Lektsii_Rubleva_1 / Гл 01 Вступ до анал_зу - копия / Пар 1-04 Посл_довност_
.doc
Глава 1
Вступ до аналізу
4. Числові послідовності
В подальшому будемо розглядати лише УП або , всі множини будуть вибиратися саме з цих просторів.
Числовою послідовністю називається відображення , де називається n-м членом послідовності. Іноді послідовності також позначають таким чином: , або просто .
Точка називається границею послідовності , якщо (метричне означення границі), при цьому будемо записувати , або при (або просто ).
Якщо використати поняття околу в УП можна дати еквівалентне топологічне означення границі: точка називається границею послідовності , якщо .
Відміна топологічного означення від метричного полягає в тому, що воно спрацьовує у випадку (тобто ), достатньо лише розглянути відповідний окіл такої точки . Метричне означення границі для цих випадків (коли в якості границі виступає символ ) треба записати таким чином:
;
.
В подальшому також будемо визначати:
.
Якщо послідовність має скінчену границю, вона називається збіжною, в протилежному випадку – розбіжною. Послідовності, що мають нескінченну границю називаються нескінченно великими. Дуже такі послідовності поводять себе дуже схоже до збіжних послідовностей, на відміну від розбіжних, а тому деякі твердження чи означення (наприклад, топологічне означення границі) ми будемо давати одночасно до обох типів збіжних послідовностей, але в цьому випадку будемо обов’язково попереджувати про цей факт.
Теорема 1. |
(Зв’язок метричного та топологічного означень границі послідовності). |
Метричне та топологічне означення границі числової послідовності еквівалентні . |
Доведення. Проведемо його лише для випадку , випадки розглядаються аналогічно. Нехай .
Метричне топологічне. Нехай - довільний окіл точки . Покладемо тоді .
Топологічне метричне. Нехай - довільне додатне число, оскільки інтервал є околом точки , то за топологічним означенням границі .
Теорема доведена.
Приклад 1. |
Знайти границю: . |
Доведемо, що . Виберемо довільне , тоді розглянемо . Виберемо , тоді - що й треба було показати. |
Теорема 2 |
(Про обмеженість зверху збіжної послідовності). |
Нехай .Якщо , то . |
Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком топологічного означення границі послідовності, тому що промінь є околом точки .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Про обмеженість знизу збіжної послідовності). |
Нехай .Якщо , то . |
Наслідок 2. |
(Про послідовності з різними границями). |
Нехай , .Якщо , то . |
Доведення. Нехай , тоді з теореми та першого наслідку и , тоді виберемо .
Наслідок доведено.
Наслідок 3. |
(Про єдиність границі). |
Якщо послідовність збіжна, то її границя єдина. |
Доведення. Достатньо припустити, що і , де , тоді з наслідку 2 ми одержимо, що - суперечність, що завершує доведення наслідку.
Наслідок 4. |
(Перехід до границі в нерівностях). |
Нехай нерівність виконується для нескінченної кількості індексів . Якщо , , то . |
Доведення. Припустимо, що , тоді з наслідку 2 одержимо, що , тобто протилежна нерівність виконується лише для скінченої кількості індексів, що суперечить умові.
Наслідок доведено.
Теорема 3. |
(Про двох поліцаїв). |
Якщо для послідовностей і , то . |
Доведення. З існування границь ми маємо: .
Теорема доведена.
Приклад 2. |
Знайти границю: . |
Розглянемо такі очевидні нерівності: , аналогічно , з попереднього прикладу ми знаємо, що , при а тому за теоремою й . |
Для довільної послідовності позначимо через (або ) та відповідно верхню та нижню межу множини . Послідовність називається обмеженою (обмеженою зверху, обмеженою знизу) відповідно до обмеженості множини її значень .
Теорема 4. |
(Зв’язок між верхньою межею та границею послідовності). |
Нехай . Тоді послідовність має верхню межу і , причому . |
Доведення. Припустимо, що . Тоді за теоремою 2 . Позначимо через найбільшу точку скінченої множини . Тоді ми одержимо, що - найбільший член послідовності , з чого слідують очевидні оцінки - що й треба було одержати.
Перейдемо до другого випадку теореми. Якщо є мажорантою множини членів послідовності, і оскільки , то ще й точка дотикання цієї множини, а тому з теореми про топологічну властивість верхньої межі слідує, що .
В іншій бік, якщо .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Зв’язок між нижньою межею та границею послідовності). |
Нехай . Тоді послідовність має нижню межу і , причому . |
|
Наслідок 2. |
(Обмеженість збіжної послідовності). |
Якщо послідовність збіжна в , то вона обмежена, тобто . |
Послідовність називається неспадною (зростаючою), якщо ; послідовність називається незростаючою (спадною), якщо . Усі послідовності, що задовольняють наведеним означенням, називаються монотонними, а зростаючі та спадні послідовності називаються строго монотонними.
Теорема 5. |
(Збіжність неспадної послідовності). |
Нехай послідовність неспадна і . Тоді . |
Доведення. Розглянемо випадок . Виберемо довільне число . Тоді інтервал є околом точки і за топологічною властивістю верхньої межі вона є точкою дотикання, з чого слідує, що . Повністю аналогічно проводиться доведення у випадку .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Збіжність незростаючої послідовності). |
Нехай послідовність незростаюча і . Тоді . |
|
Наслідок 2. |
(теорема Вейєрштрасса). |
Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю. |
Приклад 3. |
Нехай . Дослідити послідовність на збіжність. |
Спочатку доведемо обмеженість зверху послідовності методом математичної індукції. - виконується. Припустимо, що для деякого натурального - обмеженість зверху доведена, знизу очевидно послідовність обмежена нулем, тобто послідовність обмежена. Дослідимо на монотонність. при - неспадна за теоремою Вейєрштрасса - послідовність збіжна. Далі ми розглянемо як знайти і границю цієї послідовності. |
Якщо , то послідовність називається нескінченно малою, при цьому будемо записувати (о-мале). Обмежену послідовність будемо позначати символом (О-велике). Символи називаються символами Ландау.
Сумою, різницею, добутком та часткою послідовностей та з називаються відповідно послідовності - , , та (у випадку частки вважаємо ). Останнім обмеженням можна знехтувати, якщо розглядати послідовності та з простору , тоді можна вважати , але при розгляданні подібних випадків, будемо наголошувати на цьому факті окремо.
Теорема 6. |
(Критерій збіжності послідовності через нескінченно малу послідовність). |
. |
Доведення. З означення границі легко одержати: .
Теорема доведена.
Послідовність називається стаціонарною, якщо у неї всі члени співпадають. Таким чином, кожна збіжна послідовність є сумою стаціонарної послідовності та нескінченно малої.
Доведемо тепер дві прості, але дуже важливі для теорії послідовностей леми.