![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Поверхности второго порядка История
- •Понятие поверхности второго порядка
- •Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид.
- •Конус второго порядка.
- •Эллипсоид
- •Свойства эллипсоида.
- •Форма эллипсоида.
- •Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями
- •Maxima– система компьютерной алгебры.
- •История.
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:
Рис. 4
где
и
.
Уравнение (26) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим
сечения данной поверхности координатными
плоскостями
и
.
Получаем соответственно уравнения:
из
которых следует, что в сечениях получаются
параболы, симметричные относительно
оси
,
с вершинами в начале координат.
Теперь
рассмотрим сечения данного параболоида
плоскостями
,
параллельными координатной плоскости
.
Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями:
из
которых следует, что при
плоскость
пересекает эллиптический параболоид
по эллипсу с полуосями
и
.
При увеличении
величины
и
тоже увеличиваются; при
эллипс вырождается в точку (плоскость
касается данного гиперболоида). При
уравнения
определяют мнимый эллипс, т.е. точек
пересечения плоскости
с данным гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка
называется вершиной параболоида; числа
и
– его параметрами.
В
случае
уравнение
определяет окружность с центром на оси
,
т.е. эллиптический параболоид можно
рассматривать как поверхность,
образованную вращением параболы вокруг
её оси (параболоид вращения).
Гиперболический параболоид.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением:
Рис. 5
где
.
Уравнение
называется каноническим уравнением
гиперболического параболоида.
Рассмотрим
сечение параболоида плоскостью
.
Получаем уравнение:
из
которых следует, что в сечении получается
парабола, направленная вверх, симметричная
относительно оси
,
с вершиной в начале координат. В сечениях
поверхности плоскостями, параллельными
плоскости
,
получаются так же направленные вверх
параболы.
рассмотрим
сечение данного параболоида плоскостью
.
Получаем уравнение:
из
которых следует, что и в этом случае в
сечении получается парабола, но теперь
направленная вниз, симметричная
относительно оси
,
с вершиной в начале координат. Рассмотрев
сечения параболоида плоскостями,
параллельными плоскости
,
получим уравнения:
из
которых следует, что при любом
в сечении получается парабола, направленная
вниз, а вершина её лежит на параболе,
определённой уравнениями (29).
Рассмотрим
сечения параболоида плоскостями
,
параллельными плоскости
,
получим уравнения:
из
которых следует, что при
в сечении получаются гиперболы,
пересекающие плоскость
;
при
– гиперболы, пересекающие плоскости
;
при
– гипербола вырождается в пару
пересекающихся прямых:
точка
называется вершиной параболоида; числа
и
– его параметрами.
Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:
Рис. 6
Рассмотрим
геометрические свойства конуса. В
сечение этой поверхности плоскостью
получаем линию:
распадающуюся на две пересекающиеся прямые:
Аналогично,
в сечении конуса плоскостью
также получаются две пересекающиеся
прямые:
Рассмотрим
сечения поверхности плоскостями
,
параллельными плоскости
.
Получим:
из
которых следует, что при
и
в сечениях получаются эллипсы с полуосями
,
.
При увеличении абсолютной величины
полуоси
и
также увеличиваются.
При
линия пересечения поверхности с
плоскостью
вырождается в точку
.