Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mech-Slobod

.pdf

Скачиваний:

276

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4233 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

321

таким чином виникають коливання частинок поблизу положення рівноваги.

Так, при наданні частинкам, що належать до деякої вертикальної площини ґратки, зміщення в горизонтальному напрямку частинки у сусідніх вертикальних площинах ґратки також зазнають зміщення в горизонтальному напрямку внаслідок наявності взаємодії з частиками першої вертикальної площини (через деформовані пружинки). У результаті частинки в сусідніх вертикальних площинах також починають здійснювати коливання в горизонтальному напрямку.

Таким чином, збурення зумовлене початковим виведенням з положення рівноваги в горизонтальному напрямі частинок однієї вертикальної площини, спричинює залучення до коливного процесу частинок в наступних вертикальних площинах. На Рис. 8.12б показано вигляд збуреної таким чином ділянки ґратки в деякий момент часу. Має місце періодична зміна відстаней між частинками в горизонтальному напрямі зумовлена коливаннями частинок поблизу положень рівноваги. Ділянки стиснення і розтягу ґратки переміщуються в горизонтальному напрямку. Про такий процес поширення коливань частинок ґратки говорять як про поширення повздовжньої пружної хвилі, оскільки коливання частинок відбуваються вздовж напрямку поширення ділянок стиснення і розтягу ґратки, тобто напрямку поширення хвилі (в в горизонтальному напрямку).

Аналогічно, при наданні частинкам, що належать до деякої вертикальної площини ґратки,

зміщення у вертикальному напрямку частинки у сусідніх вертикальних площинах ґратки також зазнають зміщення у вертикальному напрямку внаслідок наявності взаємодії з частиками першої вертикальної площини (Рис. 8.12в). У результаті частинки в сусідніх вертикальних площинах також починають здійснювати коливання у вертикальному напрямку. Це збурення поширюється в горизонтальному напрямку, причому має місце періодична зміна величини і знаку зміщення у вертикальному, поперечному щодо горизонтального напрямку. Про такий процес поширення коливань частинок ґратки говорять як про поширення поперечної пружної хвилі.

Поверхню, що розмежовує область середовища, яка вже залучена до хвильового процесу, від області середовища, в якій коливання ще не виникли, називають фронтом хвилі або хвильовим фронтом, а геометричне місце точок (поверхню), де частинки коливаються в однаковій фазі називають хвильовою поверхнею.

За формою хвильової поверхні розрізняють плоскі та сферичні хвилі, які є найбільш поширеними моделями хвильових процесів. У розглянутому вище прикладі хвильовими

322

поверхнями є площини, в яких зміщення частинок однакові (однакова деформація пружинок) і

перпендикулярні до напряму поширення хвилі, тобто вертикальні площини. Такі хвилі називають

плоскими. Відстань між сусідніми хвильовими поверхнями, в яких коливання відбуваються синфазно, називається довжиною хвилі.

8.2.1. Рівняння хвилі

Рівнянням хвилі називають закон руху частинки середовища, що бере участь у хвильовому

русі,

ζ = ζ (rG,t) або ζ = ζ (x, y, z,t) ,

(8.86)

де ζ − вектор зміщення частинки від рівноважного положення, яке визначається радіусом-

вектором rG або координатами x, y, z .

Розглянемо плоску хвилю, в якій вектор зміщення частинки змінюється за гармонійним законом. Оберемо систему координат, в якій напрямок осі Oz співпадає з напрямком поширення

хвилі. Хвильова поверхня при цьому є перпендикулярною до осі Oz . Оскільки за означенням коливання усіх частинок на хвильовій поверхні відбуваються в одній фазі, то зміщення частинок будуть залежати лише від z та t

ζ = ζ (z,t) .

(8.8)

Коливання частинок, рівноважні положення яких лежать у площині x = 0 , відбуваються за законом

ζ (0,t) = acos(ωt + α ) .	(8.88)
У довільній точці з координатою x	коливання частинок будуть відставати за фазою від

коливань у площині z = 0 . Це відставання за фазою визначається часом поширення коливань

(коливного збурення середовища) з точки z = 0 до точки z , яке відбувається за проміжок часу

τ = z /υ , де υ − швидкість поширення коливань.
Таким чином, закон руху частинки середовища в довільній точці			з координатою z є
ζG(z,t) = a cos[ω(t − τ ) + α ] = a cos[ω(t −	z	) + α ].	(8.89)

υ

Надалі рівняння плоскої гармонійної хвилі ми будемо записувати у вигляді

			323
ζ (z,t) = a cos[ω(t −	z	) + α ] ,	(8.90)

υ
де ζ (z,t) є модуль вектора зміщення частинок середовища,			a − амплітуда хвилі, а вираз у

квадратних дужках – так звана фаза хвилі, яка при t = 0 дорівнює початковій фазі α .

Прослідкуємо за переміщенням у просторі зміщення ζ , яке відповідає певному фіксованому

значенню фази6,
ω(t −	z	) + α = const .	(8.91)

υ
Із рівності (8.91) випливає, що при збільшенні часу t			координата z зростає, тобто це

значення фази (а разом з ним і відповідне значення зміщення) переміщуються в додатному напрямку осі Oz . Миттєву швидкість цього переміщення, яку називають фазовою швидкістю

хвилі або просто швидкістю хвилі,

можна знайти диференціюванням рівності

(8.91),

яке

дає

dt − dz = 0 , звідки

υ = dz .

(8.92)

Для плоскої гармонійної хвилі, що поширюється в протилежному напрямку, маємо рівняння

ζ (z,t) = a cos[ω(t −

) + α ] .

(8.93)

Якщо ми в рівнянні (8.90) зафіксуємо певне значення координати z = z0 = const ,

то воно

перейде в

рівняння

коливань

частинки

навколо положення рівноваги

у точці

ζ (z0 ,t) = a cos[ω(t −

) + α ] = a cos(ωt −

+ α )

початковою фазою −

+ α .

На

Рис. 8.13

зображено

графік

ζ (z0 ,t) залежності модуля зміщення частинки, що

бере участь

у хвильовому русі, від часу.

Ця

Рис. 8.13. Залежність зміщення від

часу.

6 На практиці зручно спостерігати за максимальним або мінімальним зміщенням.

324

залежність являє собою гармонійну періодичну функцію часу з періодом T

ζ (z0	,t) = a cos(	2π	t −	z0	+ α ) .	(8.94)
		T		υ

Якщо ми зафіксуємо певне значення часу t = t0 , то з рівняння (8.90) отримаємо просторовий

розподіл (миттєву фотографію) зміщення частинок в плоскій хвилі в один і той самий момент часу

t = t0

ζ (z0 ,t) = a cos[ω(t0 −

) + α ] = a cos(ωt0 + α − ω

) = a cos(ωt0

+ α −

2π

)

T υ

або, остаточно,

ζ (z0 ,t) = a cos(−

2π

z + ωt0 + α ) .

(8.95)

Графік цієї залежності наведено на Рис.8.14.

Вона являє собою гармонійну періодичну функцію

Рис. 8.14. Залежність зміщення

координати z з просторовим періодом λ = υT , який

від координати.

називають довжиною хвилі, і який дорівнює відстані, що її проходить хвиля (її хвильова поверхня)

за час, що дорівнює одному періоду коливань частинок середовища.

Залежність зміщення від координати зображену на Рис. 8.14 можна спостерігати в лекційній демонстрації розповсюдження хвилі поперечних коливань горизонтально натягнутого гумового шнура довжиною порядку 10-15 м, один кінець якого закріплюють нерухомо, а другий починають

періодично коливати у вертикальній площині.

Рівнянню плоскої гармонійної хвилі (8.х4) можна надати симетричного вигляду щодо

змінних t та z , увівши так зване хвильове число k =		2π	,
змінних t та z , увівши так зване хвильове число k =		λ	,
		λ
ζ (z,t) = a cos(ωt − kz + α ) .	(8.96)

З порівняння правих частин виразів (8.90) та (8.96) видно, що k = ω /υ , звідки випливає важливе співвідношення

υ =	ω .	(8.97)
	k

325

8.2.2. Хвильове рівняння

Ми бачили раніше, що закон коливного руху частинки є розв’язком відповідного рівняння руху: наприклад, закон коливного руху невеликого тіла під дією пружної сили

x(t) = Acos(ω0t +ϕ) є розв’язком рівняння коливань x + ω02 x = 0 , яке було одержане з

відповідного рівняння руху тіла, що коливається.

Аналогічно, так зване хвильове рівняння, розв’язком якого є закон руху частинки, яка бере

участь у хвильовому русі, у формі ζ = ζ (rG,t) або ζ = ζ (x, y, z,t) також може бути отримане з основного рівняння динаміки частинки, застосованого до малого об’єму пружного середовища,

яке розглядають як суцільне7.

Ми отримаємо вигляд хвильового рівняння відштовхуючись від рівняння гармонійної

плоскої хвилі у формі (8.х4), яке запишемо у більш загальному вигляді, а саме
ζ (x,t) = ζ (t −	z	) .	(8.98)

υ
У цій формі збережено спеціальний вигляд аргументу функції ζ змінних z			та t , який

описує розповсюдження збурення в середовищі. Дійсно, будь-яке зміщення певної величини, яке відповідає певному значенню аргументу (t − zυ) = const , буде поширюватись з часом у напрямку

осі Oz .

Знайдемо другі похідні від функції ζ (t − zυ) за змінними z та t .

Перша похідна за z :

∂ζ (t − z υ )

∂(t − z υ )

∂ζ (t − z υ ) × (−

) .

(8.99)

∂z

∂(t − z υ )

∂z

∂(t − z υ )

Друга похідна за z :

∂ 2ζ (t − z υ )

∂

1 ∂ζ

− z υ )

= −

1 ∂ ∂ζ (t − z υ )

−

(8.100)

∂z

υ ∂z ∂(t − z υ )

υ ∂(t − z υ )

7 Ця задача доволі складна, оскільки потребує знання сил, що виникають внаслідок неоднорідної деформації пружного середовища при проходження через нього хвилі. Детальний послідовний аналіз виникнення і поширення пружних хвиль звичайно здійснюється у механіці суцільних середовищ.

= −

∂2ζ (t − z υ)

× ∂(t − z υ )

= −

∂2ζ (t − z υ) × (−

) =

∂2ζ (t − z υ) .

υ ∂2 (t − z υ )

∂z

υ ∂2 (t − z υ)

υ 2 ∂2 (t − z υ)

Перша похідна заt :

∂ζ (t − x υ ) =

∂ζ (t − x υ ) ×

∂(t − x υ ) =

∂ζ (t − x υ ) .

∂t

∂(t − x υ )

∂t

∂(t − x υ )

Друга похідна за t :

∂2ζ (t − z υ )

∂

∂ζ (t − z υ )

∂ 2ζ (t − z υ )

∂(t − z υ )

∂ 2ζ (t − z υ )

∂t

∂

− z υ )

∂t

∂

(t − z

υ )

∂t

∂(t − z υ )

Остаточно другі похідні від функції ζ (t − xυ) за змінними x та t мають вигляд

∂ 2ζ (t − z υ)	=		1 ∂ 2ζ (t − z υ)	та	∂2ζ (t − z υ)	=	∂2ζ (t − z υ) .
					∂t2
∂z2		υ 2 ∂ 2 (t − z υ )
							∂2 (t − z υ)

З їх порівняння випливає, що функція ζ (t − xυ) має задовольняти рівняння

∂ 2ζ (t − z υ )	=		1	∂ 2ζ (t − z υ )	,
∂z 2		υ 2		∂t 2

яке називають хвильовим рівнянням і

звичайно записують у вигляді

326

(8.102)

(8.103)

(8.104)

(8.105

(8.106)

∂ 2ζ	−	1	∂ 2ζ	= 0 .
∂z 2		υ 2	∂t 2

Підстановкою функції (8.98) до рівняння (8.107) можна переконатися, що вона дійсно є розв’язком цього рівняння.

Прямою підстановкою можна переконатися,

що функція

ζ (x, t) = ζ (t + υz )

також є розв’язком рівняння (8.107), що описує хвилю, яка поширюється у від’ємному напрямку осі Oz . Оскільки рівняння (8.107) є лінійним, то його

(8.107)

(8.108)

Рис. 8.15. Поширення імпульсного збурення вздовж натягнутого шнура

327

загальним розв’язком буде лінійна комбінація функцій (8.98) і (8.108), коефіцієнти якої можуть бути визначені з початкових та граничних умов:


ζ (x,t) = Aζ (t −		z	) + A ζ (t +		z	)	(8.109)
ζ (x,t) = Aζ (t −			) + A ζ (t +			)	(8.109)
1	υ		2	υ
	υ			υ

Цей висновок можна проілюструвати демонстраційним експериментом з гумовим шнуром добре натягнутим в горизонтальному напрямі між двома нерухомими точками закріплення

(Рис. 8.15а). Після різкого удару палицею посередині шнура від місця удару (Рис. 8.15б) вздовж шнура в протилежних напрямках побіжать з однаковою швидкістю два однакових імпульси у вигляді западин (Рис. 8.15в) у повній відповідності до рівняння (8.109). Утворення цих біжучих імпульсних збурень можна пояснити так. У місці удару виникає локальне відхилення серединної ділянки шнура, яка отримала імпульс від палиці. Під дією пружних сил з боку сусідніх ділянок вона повертається в початкове положення, а сусідні ділянки натомість відхиляться в протилежному напрямку, який співпадає з початковим напрямом руху серединної ділянки разом з палицею.

Ясно, що рівнянню (8.107) будуть задовольняти будь-які функції, що мають аргумент, який

може бути зведений до вигляду t ±			z	, зокрема, плоскі гармонійні хвилі

		υ
ζ (z,t) = a0 cos(ωt − kz + α )					(8.110)
Рівняння плоскої гармонійної хвилі (8.110) можна записати у так званому безкоординатному
вигляді
	G	GG			(8.111)
ζ (r ,t) = a0 cos(ωt − kr + α ) ,
де	введено хвильовий вектор			k , який визначає напрям поширення плоскої хвилі і є
					G
перпендикулярним до хвильової поверхні,					k	= k =	2π	.

		ωt − krG + α = const можна					λ

З	умови				отримати рівняння для геометричного місця точок
простору, в яких коливання мають однакову фазу, у вигляді krG = const + ωt або
G	G	ω
(n	r ) = const + k t ,				(8.112)

						328
що відповідає відомому з аналітичної геометрії рівнянню						площини (n r ) = l , яка
перпендикулярна одиничному вектору нормалі n і знаходиться на
відстані l від початку O вектора r . У випадку рівняння (8.112) ця
відстань зростає				з часом. На Рис. 8.16	показано два положення		n
хвильового поверхні плоскої хвилі, що розповсюджується в							n
хвильового поверхні плоскої хвилі, що розповсюджується в
напрямку нормалі до хвильового фронту nG = k k , в моменти часу
t та t + ∆t . Швидкість переміщення хвильової поверхні (поверхні,						r (t )
що відповідає певному значенню фази),					як випливає із рівності	r (t + ∆ t )
l = const +	ω t ,		є			O
	k					Рис. 8.16. Хвильові
		dl		ω .		Рис. 8.16. Хвильові
υ ô	=	dl	=		(8.113)	поверхні плоскої хвилі
υ ô	=	dt	=		(8.113)	поверхні плоскої хвилі
		dt		k

Її називають фазовою швидкістю.

Легко бачити, що при виборі декартової системи координат з віссю Oz направленою вздовж

хвильового вектора k рівняння (8.111) переходить в рівняння (8.110), оскільки при такому виборі

системи координат координати вектора k є {0, 0, k} і скалярний добуток krG = kz . При довільному

виборі декартової системи координат координати вектора k є {kx , ky , kz } і рівняння (8.111)

можна записати у вигляді

ζ (r,t) = a0 cos(ωt − kx x − ky y − k zz + α )

(8.114)

Шляхом обчислення і порівняння других похідних за координатами x, y, z і за часом t від зміщення (8.114) аналогічного до того, як це було зроблено вище для зміщення (8.111) можна отримати хвильове рівняння для довільного напрямку поширення плоскої хвилі у вигляді

∂ 2ζ

−

1 ∂ 2ζ

= 0

(8.115)

υ 2 ∂t2

∂x2

∂y2

∂z2

Його часто записують у вигляді

∆ζ −

1 ∂ 2ζ

= 0 ,

(8.116)

υ 2 ∂t2

де символом ∆ позначено так званий оператор Лапласа, який в декартових прямокутних

координатах має вигляд

∆ =

∂2

∂x2

∂y2

∂z2

329

Хвильове рівняння є одним з основних рівнянь фізики, що описує поширення хвиль різної фізичної природи. Замість просторового зміщення ζ в цьому рівнянні може стояти тиск, густина,

електрична поляризація або намагніченість одиниці об’єму речовини, вектор напруженості електричного поля, вектор магнітної індукції та багато інших фізичних величин.

8.2.3. Швидкість поширення пружних хвиль

Швидкість поширення хвилі υ є однією з її найважливіших характеристик. Для її

знаходження можна використати рівняння хвилі у вигляді (8.107). Якщо нам пощастить знайти

коефіцієнт пропорційності між другою похідною коливного зміщення ζ (z,t) за часом t та його

другою похідною за координатою z , то він і буде швидкістю поширення хвилі υ . Застосуємо цей

підхід до ряду простих випадків поширення пружних хвиль, доступних для відтворення в

лекційних демонстраціях і в фізичному практикумі.

Швидкість поширення хвилі поперечних коливань натягнутого шнура (струни). На

Рис. 8.17 показано залежність зміщення ζ

ділянки шнура від

координати z .

Запишемо рівняння

руху елементу цього шнура з довжиною

dl і масою dm до

якого прикладені

сили натягу

F1 та

F 2 з боку сусідніх

елементів шнура:

∂2ζ

+ F

(8.117)

∂t2

Спроектуємо його на напрям ζ

z z+dz

∂ 2ζ

Рис. 8.17. Сили, що діють

=F1ζ + F 2ζ .

(8.118)

на елемент шнура.

∂t2

При малих коливаннях (відхиленнях) шнура силу натягу можна вважати сталою на всій довжині шнура і різниця модулів її проекцій на напрям зміщення визначатиметься різницею

значень похідних ∂∂ζz у точках z + dz та z :

∂ζ

∂ ∂ζ

1ζ

+ F

2ζ

= F

− F

= F

−

= F

∂z

z + dz

∂z

z + dz

∂z

	∂ 2ζ
dz = F		dz .	(8.119)
dz = F	∂ 2 z	dz .	(8.119)
	∂ 2 z

Після підстановки (8.119) до (8.118) та заміни dm наρl dx , де ρl – лінійна густина шнура,

одержимо рівняння

						330
ρl dz	∂2ζ		= F	∂2ζ	dz ,	(8.120)
	∂2t			∂2 z
яке приводиться до вигляду
∂2ζ	=	F	∂2ζ	dz .		(8.121)
∂2t	=		∂2ζ	dz .		(8.121)
∂2t		ρl	∂2 z

Порівняння (8.121) з (8.107) дає вираз для швидкості хвилі поперечних коливань вздовж натягнутого шнура

υ =	F .	(8.122)
	ρl

Ця формула має широке застосування, зокрема до коливань струн музичних інструментів, в

яких струни виготовляють з різною лінійною густиною, а при налаштуванні інструменту змінюють їх натяг.

Швидкість поширення поперечної пружної хвилі. Аналогічно до описаного вище демонстраційного експерименту з ударним збудженням імпульсного збурення, що поширюється

вздовж натягнутого шнура, можна збудити поперечні хвилі в стержні з пружного матеріалу, якщо

вдарити по ньому в його середній частині невеликим молотком. При цьому серединна ділянка стержня, якій передано імпульс від молотка, буде рухатись у напрямку перпендикулярному до осі

стержня відносно сусідніх ділянок, тобто на границі з сусідніми ділянками виникнуть дотичні

механічні напруження, величини яких будуть пропорційні пружним деформаціям зсуву сусідніх елементів. Під дією цих напружень серединна ділянка стержня почне повертатися до свого початкового положення, а сусідні ділянки рухатись у протилежному напрямі започатковуючи два імпульсні збурення поперечного зсуву частинок стержня, що поширюються вздовж стержня в

різні сторони від місця удару.

При цьому в стержні

будуть розповсюджуватись ділянки деформації зсуву

подібні до показаних на Рис. 8.12в.

Мірою деформації зсуву є відношення дотичного

зміщення

верхньої

грані

куба

під

дією

сили Fτ

прикладеної до цієї

грані

дотичної

до

Рис. 8.18. Деформація зсуву.

початкової

довжини

його ребра

l , γ = τ / l

(Рис. 8.18).

Деформація зсуву τ / l є безрозмірна

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4233 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.11.201830 Кб7Match_the_English_cinema_words_with_their_Ukrai....docx
#
01.04.20252 Мб1Matematichny_analiz.doc
#
01.05.2025330 Кб1Materialy_rukovodyaschie_rabotniki.doc
#
07.03.2016539 Кб8MathAnalysis2015.pdf
#
01.04.20255 Мб1matstatistika_vse.docx
#
19.03.201514 Мб276Mech-Slobod.pdf
#
19.03.20154 Мб37mediapravo_ispit.pdf
#
24.08.2019230 Кб2MEDIKO-sotsialni_aspekti_nayvazhlivishikh_khvor...doc
#
29.08.20195 Мб70MedInform_250607-ІП.doc
#
19.03.201554 Кб7MEMORANDUM.doc
#
01.05.2025128 Кб0MEP_Modul_2.docx