

І. х у Р(х,у) |− у х Р(х,у)

У цьому висновку змінні х і у абсолютно обмежені, але оскільки вони не входять вільно ні у засновок, ні у на- слідок, то дана послідовність являє собою завершений висновок.

Побудуємо висновок для виразу:

ІІ. х у Р(х,у) |− у х Р(х,у)

На четвертому кроці висновок повинен бути призупине- ний, оскільки послідовність 1–4 суперечить пункту г) де- фініції висновку. Згідно з цим пунктом жодна змінна не повинна обмежувати сама себе. У нашому прикладі на 3-

му кроці z обмежує х, а на 4-му х обмежує z. Тому згідно з відношенням транзитивності виходить, що z обмежує z.

Обійти цю ситуацію неможливо навіть при заміні змін- ної при застосуванні правила У .

Отже, дана вивідність не може бути обгрунтованою.

Побудуємо доведення виразу:

ІІІ. |− ( х S(x) P(x)) x (P(x) Q(x))) x (S(x)Q(x))

Даний висновок є завершеним доведенням, а тому це метатвердження є обгрунтованим.

Розглянемо наступний варіант побудови доведення.

ІV. |− х Р(х,у,а) х Р(х,у,а)

Ця послідовність – завершене доведення, оскільки є єдина х, яка обмежується. На 6-му кроці висновку змінна х не входить вільно в наслідок (множина невиключених засно- вків порожня).

Суть застосування МЗ-4 на 2-му кроці полягала в то- му, що був розглянутий предикат Р(х,у,а), який не мав ви- гляду імплікації, а тому згідно з МЗ-2 для переходу від побудови висновку від протилежного було взято в ролі зас- новку заперечення цієї формули.

Наведені варіанти побудови висновків технічно розкри- вають специфіку натурального числення предикатів порів- няно з аксіоматичним численням.