4_NeISV

Розділ 4

РУХ ВІДНОСНО НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМ ВІДЛІКУ

Інерціальні системи відліку досить зручні для розв’язування різноманітних задач механіки.

Їх перевага перед іншими системами відліку полягає насамперед у тому, що перебіг усіх механічних явищ у них є однаковий.

Але далеко не всі системи відліку, відносно яких доводиться розглядати рух на практиці, є

інерціальні: ми вже зауважували, що найбільш широко вживана система відліку, пов’язана з поверхнею Землі може вважатись інерціальною лише наближено. Ще більш далекими від інерціальних, але практично дуже важливими є системи відліку пов’язані з транспортними засобами: кораблями, ракетами, літаками тощо. З викладеного у попередньому розділі випливає,

що основне рівняння динаміки матеріальної точки, за допомогою якого можна розв’язувати надзвичайно широке коло задач динаміки в ICB, не залишається незмінним при переході до

HeICB, внаслідок того, що прискорення відносно HeICB не співпадає з прискоренням відносно

ICB. Отже для того, щоб з’ясувати як перетворюється основне рівняння динаміки при переході від

ICB до HeICB в першу чергу необхідно знайти зв’язок між векторами прискорень частинки відносно ICB та HeICB.

4.1. Зв’язок між векторами швидкості та прискорення відносно ICB та HeICB

При розгляді цього питання і надалі в цьому розділі будемо вважати, що всі припущення за яких розглядався перехід від однієї ICB до іншої (див.3.5), а саме: незмінність довжин

просторових відрізків ( l l ), плину часу ( t t ), маси m mта взаємодії з іншими

тілами та полями ( F F ) , залишаються в силі і при переході від деякої ICB K до HeICB K .

Нехай система K рухається довільним чином відносно системи K , тобто прискорено

переміщується і обертається навколо деякої осі з кутовою швидкістю . Для наочності будемо

вважати, що ICB — це коперникова система відліку, початок якої O лежить у центрі Сонця, а

HeICB — система відліку, зв’язана з Землею, що обертається навколо своєї осі та переміщується

як ціле відносно Сонця (Рис. 4.1), причому початок її Oлежить у центрі Землі.

102

Опишемо рух однієї і тієї ж частинки P у системах відліку K та K .

Положення частинки P в HeICB

визначається радіус-вектором r , а в ICB –

радіус-вектором r . Положення початку

O системи K відносно початку O

системи K визначається радіус-вектором

R . Очевидний зв’язок між цими векторами дає формула

Останні три доданки в цьому виразі дорівнюють нулю, оскільки дорівнюють нулю похідні за часом від ортів, напрямки яких є незмінними відносно системи K . Отже,

Похідна від r за часом t є

системи K змінюють свою орієнтацію відносно системи K . Виходячи із тих самих міркувань,

що й при отриманні другого доданку у формулі (2.40), для цих похідних можна записати вирази

рух частинки відносно системи Kта рух самої системи Kвідносно системи K :

105

складовій прискорення частинки відносно ICB, взятій зі знаком мінус. Четвертий доданок

прискорення з’являється лише тоді, коли частинка рухається відносно HeICB ( 0 ), яка

обертається, і більше того, лише тоді, коли вектори та не колінеарні.

4.2. Основне рівняння динаміки частинки в HeICB

Помножимо рівність (4.14) на масу частинки m і врахуємо, що відповідно до другого закону

частинки, а також відомий характер руху HeICB відносно довільної ICB.

Доцільно надати цьому рівнянню вигляду, подібного до рівняння другого закону Ньютона в

ICB. Тоді можна буде до задач про рух частинки відносно HeICB застосувати ті ж самі підходи,

що і в ICB. Для цього будемо записувати основне рівняння динаміки частинки в HeICB у вигляді

де для зручності введено так звані сили інерції Fін

зумовлена дотичним прискоренням, спеціальної назви не дістала. Відзначимо, що всі сили інерції пропорційні масі частинки, до якої вони прикладені.

Відцентрова сила інерції направлена від центру колової траєкторії, що її описує частинка

при обертанні HeICB. Якщо ввести до розгляду радіус-вектор , проведений від частинки P

106

нормально до осі обертання HeICB (Рис. 4.2), то відцентрова сила інерції може бути подана у вигляді

Із викладеного ясно, що виникнення сил інерції пов’язане з переходом від ІСВ до HeICB: введення цих сил дозволяє зберегти зручну форму запису рівняння руху частинки: у лівій частині стоїть добуток маси частинки на її прискорення відносно HeICB, а

в правій частині — сума сил, прикладених до частинки, причому в

HeICB поряд із силами взаємодії частинки з іншими матеріальними об’єктами необхідно врахувати і сили інерції. Для сил інерції неможливо вказати джерело у вигляді певного тіла ,

що діє на частинку. Тому для сил інерції не можна вказати і сили протидії, про які йдеться в третьому законі Ньютона. Тому цей закон не застосовний до сил інерції. Це знаходиться у повній відповідності з твердженням про те, що закони динаміки Ньютона

справедливі лише в ICB.

Той факт, що сили інерції зумовлені виключно характером

руху системи відліку добре видно в демонстраційному досліді з кулькою, яка скочується по похилій площині до центру

горизонтального диску, що обертається (Рис. 4.3). Слід, що його залишає на поверхні диску кулька, попередньо натерта крейдою, явно викривлений. З точки зору

спостерігача, що обертається разом із диском (тобто разом з HeICB), викривлення траєкторії кульки відбувається під дією деякої сили, у даному випадку сили Коріоліса, оскільки кулька має швидкість

. Для спостерігачів, що знаходяться в лабораторії, (тобто нерухомих відносно ICB) таке твердження виглядає дивним: вони прекрасно бачать, що відносно лабораторії (ICB) кулька рухається прямолінійно, а от поверхня диску «прокручується» під кулькою, ―утікає‖ з під неї, що й призводить до викривлення крейдяного сліду на поверхні диску.

Властивості сил інерції можуть бути продемонстровані в цілому ряді дослідів. Розглянемо, наприклад,

поведінку кульок, підвішених на різних відстанях від осі обертання диска, який репрезентує HeICB

(Рис.4.4), при його рівномірному обертанні. Цей дослід показує, що відхилення кульок від вертикалі зростає

107

як із збільшенням кутової швидкості обертання диску, так і при віддаленні від осі обертання (зокрема кулька, підвішена на осі обертання не відхиляється

зовсім). Розглядаючи це відхилення в HeICB, яка обертається з диском, ми інтерпретуємо його як дію

на кульку поряд із силами взаємодії — силою mg та

силою реакції нитки T — також відцентрової сили

інерції Fінвідц . Ця інтерпретація настільки наочна і

зрозуміла, що іноді складається помилкове враження про можливість пояснення ефектів такого типу лише в

HeICB.

Щоб показати цілковиту рівноправність застосування ICB та HeICB ми обговоримо цей дослід спочатку з точки зору спостерігача, що знаходиться в HeICB, тобто обертається разом з диском, а потім з

точки зору спостерігача, нерухомого відносно лабораторії,

тобто відносно поверхні Землі, яку в цьому випадку з високою точністю можна вважати за ICB.

1. Рівняння руху кульки в HeICB з початком на осі

обертання диска відповідно до Рис. 4.5 є

вертикалі введемо для зручності декартову систему координат, жорстко зв’язану з диском, початок якої лежить на осі обертання, вісь OY якої направлена вздовж осі обертання вгору, а вісь OX — вздовж радіуса

диска в напрямку кульки (див. Рис. 4.5) і спроектуємо рівняння (4.19) на ці осі . З урахуванням умови

a 0 отримаємо:

109

тягарці з масами m під дією відцентрової сили інерції Fінвідц віддаляються від осі обертання, що через

шарнірно з’єднані в точках А, В, С, D і E тяги до зумовлює ковзання вгору з’єднаної з ними муфти M , яка механічно сполучена з клапаном, що обмежує подачу пари.

Відцентрова сила інерції також широко використовується в різного роду насосах,

центрифугах та сепараторах, як у побуті (відцентровий водяний насос на присадибній ділянці,

центрифуга в пральній машині, сепаратор, що розділяє молоко на жир та воду), так і в найсучасніших технологіях (розділення сумішей та біологічних речовин з різною густиною в біотехнологіях, розділення ізотопів на ультрацентрифугах в ядерній фізиці, створення штучної сили тяжіння в космічних дослідженнях тощо). На наступних рисунках показано досліди, які унаочнюють принципи розділення рідин різної густини та твердих тіл різної густини занурених у рідини рідину за допомогою відцентрової сили інерції.

На Рис. 4.7 зображено скляну посудину, в яку налито ртуть, а поверх неї – воду. Коли цю посудину обертають з достатньо великою кутовою швидкістю навколо вертикальної осі, то внаслідок дії відцентрової сили інерції ртуть відкидається до найбільш віддаленої від осі ділянки стінок посудини, утворюючи дзеркальну смужку на бічній стінці посудини (Рис. 4.7а). На Рис. 4.7б показано розподіл рідин у перерізі посудини для обох випадків. Можна твердити, що цей розподіл так само як і орієнтація границь поділу

Рис. 4.7

ртуть–вода та вода–повітря визначається напрямом ―сили тяжіння‖, причому у випадку нерухомої посудини

це сила тяжіння mg , яка існує біля поверхні Землі, а у випадку посудини, що обертається, роль ―сили

обертання може бути створена штучна ―сила тяжіння‖ на космічних станціях.

110

обертання навколо вертикальної осі, то при деякій кутовій швидкості сталева та коркова кульки міняються місцями: (Рис.4.8б) коркова кулька опиняється в нижній частині трубки, разом з повітряним пухирем, а

сталева у верхній частині одного з колін!

Маятник, що відхиляється на кут від вертикалі під дією поступальної сили інерції при прискореному русі платформи, на якій його закріплено, являє собою найпростіший акселерометр – пристрій для вимірювання прискорення відносно ICB (Рис. 4.9а). Більш зручними є акселерометри, в яких про прискорення відносно ICB судять за величиною пружної деформації. Наприклад, акселерометр зображений

на Рис. 4.9б складається з тягарця масою m та пружини, видовження якої l пропорційне поступальній

силі інерції, що діє на цей тягарець. Акселерометри широко застосовуються в інерціальних системах

навігації літаків, кораблів, ракет, про які йшлося в 2.1.4.