Lektsii_Rubleva_1 / Гл 01 Вступ до анал_зу - копия / Пар 1-03 Упорядкован_ простори

Властивості доведено.

Теорема 4.	(Топологічна властивість верхньої межі).
	Точка є верхньою межею не порожньої множини з ЧУП тоді і тільки тоді, коли вона одночасно є її мажорантою та точкою дотику.

Доведення. Необхідність. Нехай є мажорантою , розглянемо довільний окіл цієї точки. Можливі три випадки.

1. - найбільша точка простору , тоді . З того, що є найменшою мажорантою, то не є мажорантою є точкою дотикання.

2. - найменша точка простору , за означенням верхньої межі та найменшої точки ми маємо з аксіом часткового порядку є точкою дотикання .

3. Якщо довільна точка (ні найменша, ні найбільша), то оскільки (бо не є мажорантою) є точкою дотикання .

Необхідність доведена.

Достатність. Нехай є мажорантою і точкою дотикання . Розглянемо - множину всіх мажорант множини . Доведемо, що - найменший елемент . Припустимо, що це не так, тобто : , тоді правий промінь є околом точки , а тому в ньому існує точка з , але тоді ця точка більша за . Але це неможливо, бо , а тому є мажорантою , тому всі точки цієї множини не перевищують . Одержана суперечність завершує доведення теореми.

Теорема доведена.

УП (або ЧУП) називається повним, якщо в ньому кожна непорожня й обмежена зверху множина має верхню межу.

Теорема 5.	(Повнота просторів дійсних чисел).
	УП , , для довільних з є повними.

Доведення цієї теореми спирається знову таки на аксіоматику дійсних чисел, для доведення безпосередньо цього твердження нам потрібна аксіома повноти.

Аксіома.	(Повнота або неперервність дійсних чисел).
	Якщо - непорожні підмножини дійсних чисел, що мають таку властивість: , то : .

Тепер нам треба показати, що довільна не порожня та обмежена зверху множина має супремум. Нехай - сукупність мажорант множини . За умовою, , . З аксіоми повноти : . Таким чином - мажоранта та міноранта , але тоді , але як міноранта одночасно - найменший елемент множини . А тому .

Теорема доведена.

Приклад 11.

Дуже легко навести приклад неповного УП. Розглянемо УП . В ньому множина очевидно є обмеженою (наприклад, знизу числом , а зверху числом ), але не має супремуму. Якщо припустити, що він існує, то можливі два випадки. Це раціональне число , тоді в проміжку є інші раціональні точки, а тому не мажоранта. Якщо ж , тоді в проміжку будь-яке раціональне число буде мажорантою, меншою за . Тому .

Теорема 6.	(Інфімум обмеженої знизу множини).
	У повному УП кожна непорожня й обмежена знизу множина має нижню межу.

Доведення. Позначимо таку множину , а через позначимо множину її мінорант. Тоді множина непорожня й обмежена зверху. З повноти простору існує . Доведемо, що .

Оскільки , то , а тому - є мінорантою множини . Якщо - інша міноранта множини , то і . Отже є найбільшою мінорантою , а тому .

Теорема доведена.

Наслідок.	(Повнота протилежного простору).
	Якщо простір - повний, то і простір також повний.

Доведення безпосередньо слідує з теореми.

Теорема 7.	(Найбільший елемент замкненої множини).
	У повному УП кожна непорожня замкнена й обмежена зверху множина має найбільший елемент.

Доведення. Оскільки - повний, то . За теоремою 4 є точкою дотикання , а внаслідок її замкненості . Але тоді за означенням - найбільший елемент.

Теорема доведена.

Наслідок.	(Існування найменшого елементу замкненої множини).
	У повному УП кожна непорожня замкнена й обмежена знизу множина має найменший елемент.