Метод ідеальної точки
.pdfМетод «ідеальної точки»
(LINMAP — LINear programming technique for Multidimensional Analysis of Preference)
Метод «ідеальної точки» або LINMAP (лінійна техніка програму- вання для багатовимірного аналізу переваг), розроблений Srinivasan і Shocker (1973).
Srinivasan V., Shocker A. D. — Linear programming techniques for multidimensional analysis of preference // Psychometrica, 38. — 1973. — P. 337—342.
— базується на концепції, що вибрана альтернатива повинна мати найменшу відстань до ідеального рішення. Прийняття рішень відбува- ється на основі m критеріїв.
Позначимо через Ai — i -у альтернативу та xij — значення i -ї альте-
рнативи за j -м критерієм (i 1, 2, ..., n, j 1, 2, ..., m ). Передбачаєть-
ся, що кожний критерій матриці рішення має або монотонно зростаючу, або монотонно спадну цільову функцію. Оскільки всі критерії можуть мати різну важливість, можливе призначення ваги критеріям (напри- клад, експертним шляхом або за допомогою інших методів).
Приклад. Меблева компанія Меркс для будівництва одного зі
своїх цехів з виготовлення корпусної меблі хоче здійснити вибір міс- ця розміщення майбутнього цеху. Відділом маркетингу компанії були відібрані декілька варіантів, які оцінюються за такими критеріями: РЗД — розмір земельної ділянки (тис. кв. м), ПП — потенціал пер- соналу (чол.), ТЕФ — кількість транспортно-експедиторські фірми (шт.), ВД — витрати на підготовку проектної документації (тис. грн.); СПД — ставка податку на діяльність (грн.); ВК — витрати на підведення комунікацій (тис. грн.). Інформація про дані кожної з альтернатив наведена в табл. 1:
|
|
|
|
|
|
Таблиця 1. |
||
Крите- |
РЗД — |
О — |
|
ТЕФ — |
ВД — |
СПД — |
ВК — |
|
рії |
ПП — |
тран- |
витрати на |
ставка |
витрати на |
|||
розмір зе- |
оцінка |
|||||||
|
потенціал |
спортно- |
підготовку |
податку |
підведення |
|||
|
мельної ді- |
екс- |
персоналу |
експеди- |
проектної до- |
на діяль- |
комуніка- |
|
Альтер- |
лянки |
пертів |
||||||
(чол.) |
торські фір- |
кументації |
ність |
цій (тис. |
||||
(тис. кв. м) (бал) |
||||||||
нативи |
|
ми (шт.) |
(тис. грн.) |
(грн.) |
грн.) |
|||
|
|
|
||||||
Вага |
0,15 |
0,18 |
0,16 |
0,1 |
0,13 |
0,17 |
0,11 |
|
Функція |
max |
max |
max |
max |
min |
min |
min |
|
A1 |
60 |
70 |
800 |
15 |
78 |
350 |
122 |
|
A2 |
42,5 |
90 |
1100 |
12 |
71 |
250 |
156 |
|
A3 |
35 |
80 |
1300 |
25 |
58 |
450 |
144 |
|
A4 |
35 |
50 |
900 |
14 |
55 |
300 |
300 |
|
A5 |
40 |
60 |
1000 |
17 |
65 |
400 |
132 |
|
Алгоритм застосування методу: |
|
|
|
|
||||
Крок 1. Нормалізація матриці рішення. На цьому кроці критерії, |
||||||||
які мають різні одиниці вимірювання, перетворюють у безрозмірні кри- |
1
терії, що дасть змогу здійснити надалі їх порівняння. Один з підходів — |
|||||||||||||||||||
це розділити значення кожного критерію на норму вектора суми зна- |
|||||||||||||||||||
чень критерію. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Елемент rij |
нормалізованої матриці обчислюється як rij |
xij |
. |
|||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xkj2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2. Обчислення xkj2 |
та |
xkj2 |
для кожного критерію |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЗД |
|
Е |
|
ПП |
|
ТЕФ |
|
ВД |
СПД |
ВК |
|||||
A1 |
|
|
3600 |
4900 |
|
640000 |
|
225 |
|
6084 |
122500 |
14884 |
|||||||
A2 |
|
|
1806,25 |
8100 |
|
1210000 |
|
144 |
|
5041 |
62500 |
24336 |
|||||||
A3 |
|
|
1225 |
6400 |
|
1690000 |
|
625 |
|
3364 |
202500 |
20736 |
|||||||
A4 |
|
|
1225 |
2500 |
|
810000 |
|
196 |
|
3025 |
90000 |
90000 |
|||||||
A5 |
|
|
1600 |
3600 |
|
1000000 |
|
289 |
|
4225 |
160000 |
17424 |
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xkj2 |
97,24 |
159,69 |
2313,01 |
|
38,46 |
|
147,44 |
798,44 |
409,12 |
||||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далі для кожного критерію значення матриці (значення в стовпчи- |
||||||||||||||||||
ку РЗД матриці рішень ділимо на 97,24; в стовпчику Е — на 159,69, і |
|||||||||||||||||||
т.д. |
У табл. 3, зокрема, |
значення r |
|
0,6170 |
|
x11 |
|
60 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
5 |
|
97,24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 3. Обчислення нормалізованої матриці D* |
r |
n m |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
РЗД* |
Е* |
|
ПП* |
|
ТЕФ* |
|
ВД* |
СПД* |
ВК* |
||||||
A1 |
|
|
0,6170 |
0,4384 |
0,3459 |
0,3900 |
0,5290 |
0,4384 |
0,2982 |
||||||||||
A2 |
|
|
0,4370 |
0,5636 |
0,4756 |
0,3120 |
0,4815 |
0,3131 |
0,3813 |
||||||||||
A3 |
|
|
0,3599 |
0,5010 |
0,5620 |
0,6501 |
0,3934 |
0,5636 |
0,3520 |
||||||||||
A4 |
|
|
0,3599 |
0,3131 |
0,3891 |
0,3640 |
0,3730 |
0,3757 |
0,7333 |
||||||||||
A5 |
|
|
0,4113 |
0,3757 |
0,4323 |
0,4420 |
0,4409 |
0,5010 |
0,3226 |
||||||||||
|
Крок 2. Визначення ідеальної альтернативи («ідеальної точки») |
|
|||||||||||||||||
|
Визначимо «ідеальну» альтернативу A таким чином: |
|
|
|
|||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
max |
),(minrij j J |
min |
), i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(maxrij j J |
|
|
|
1,2,...,n |
{r1 |
,r2 ,..., rm } , |
||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
Jmax {j |
j 1,2,...,m по j необхідно максимізувати}, |
|
|
|
||||||||||||||
|
Jmin {j |
j 1,2,...,m по j необхідно мінімізувати} , |
|
|
|
||||||||||||||
тобто на основі наявних альтернатив формується деяка «ідеальна» аль- |
|||||||||||||||||||
тернатива, яка має найкращі показники за усіма критеріями: |
|
|
2
для критеріїв, які необхідно максимізувати, серед усіх альтерна- тив вибираємо найбільше значення за кожним критерієм (для даної за- дачі у кожному стовпчику з 1-го по 4-й критерій — виділено помаранче- вим кольором);
для критеріїв, які необхідно мінімізувати, серед усіх альтернатив вибираємо найменше значення за кожним критерієм (для даної задачі у кожному стовпчику з 5-го по 7-й критерій — виділено бузковим кольо- ром).
|
|
Таблиця 4. Визначення «ідеальної альтернативи» |
|||||
|
РЗД* |
Е* |
ПП* |
ТЕФ* |
ВД* |
СПД* |
ВК* |
|
max ( ) |
max ( ) |
max ( ) |
max ( ) |
min ( ) |
min ( ) |
min ( ) |
A1 |
0,6170 |
0,4384 |
0,3459 |
0,3900 |
0,5290 |
0,4384 |
0,2982 |
A2 |
0,4370 |
0,5636 |
0,4756 |
0,3120 |
0,4815 |
0,3131 |
0,3813 |
A3 |
0,3599 |
0,5010 |
0,5620 |
0,6501 |
0,3934 |
0,5636 |
0,3520 |
A4 |
0,3599 |
0,3131 |
0,3891 |
0,3640 |
0,3730 |
0,3757 |
0,7333 |
A5 |
0,4113 |
0,3757 |
0,4323 |
0,4420 |
0,4409 |
0,5010 |
0,3226 |
|
За цими критеріями вибираємо у кож- |
За цими критеріями вибира- |
|||||
|
ному стовпчику найбільші значення |
ємо у кожному стовпчику |
|||||
|
|
|
|
|
найменші значення |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
A |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0,6170 |
0,5636 |
0,5620 |
0,6501 |
0,3730 |
0,3131 |
0,2982 |
Тут враховано, що критерії РЗД, Е, ПП, ТЕФ мають монотонно зро- стаючу цільову функцію, а ВД, СПД, ВК — монотонно спадну цільову функцію).
Крок 3. Обчислення для кожної альтернативи показника, який по- казує ступінь її близькості до «ідеальної» альтернативи.
При цьому «відстань» між i -ю альтернативою та ідеальною обчис-
|
m |
|
люється за формулою: Si |
wj (rij rj )2 , |
i 1, 2, ..., n (табл. 5) |
|
j 1 |
|
(можна використовувати й без кореня як на лекції).
|
|
|
Таблиця 5. Обчислення Si |
|
|
|
Si |
|
Ранг |
|
|
|
|
|
A1 |
|
0,1513 |
|
3 |
A2 |
|
0,1406 |
|
1 |
A3 |
|
0,1472 |
|
2 |
A4 |
|
0,2359 |
|
5 |
A5 |
|
0,1624 |
|
4 |
|
|
|
|
|
3
Крок 4. Ранжирування порядку переваг.
Ясно, що менше значення Si (чим менша «відстань» до ідеальної
альтернативи), тим переважнішою є альтернатива. Таким чином, множина альтернатив може бути ранжирована відповідно до значень
Si : A2 A3 A1 A5 A4 (табл. 5).
4