Lektsii_Rubleva_1 / Гл 01 Вступ до анал_зу - копия / Пар 1-02 Поняття функц_ї

Теорема 2.	(Асоціативність композиції)
	Якщо визначена композиція декількох функцій, то вона асоціативна.

Доведення. Достатньо це показати для трьох відображень, тобто, що виконується рівність: . Дійсно, .

Теорема доведена.

Зауваження.

Легко збагнути, що в загальному випадку композиція відображень не є комутативною операцією.

Назвемо відображення тотожнім відображенням множини (на себе), якщо воно задається таким чином: .

Теорема 3.	(Умова сюр’єкції та ін’єкції)
	Якщо , то - сюр’єкція та - ін’єкція.

Доведення. Якщо та , то

, а тому - сюр’єкція.

Якщо , то з умови - ін’єкція.

Теорема доведена.

Наслідок.	(Про взаємо обернені функції)
	Відображення є бієктивними та взаємо оберненими тоді і тільки тоді, коли і .

З теореми очевидно, що і , і - ін’єктивні та сюр’єктивні. Так само звідси слідує, що .

Якщо задані відображення , то існує відображення . Його називають параметрично заданим за допомогою відображень і . Змінна при цьому називається параметром.

Приклад12.	Визначити в явному вигляді функцію , що задається параметрично: , , .
	Зрозуміло, що , тому в якості можна вибрати множину , тоді , .

Розглянемо відображення , а також рівняння

, (1)

де - деяка точка. Якщо таке, що , тоді вважаємо, що визначено функцію . При цьому називається неявною функцією, що задається за допомогою рівняння (1).