2. Метатеорема про дедукцію

Вивідність формули на підставі метатеореми про дедукцію визначається трьома особливостями, які ви- ражаються у вигляді таких правил:

а) із довільних формул А1,... Аn вивідна кожна із цих формул:

А1,... Аn |− Аi де n ≥ і ≥ 1;

б) із довільних формул А1,... Аn вивідна кожна форму- ла, яка є вивідною в S2 :

А1,... Аn |− R (R – вивідна формула в S2);

в) якщо із довільних формул А1,... Аn вивідна формула виду МР, то із них також вивідний і консеквент цього модусу.

Ці особливості вивідності (дедукції) на підставі метатео- реми про дедукцію стають очевидними на основі таких се-

мантичних міркувань:

1) Особливість а) виражає властивість рефлексивності слідування:

«Із засновку випливає він сам» А |= А, так як |= А А.

2)Особливість б) виражає властивість істинних (вивід-

них) формул. «Кожна істинна формула розглядається як консеквент L – (логічно істинної імплікації) з до-

вільним антецедентом».

3)Особливість в) фіксується таким способом:

«Якщо із А1,... Аn |− В′ і із А1,... Аn |− В′ В′′, то |= В′ В′′, але це можливо, коли |= В′′».

Перейдемо до доведення метатеореми про дедукцію:

A1 , ..., An−1 , An | −B .

A1 , ..., An−1 , | −An B

І. В може бути однією із формул А 1,... Аn :

П. В може бути вивідною формулою в S2 (|− R):

A1,..., An-1,, An |− R . A1,..., An-1 |− An R

Цей випадок є очевидним.

Ш. В може бути консеквентом вивідної імплікації:

|− [B′ (B′ B′′)] B′′

А1,..., Аn-1, An |− В′′

А1,..., Аn-1 |− Аn В′

..................................…………

А1,..., Аn-1 |− Аn (В′ В′′) .

А1,..., Аn-1 |− Аn В′′

Розглянуті варіанти доведення метатеореми про де-

дукцію показують, що вона описує одну із фундаменталь-

них властивостей числень, суть якої полягає у тому, що

доведена формула із множини засновків, з’єднуючись че- рез імплікацію з будь-яким із цих засновків чи їх комбі- нацією, теж буде доведеною.

3. Металогічні принципи в S2

Властивості розв’язання, несуперечливості, повноти і незалежності називають металогічними принципами.

Аналізують ці принципи через доведення відповідних ме- татеорем.

а) Принцип розв’язання

Аналізуючи принцип розв’язання, зауважимо, що ло- гічна мова повинна мати процедуру, яка дозволяє ефе- ктивно, тобто кінцевим числом кроків, установити, чи є дана формула логічним законом, чи ні.

Особливість принципу розв’язання в аксіоматичному численні висловлювань пов’язана з тим, що при аксіома- тизації логіки висловлювань головним завданням є систе- матизація логічних законів. Множина законів задається тут не у вигляді сукупності, а у вигляді виведення їх із деяких вихідних законів за допомогою правил висновку.

Тобто, в аксіоматичному численні висловлювань розв’я-

зуюча процедура для конкретних формул забезпечуєть- ся побудовою їх доведення.

Опишемо принцип розв’язання через доведення відпові-

дних метатеорем (скорочено – МТ).

Існує усього чотири метатеореми:

МТ1 – |− А |= А

– (читається: «якщо А доказане, то тотожно-істинне А»);

МТ2 – |= А |− А

–(читається: «якщо А не тотожно-істинне, то і не доказане А»);

МТ3 – |= А |− А

– (читається: «якщо А тотожно-істинне, то і доказане А»);

МТ4 – |− А |= А

– (читається: «якщо А не доказане, то і не тотожно- істинне А»).

Розглянемо по черзі кожну з наведених теорем.

МТ1 |− А |= А.

Із наведеної вище структури S2 очевидно, що множина тав- тологій включає в себе дві підмножини: аксіоми і теореми.

Відомо, що якщо |= А і |= А В, то |= В, тобто правило

висновку забезпечує зберігання властивості «бути та- втологією». Тоді, якщо кожна аксіома – це тавтологія

і правило висновку зберігає властивість «бути тавто- логією», то в силу визначення поняття доведення кож- на теорема є тавтологією.

Таким чином, через доведення МТ1 – МТ4 ми показали, що в S2 множина вивідних формул співпадає з множиною тавтологій.

б) Принцип несуперечливості

Принцип несуперечливості формулюється відносно: 1) теорем; 2) правил висновку;

3) елементів алфавіту.

Дефініція несуперечливості відносно теорем:

«Логічна система несуперечлива, якщо клас теорем не співпадає із класом правильно побудованих виразів (ППВ)»

або

«Логічна система несуперечлива, якщо існує хоча б один ППВ, який не є тавтологією»,

або

«Логічна система несуперечлива, якщо не всі ППВ є теоремами».

Ми навели різні варіанти дефініції МТ5. За своєю суттю вони ідентичні, відмінність лише у словесному вираженні.

Доведення МТ5.

Візьмемо довільну формулу, яка не є тавтологією: А В (що дана формула не є тавтологією, очевидно із її таблиці істинності).

Отже, в S2 неможлива ситуація A A.

Наслідком МТ5 є семантичне формулювання несупереч- ливості:

«Якщо хоча б один ППВ недоказуваний, то жодна теорема не є логічним протиріччям».

Дефініція несуперечливості S2 відносно перетворень (правил висновку) у S/:

«У синтаксичному смислі система S2 несуперечлива відносно перетворень,

якщо в ній неможливо довести А і довести А».

Формула, що складається з однієї пропозиційної змінної набуває значення «і» або «х», тобто є F-істиною, а зна- чить, не є теоремою, тобто не доказувана.

в) Принцип повноти

Принцип повноти характеризує дві властивості фо- рмалізованих мов:

а) виразні можливості засобів мови; б) виразні можливості дедуктивних засобів мови.

Відповідно до цього розрізняють:

1) функціональну повноту мови;

2) дедуктивну повноту мови.

Якщо йдеться про функціональну повноту засобів мови, то перш за все, мається на увазі повнота логічних сполуч- ників.

Відомо, що в S1 група логічних сполучників повинна бути достатньою для вираження всіх з п’яти сполучників або множини ППФ, де є ці сполучники. Але, у групі спо- лучників ( , , , , ) виділяють деякі базисні, вихідні, до яких можна звести решту сполучників. Саме таку групу називають функціонально повною.

В S1 функціонально повними є:

1.( , , );

2.( , );

3.( , );

4.( , )

На відміну від S1 у S2 функціональна повнота харак- теризується через групу аксіом і правил висновку. У рі-

зних аксіоматичних системах можуть бути прийняті різні групи аксіом і ПВ.

Дедуктивна повнота характеризує властивості за- собів побудови доведення. В S2 такими засобами є аксіоми і правила висновку.

МТ8 :

«Система S2 дедуктивно повна, якщо в ній для будь- якої формули В доказувано, що:

1) або В вивідне |− В;

2) або приєднання В до системи аксіом робить її су- перечливою».