Chast_2_3_l_9-12

116

130-12. Найдите выражение для напряженности электрического поля,

обусловленной третьим членом разложения для системы зарядов, обладающих осевой симметрией (в системе координат, совпадающей с главными осями).

Лекция 11

25. Энергия системы зарядов, расположенных во внешнем поле

Пусть система неподвижных точечных зарядов расположена во внешнем электростатическом поле E (рис. 2.66).

Рис. 2.66. К определению энергии системы зарядов расположенных во внешнем поле

Возьмем точку М где-либо в области расположения зарядов. Mi – точка расположения заряда qi . Mi – потенциал внешнего поля E в точке Mi при выборе точки нулевого значения потенциала M0 на бесконечности, т.е.

M0

Mi Edl .

Mi

Тогда qi Mi – потенциальная энергия i -го заряда во внешнем поле.

Действительно, потенциальная энергия i -го заряда равна работе сторонних сил по переносу заряда qi из бесконечности в точку Mi

Mi

Wi Fстор dl .

M0

Но Fстор qi E . Поэтому

следующее выражение для потенциальной энергии системы точечных зарядов:

Здесь для каждого i вычитается равное нулю выражение

так как потенциал внешнего поля – гармоническая функция (удовлетворяет уравнению Лапласа) в точке M (заряды, создающие внешнее поле, находятся вне рассматриваемой системы зарядов).

В (2.121) p qi ri – дипольный момент системы зарядов относительно

i

M . Величины p и D остаются при этом неизменными. Знак «минус» в

(2.123) свидетельствует о том, что сила направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Обобщая (2.123), можно записать:

Здесь взяты два члена разложения.

Из последнего выражения для силы следует, что, если полный заряд системы равен нулю, то сила определяется производными поля E , взятыми в

электрического поля в точке M .

Рассмотрим для примера две системы. В каждой суммарный заряд равен

нулю. p 1 и p 2 – дипольные моменты систем.

Рассмотрим вторую систему, находящуюся в поле первой системы:

120

Из последнего выражения для потенциальной энергии следует, что направление вектора расстояния R в этом выражении можно изменить на противоположное и результат от этого не изменится.

Для случая, когда суммарный заряд у первой системы отличен от нуля:

E1 q1 R , 4 0 R3

W q1 Rp2 . 4 0 R3

В этом выражении для потенциальной энергии направление вектора R

(от первой системы ко второй) нельзя изменить на противоположное без изменения правильности результата.

26. Магнитное поле стационарного тока. Дифференциальные уравнения для векторного потенциала магнитного поля стационарного тока. Формула Био-Савара-Лапласа

Рассмотрим магнитное поле постоянного во времени (стационарного)

тока (рис. 2.67). Предположим, что распределение плотности тока P внутри проводника, занимающего ограниченный объем V , известно.

Рис. 2.67. Система постоянных во времени токов

Уравнения Максвелла, описывающие данное магнитное поле:

Интегральная форма этих уравнений

121

BdS 0 .

S

Вводим векторный потенциал, как и в общем случае переменного во времени электромагнитного поля, равенством:

При введении векторного потенциала таким равенством вторые уравнения (2.128), т.е. div B 0 , удовлетворяются тождественно.

Как отмечалось ранее, определение векторного потенциала равенством

является векторным потенциалом.

В связи с этим на векторный потенциал можно наложить дополнительное условие (условие калибровки). В случае магнитного поля стационарного тока

такое условие целесообразно, как это будет понятно ниже, взять таким:

Покажем, что условие (2.130) может быть наложено на векторный потенциал. Другими словами, из всего множества векторных потенциалов

найдется такой векторный потенциал, для которого выполнено условие (2.130).

122

f попытаемся найти из условия, чтобы новый векторный потенциал удовлетворял калибровке (2.130). Тогда получим:

f F ,

т.е. функция f должна удовлетворять уравнению Пуассона. Но, как известно,

уравнение Пуассона имеет решение при любой правой части F . Тем самым доказано, что найдется векторный потенциал A , удовлетворяющий условию калибровки (2.130).

Заметим, что условие калибровки (2.130) следует из условия калибровки Лоренца (2.79), если в последнем учесть, что электромагнитное поле не изменяется во времени.

Если теперь подставить в первые уравнения (2.128) вместо B его выражение из (2.129), то получим:

rot rot A 0 в V ; rot rot A 0 вне V .

Или (1.30):

A grad div A 0 âV ; A grad div A 0 вне V .

Подставляя сюда условие калибровки (2.130), окончательно получаем:

Решением этой системы уравнений является формула (2.108):

Для магнитного поля стационарного тока

Ax 0 x в V ; Ax 0 вне V .

Поэтому, по аналогии с электростатикой: