![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Поверхности второго порядка История
- •Понятие поверхности второго порядка
- •Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид.
- •Конус второго порядка.
- •Эллипсоид
- •Свойства эллипсоида.
- •Форма эллипсоида.
- •Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями
- •Maxima– система компьютерной алгебры.
- •История.
Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:
Рис. 1
Уравнение (20) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим
геометрический вид эллипсоида. Для
этого рассмотрим сечения данного
эллипсоида плоскостями, параллельными
плоскости
.
Каждая из таких плоскостей определяется
уравнением вида
,
где
–
любое число, а линия, которая получается
в сечении, определяется двумя уравнениями:
Исследуем
уравнения (21) при различных значениях
.
Если
, то
и уравнения (21) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости
с данным эллипсоидом не существует.
Если
, то
и линия (21) вырождается в точки
и
(плоскости
касаются эллипсоида).
Если
то уравнения (21) можно представить в виде:
откуда
следует, что плоскость
пересекает
эллипсоид по эллипсу с полуосями
и
.
При уменьшении
значения
и
увеличиваются и достигают своих
наибольших значений при
,
т. е. в сечении эллипсоида координатной
плоскостью
получается
самый большой эллипс с полуосями
и
.
Аналогичная
картина получается и при пересечении
данной поверхности плоскостями,
параллельными координатным плоскостям
и
.
Таким
образом, рассмотренные сечения позволяют
изобразить эллипсоид как замкнутую
овальную поверхность. Величины
называются
полуосями
эллипсоида.
В случае,
эллипсоид
является сферой.
Однополостный гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:
Рис. 2
Уравнение
называется каноническим уравнением
однополостного гиперболоида.
Установим
вид поверхности
.
Для этого рассмотрим сечение ее
координатными плоскостями
и
.Получаем
соответственно уравнения:
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь
рассмотрим сечения данного гиперболоида
плоскостями
,
параллельными координатной плоскости
.
Линия,
получающаяся в сечении, определяется
уравнениями:
из
которых следует, что плоскость
пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями
и
,
достигающими
своих наименьших значений при
,
т.е. в сечении данного гиперболоида
координатной осью
получается самый маленький эллипс с
полуосями
и
.
При бесконечном возрастании
величины
и
возрастают бесконечно.
Таким
образом, рассмотренные сечения позволяют
изобразить однополостный гиперболоид
в виде бесконечной трубки, бесконечно
расширяющейся по мере удаления (по обе
стороны) от плоскости
.
Величины
называются полуосями однополостного
гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:
Рис. 3
Уравнение (24) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим
геометрический вид поверхности (24). Для
этого рассмотрим его сечения координатными
плоскостями
и
.
Получаем соответственно уравнения:
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь
рассмотрим сечения данного гиперболоида
плоскостями
,
параллельными координатной плоскости
.
Линия, полученная в сечении, определяется
уравнениями:
из
которых следует, что при
плоскость
пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями
и
.
При увеличении
величины
и
тоже увеличиваются.
При
уравнениям (25) удовлетворяют координаты
только двух точек:
и
(плоскости
касаются данной поверхности).
При
уравнения (25) определяют мнимый эллипс,
т.е. точек пересечения плоскости
с данным гиперболоидом не существует.
Величины
называются полуосями двуполостного
гиперболоида.