Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chast_2_4_l_13-14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

552.9 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

138

иметь отличные от нуля решения. Следовательно, электромагнитное поле может существовать даже при отсутствии каких бы то ни было зарядов.

Электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов,

называют электромагнитными волнами. Мы займемся теперь исследованием свойств таких полей.

Отметим, что эти поля должны быть переменными во времени и в пространстве.

Действительно предположим противное, а именно, вначале что поле E не зависит от времени, т.е., что E E x, y,z . Тогда из первого уравнения системы

(2.161) вытекает, что магнитное поле равно нулю во всех точках пространства

( B 0 ), так как всюду равны нулю источники магнитного поля (плотность тока


смещения	0		E	0 ). Так как магнитное поле отсутствует во всех		точках
	0	t

пространства,		то равны нулю везде источники электрического поля				B	0
пространства,		то равны нулю везде источники электрического поля			t		0	.
					t

Следовательно, равно нулю во всех точках пространства и электрическое поле

(

0 ).

Предположим теперь, что поле

не

зависит от

времени,

т.е., что

x, y,z . Тогда из второго уравнения системы (2.161) вытекает,

что поле

E 0 , так как отсутствуют источники электрического поля

. Теперь из

что

0 ,

первого уравнения системы (2.161) следует,

так

как

источники

магнитного поля равны нулю во всех точках пространства

0 .

Если предположить, что поле

не

зависит от

координат,

т.е. что

			t ,
	E	E		то из второго уравнения системы (2.161) следует, что равны нулю

источники				электрического поля во всех точках пространства		B	0 .
					t

Следовательно, E 0 . Тогда из первого уравнения системы следует, что B 0 ,

139

так как источники магнитного поля во всех точках пространства равны нулю



	E	0
t		0	.
t

Наконец, если предположить, что B B t , то из первого уравнения

системы уравнений Максвелла (2.161) следует, что отсутствуют источники

магнитного поля. Поэтому B 0 . Отсюда следует, что B 0 , т.е. отсутствуют

источники электрического поля. Следовательно, E 0 .

Резюмируя все сказанное, заключаем, что, если выполнено хотя бы одно из четырех условий: E E x, y,z , B B x, y,z , E E t , B B t , то отсюда следует, что электромагнитное поле равно нулю ( E 0 , B 0 ). Другими

словами, ненулевое решение системы (2.161) должно быть переменным в

пространстве и во времени.

Применим операцию

rot

к левой и правой частям первого уравнения

системы (2.161) и учтем второе:

1 2

rot rot B

с2

Используя формулу

векторного

анализа

rot rot

grad divB

третье уравнение системы (2.161), получим:

1 2

(2.162)

Это однородное волновое уравнение или однородное уравнение

Даламбера. В декартовой системе координат:

1 2

0 .

c2 t2

Если ввести оператор

Даламбера

то

уравнение (2.162) можно записать так:

0 .

(2.163)

140

Аналогично можно получить дифференциальное уравнение для поля

E . Для этого берем оперецию rot от левой и правой частей второго уравнениня системы (2.161), учитываем первое уравнение, применяем формулу (1.30) и

учитываем четвертое уравнение системы (2.161):

1 2

или

E 0

(2.164)

с2

Следовательно, поле E также удовлетворяет однородному волновому уравнению.

31. Плоские волны

Рассмотрим частный случай электромагнитных волн, в которых поле зависит от одной декартовой координаты, скажем z, и от времени.

Такие волны называют плоскими, так как в любой плоскости,

перпендикулярной оси z, векторы поля E и B одинаковы (но изменяются со временем). Каждая из плоскостей, перпендикулярная оси z, называется волновым фронтом, орт ez называется фронтовой нормалью (рис. 2.78).

Рис. 2.78. К пояснению определения плоской волны, распространяющейся

вдоль оси z

Прежде всего, покажем, что плоская электромагнитная волна является поперечной по отношению к фронтовой нормали ez , т.е. Ez 0 и Bz 0 .

Найдем:

141

rot B

Аналогичное выражение можно получить для rot E . Далее:

div B

Аналогично

div

. Поэтому

четыре

уравнения

поля

(2.161)

запишутся так:

0 ,

0 .

Из двух последних уравнений следует, что:

Bz Bz t ,

Ez Ez t ,

(2.165)

(2.166)

(2.167)

(2.168)


т.е. функции Bz и Ez				пространсвенно постоянны. Далее, поскольку			B	и
т.е. функции Bz и Ez				пространсвенно постоянны. Далее, поскольку	ez			и
						z

		E	лежат в плоскости волнового фронта, то из (2.165) и (2.166) следует, что
ez
	z

Ez 0 и	Bz 0 . Т.е. составляющие	E	z	и B	z	плоской волны не могут также
t	t

изменяться и во времени. Значит Ez CЕ ,				Bz CB .

Разложим электромагнитное поле на две составляющие:

E E1 CE ez E1 E2 ,

142

B1 CBez B1 B2 .

Здесь поле

E1, B1 не содержит z-овых составляющих.

Так как поля

2 ,

удовлетворяют уравнениям Максвелла

и поле

(2.161), то, в силу их линейности,

E1, B1 удовлетворяет этим

уравнениям. Это доказывает правомочность сделанного разложения. Но поле

2 ,

2 не зависит от времени и пространственных координат.

Поэтому,

по

2 0 и

2 0 . Следовательно,

доказанному выше,

E1 и

B1 ,

т.е.

плоская волна является поперечной по отношению к фронтовой нормали

( Ez 0 и Bz 0 ).

Займемся теперь решением волновых уравнений. В данном случае они

примут вид:


2				2
2		B	1	2	B		,
z2			c2	t2			,
z2			c2	t2
2				2
2	E		1	2		E		.
z2			c2	t2				.
z2			c2	t2

Решим первое уравнение. Введем новые независимые переменные:

z ct и z ct ;

;

z z

;

c2 .

Подставляя

найденные

значения

вторых

производных

в волновое

уравнение, получаем

143

0 .

F .

0 ;

B1 .

В1 z ct В2 z ct .

(2.169)

Совершенно аналогично

E1 z ct E2 z ct ;

(2.170)

На плоскостях z ct const ,

движущихся в направлении вектора ez со

скоростью с, сохраняется постоянное значение функций

B1 z ct и E1 z ct ,

а на плоскостях z ct const , движущихся в направлении противоположном

вектору ez с такой же скоростью с, сохраняется постоянное значение функций

B2 z ct и E2 z ct .

Таким образом, поля E1, B1 и E2 , B 2 описывают волновые процессы,

распространяющиеся в противоположные стороны. Говорят, что поле является суммой двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Волну B1 ,E1 ,

называют падающей (или прямой), а волну B 2 ,E2 - отраженной (или обратной).

Поскольку все свойства падающих и отраженных волн одинаковы, то далее подробно рассмотрим лишь падающую волну. Итак

B B z ct , E E z ct .

Покажем, что векторы E и B плоской волны перпендикулярны друг другу и найдем количественную связь между ними.

Опять обозначим z ct . Имеем:

B B B ;z z

Отсюда

Аналогично можно получить

С учетом этого запишем уравнения (2.165) и (2.166):

144

(2.171)

(2.172)

Умножая первое из последних уравнений на c2 , а второе на (-1), получим


		B		E
c ez			t		,
	t		t

1
			E		B	.
	ez			t
c
		t

Интегрируем по времени последние уравнения:

c e

* z ,

* z .

Теперь продифференцируем по z:

* z

c ez

* z

Используя опять (2.171) и (2.172) получим

E* z

c ez

c t

145

* z

c t

Или:

* z

(2.173)

* z

(2.174)

* z

Сопоставляя (2.173), (2.174) с (2.165), (2.166) заключаем, что

0 и

* z

0 . Следовательно,

* и

константы и они по предыдущему должны

быть равны нулю. Итак:

c e

(2.175)

(2.176)

т.е. в падающей плоской волне векторы E и B перпендикулярны и векторы E ,

B , ez составляют правую тройку векторов (рис.

2.79) (в отраженной волне, как

легко получить, левую тройку векторов).

Рис. 2.79. Взаимное расположение векторов E и B в падающей плоской волне

Как следует из (2.175) и (2.176), модули векторов связаны равенствами:

E cВ,	B	E	.	(2.177)
		c

Учитывая, что c	1		, из (2.177) получаем



	0	0

			E	0 H .
				0

146

Величина	0	имеет размерность сопротивления (Ом). Она
	0

называется волновым сопротивлением свободного пространства. Обозначается через Zc . Можно записать

			E Zc H ,
где

Z	c	0	120 Ом 377 Ом .
	c	0
		0

Рассмотрим энергетические процессы в волне. Плотность энергии поля:

		w		0		E2							H 2					0		E2			E2
				0			, w			м				0		0		0				0			w .
							, w																		w .
			э	2										2		2 0						2			э
				2										2		2 0						2
Вектор Пойтинга (рис. 2.80):

					0				e						0		E2e				1				E2e		c		E2e		w c e
П	E Н				0			E				E			0				z		1			0		z		0		z		z	,
П	E Н							E				E																					,
					0						z				0						0 0
					0										0						0 0

где w wэ wм .

Рис. 2.80. Вектор Пойтинга падающей плоской волны

Сдругой стороны, для вектора Пойтинга можно записать выражение

Пw v ,

где v – скорость переноса энергии.

Сопоставляя подчеркнутое выражение для П и последнее выражение,

находим

v c ez ,

т.е. c , будучи скоростью волнового фронта (фронтовой скоростью), является в то

же время скоростью переноса энергии поля.

147

Вопросы и задачи к лекции 13

149-1. Источники электромагнитного поля и равны нулю во всех точках пространства и в любой момент времени t ( t t1 ). Возможно ли существование такого магнитного поля B eх Bm sin t в указанные моменты времени t?

150-2. Источники электромагнитного поля и равны нулю во всех точках пространства и в любой момент времени t ( t t1 ). Возможно ли существование такого электрического поля E ey Em cos x в указанные моменты времени t?

151-3. Какому уравнению удовлетворяет поле B при отсутствии источников и в данной части пространства в любой момент времени?

Выведите это уравнение.

152-4. Какому уравнению удовлетворяет поле E при отсутствии источников и в данной части пространства в любой момент времени?

Выведите это уравнение.

153-5. Покажите, что плоская электромагнитная волна является поперечной по отношению к фронтовой нормали ez , т.е. Ez 0 и Bz 0 .

154-6. В фиксированный момент времени и в фиксированной точке вектор

B падающей плоской волны имеет значение B eх 0,1Тл ey 0,2 Тл . Найдите вектор E в этот же момент времени и в этой же точке.

155-7. Вектор E отраженной плоской волны в точке М в момент времени t

имеет направление, указанное на рис. 2.81, т.е. E M ,t ex Ex M ,t . Найдите направления векторов B и П в той же точке и в тот же момент времени.

Рис. 2.81. К определению направлений векторов П и B по заданному направлению E отраженной плоской волны

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.08.201922.53 Кб4changement des phonemes dans la chaine parlee.doc
#
20.03.2015515.52 Кб10Chast_1_l_1_2.pdf
#
20.03.2015689.74 Кб6Chast_2_1_l_3-5.pdf
#
20.03.2015589.42 Кб11Chast_2_2_l_6-8.pdf
#
20.03.2015702.07 Кб5Chast_2_3_l_9-12.pdf
#
20.03.2015552.9 Кб4Chast_2_4_l_13-14.pdf
#
20.03.2015893.95 Кб6CHast_2_tur.doc
#
20.03.2015530.61 Кб10Chast_3_1_l_17-18.pdf
#
20.03.2015537.8 Кб5Chast_3_2_l_19-21.pdf
#
20.03.2015690.53 Кб6Chast_4_1_l_22-24.pdf
#
01.05.2025961.54 Кб0Chast_4_2_l_25-27.doc