Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-8 РФ в г_льбертових просторах
.doc
|
Теорема 14. |
(Піфагора) |
|
|
|
Якщо
|
|
|
|
|
(12) |
- катети, а
- гіпотенуза прямокутного трикутника,
то
. Для
доведення
достатньо піднести до квадрату рівність
.
|
Наслідок. |
(Довжина катету та гіпотенузи) |
|
|
У будь-якому прямокутному трикутнику довжина катету менша за довжину гіпотенузи. |
Нехай
- підпростір ГП
,
.
Число
називається найкращим
наближенням
вектора
за допомогою векторів простору
.
|
Теорема 15. |
(Про найкраще наближення) |
|
|
|
Нехай
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
При цьому |
|
|
|
|
(14) |
повна ОНСВ
у ГП
і
.
Тоді сума Фур’є
здійснює найкраще наближення вектора
за допомогою векторів з
,
тобто
.
. Доведення.
Нехай
- сума Фур’є, розглянемо трикутник
.
За теоремою 13
,
а
- гіпотенуза цього трикутника
з наслідку з теореми Піфагора виконується
(13).
Застосувавши саму теорему Піфагора до
трикутника
одержимо (14).
Теорема доведена.