Mech-Slobod
.pdf
361
Зрозуміло, що наведені вище міркування і формули справедливі також і для стоячих хвиль коливань струн, стержнів, газу в трубці з закритими торцями і подібних лінійних систем. Вони також справедливі з відповідними узагальненнями і у двовимірних і тривимірних випадках.
Двовимірні стоячі хвилі мають місце, наприклад, при коливаннях пружних мембран. У цьому випадку лінії вузлів, на яких амплітуда коливань дорівнює нулю, можуть бути візуалізовані за допомогою дрібнесенького піску, який спочатку рівномірно розсипають на горизонтально розміщеній мембрані. Цей пісок поступово струшується з ділянок, де амплітуда коливань значна і накопичується на лініях вузлів утворюючи так звані фігури Хладні, вигляд яких залежить від форми мембрани і співвідношення її розмірів та
довжини стоячих хвиль, які можуть в ній існувати (Рис. 8.31).
Рис. 8.31. Фігури Хладні.
Варто звернути увагу ще на одну особливість стоячих хвиль, значення якої виходить за межі механіки і навіть класичної фізики в цілому. У класичній
фізиці, зокрема, в класичній механіці всі величини вважаються іманентно неперервними, серед них і частота ν або циклічна частота ω . Зокрема неперервною є частота біжучих хвиль. У той же час стаціонарний розподіл амплітуди коливань струни дає приклад, коли спектр можливих частот біжучих хвиль, які утворюють цей розподіл у вигляді стоячої хвилі, стає дискретним. Як було показано вище, дискретність частот випливає з умови, що у стаціонарному випадку періодичного руху біжучої хвилі по замкненому контуру на довжині цього контуру має вкладатися ціле число довжин хвиль (8.sw5). У квантовій механіці, скоріше, навпаки, дискретність значень фізичних величин є скоріше правилом, а не винятком, принаймні для систем рух яких обмежений у просторі. Відома гіпотеза де Бройля, висунута для обґрунтування можливості існування стаціонарних орбіт електрона з дискретним набором радіусів у запропонованій Бором моделі атому водню може розглядатися як місток між неперервністю фізичних величині процесів класичної фізики і дискретністю квантової механіки. полягала в тому, що на довжині орбіти вкладається ціле число довжин так званих хвиль де Бройля для електрона.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
364 |
|
|
υ − υÏ |
|
1 − |
υÏ |
|
|
||||
ν = ν |
або ν = ν |
υ |
, |
(8.215) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
o υ − υ Ä |
o |
υ Ä |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 − |
υ |
|
|
||
де υ , υÏ та υ Ä |
– проекція якої на напрям швидкості поширення хвиль в середовищі υ . |
|||||||||
Застосуємо її до аналізу зміни висоти звукових сигналів локомотивів зустрічних поїздів, що рухаються з однаковими швидкостями. Для частоти звуку локомотива зустрічного поїзда, що
наближається дістанемо ν = ν |
υ − (−υÏ ) = ν |
|
υ + υÏ |
|
, тобто частота зростає. |
Коли локомотив |
||||||||
o υ − υ Ä |
||||||||||||||
|
|
o υ − (υ Ä ) |
|
|
|
|||||||||
зустрічного поїзда почне віддалятися , то враховуючи зміни знаків проекцій υ Ï |
та υ Ä на напрям |
|||||||||||||
поширення |
звуку отримаємо |
ν = ν |
|
υ − (υÏ |
) |
= ν |
|
υ − υÏ |
, тобто частота зменшується. При |
|||||
|
|
|
o υ + υ Ä |
|||||||||||
|
|
|
o υ − (−υ Ä ) |
|
|
|||||||||
обчисленні |
частоти звукового сигналу локомотива поїзда, |
яку сприймає приймач (спостерігач), |
||||||||||||
що перебуває в цьому поїзді, необхідно врахувати, |
що проекції швидкостей υ Ï |
та υ Ä на напрям |
||||||||||||
швидкості поширення хвиль в середовищі υ |
|
|
будуть |
завжди однаковими, υÏ = υ Ä , оскільки |
||||||||||
джерело (локомотив) рухається разом зі спостерігачем. Тоді, |
|
||||||
ν = ν |
|
υ − υ Ä |
= ν |
|
, |
(8.215) |
|
o υ − υ Ä |
o |
||||||
|
|
|
|
||||
тобто частота сигналу «свого» локомотива завжди залишається незмінною.
365
Контрольні запитання і вправи.
Розділ 9
ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
9.1. Постулати Айнштайна та перетворення Лоренца
У Розділі 3 (параграф 3.5) нами було розглянуто принцип відносності механіки, який математично виражався перетвореннями Галілея для координат та часу. Нагадаємо, що відповідно до принципу відносності механіки в усіх інерціальних системах відліку перебіг усіх механічних явищ є однаковий. Твердження про існування інерціальних систем відліку,
принцип відносності механіки та принцип далекодії можна вважати постулатами, на які спирається основа Ньютонової механіки – три закони Ньютона. Власне перший закон Ньютона
(закон інерції) є постулатом про існування інерціальних систем відліку, рівняння другого закону не змінюється при переході від однієї ІСВ до іншої, а принцип далекодії забезпечує виконання третього закону Ньютона. Ми вже бачили, що виходячи з цих законів можна сформулювати закони збереження і взагалі побудувати всю механіку Ньютона.
Кінець 19-го сторіччя ознаменувався бурхливим розвитком електродинаміки, яка завдяки роботам Максвела, Лоренца та інших вчених, стала аналогічно до механіки, наукою яка спиралася на невелику кількість вихідних рівнянь, що пов’язують між собою характеристики електромагнітного поля в кожній точці простору та в кожний момент часу. Ця система рівнянь,
встановлена Максвелом, фактично являє собою рівняння руху електромагнітного поля. Одним з її наслідків є існування електромагнітних хвиль.
Закономірно виникло питання: чи розповсюджується принцип відносності механіки на немеханічні, електромагнітні явища? З аналізу відомих на той час фактів випливала важливість постановки такого питання. Позитивна відповідь на нього означала б, що можна розрізняти ІСВ за допомогою електродинамічних дослідів і знайти, таким чином, абсолютну систему відліку за Ньютоном. Особливі надії при цьому покладалися на досліди з електромагнітними хвилями, які на той момент були найбільш вивченими в оптичному діапазоні. У той час існували уявлення про те,
що світло – це пружні хвилі, що поширюються в так званому світловому або світлоносному ефірі
– гіпотетичному середовищі з доволі екзотичними властивостями. Цей ефір повинен був
367
заповнювати весь простір, де тільки може поширюватися світло, як вільний від речовини (вакуум)
так і заповнений прозорою для світла речовиною (вода, скло тощо). Для того, щоб пружні хвилі в
світовому ефірі поширювалися зі швидкістю світла, величина якої c = 3108 м с−1 на той час була надійно виміряна, цей ефір наділяли фантастично великою пружністю і надзвичайно малою густиною: про нього часто говорили як про абсолютно пружний та невагомий. Дійсно, оскільки
швидкість поперечних пружних хвиль є υ |
= |
σ |
, |
де σ – модуль зсуву, а ρ – густина середовища, |
|
|
ρ |
|
|
то, для того, що забезпечити υ = 3 108 |
м с−1 , |
необхідно мати відношення σρ ≈ 1017 м2 с−2 ! |
||
Нагадаємо, що, наприклад, швидкість поперечних пружних хвиль звукового діапазону в такому
високопружному матеріалі як сталь з густиною порядку 9,8 кг/дм3 становить величину порядку
5 103 м с−1 , тобто для сталі |
σ |
≈ 2,5 107 м2 с−2 . Отже, для досягнення υ = c пружне |
|
ρ |
|
середовище повинно мати відношення модуля зсуву до густини на 10 порядків більше ніж для звичайних пружних матеріалів!
Однак з рівнянь електродинаміки випливала незалежність швидкості світла в вакуумі від вибору системи відліку, що прямо суперечило концепції ефіру, а з аналізу спостережень,
наприклад, аберації зірок (Брадлей, 1727 р.) та експериментів щодо вимірювання швидкості світла в рухомих середовищах (Фізо, 1851 р.) і швидкості руху Землі відносно світлового ефіру
(Майкельсона і Морлі, 1881-87 рр.) випливала наявність внутрішніх суперечностей в цій концепції і неможливість пояснення за її допомогою результатів спострежень і експериментів з єдиної точки зору.
У 1905 р. Альберт Айнштайн опублікував дві статті, в яких було викладено основи теорії,
яка не потребувала наявності ефіру для пояснення доступних на той час даних спостережень і експериментів. Ця теорія, що дістала назву спеціальної теорії відносності (СТВ), мала на меті опис руху тіл з швидкостями близьким до швидкості світла і обмежувалась розглядом перебігу механічних і оптичних (електродинамічних ) явищ в інерціальних системах відліку (ІСВ). В
основі СТВ лежить ньютонівський постулат про існування ІСВ, до якого Айнштайн додав два постулати, відомі як постулати Айнштайна:
368
1)принцип відносності;
2)принцип незалежності швидкості світла від швидкості руху джерела світла в усіх ІСВ.
Перший з цих постулатів можна розглядати як поширення принципу відносності на всі, а не лише на механічні явища. На часи Айнштайна крім механічних були відомі ще й електромагнітні явища. Тому цей постулат іноді називають принципом відності електродинаміки на відміну від
принципу відносності механіки.
Другий постулат еквівалентний твердженню про скінченну швидкість поширення світла і
означає відмову від ньютонівського принципу далекодії.
Поставимо задачу знайти зв’язок між просторовими координатами та часом якої-небудь
події в двох різних ICB виходячи з постулатів Айнштайна. |
|
|
||||
Модель нашої події така: нехай в деякій інерціальній системі відліку |
K (для простоти в її |
|||||
початку) в момент |
часу t = 0 |
відбувається спалах світла. |
В результаті від точки O |
|||
розповсюджується сферична хвиля (Рис. 9.1), фронт якої в декартовій системі координат з |
||||||
x' |
x |
|
x' |
x |
x' |
x |
K' |
|
K |
K' |
K |
K' |
K |
.
|
O' |
O |
z' z |
|
|
O' O |
z' z |
|
O' |
O |
z' |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y' |
y |
|
|
y' |
y |
|
y' |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.1 |
|
|
|
|
|
|
початком в точці |
O описується рівнянням |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
+ y 2 + z 2 = c2t 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
(9.1) |
|
||
де |
c – швидкість світла в системі відліку K . Нехай у момент часу t = 0 початок O системи |
|
||||||||||
відліку K співпадав з початком |
O′ інерціальної системи відліку |
K ′ |
(Рис. 9.1). Відповідно до |
|
||||||||
першого |
постулату |
Айнштайна |
в |
інерціальній системі відліку |
K ′ |
фронт |
хвилі |
породженої |
|
|||
спалахом |
світла також має сферичну форму, отже, рівняння фронту має такий самий вигляд як і |
|
||||||||||
рівняння (9.1)
