Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mech-Slobod

.pdf

Скачиваний:

263

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

14.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

181

~G G

= L + M[

∑

mi ri ×VC ] + M[RC ×

∑

miυi ]

+[RC × MVC ]

i=1

L + M[RC ×VC ] + M[RC ×VC ] + [RC

× P] .

(5.101)

Із врахуванням

того, що радіус-вектор

центру

мас і швидкість центру мас,

визначені

відносно

центру

мас,

відповідно

отримуємо

RC і

VC , тотожно дорівнюють нулю, остаточно

зв’язок між L та

L у вигляді

(5.102)

= L

+ [RC

× P] .

Отже, момент імпульсу системи частинок

L ,

визначений у деякій системі відліку K може

бути поданий як сума її власного моменту імпульсу

G G

і моменту імпульсу [RC × P] , пов’язаного з

рухом системи частинок як цілого відносно цієї системи відліку.

Цілком зрозуміло, що при переході від однієї системи відліку до іншої або при зміні положення точки, відносно якої визначено момент імпульсу системи частинок L , останній змінюється лише за рахунок доданку [RC × P] , пов’язаного із рухом системи частинок як цілого,

при незмінному власному моменті імпульсу ~ .

5.4.3. Рівняння моментів у СЦМ

Рівняння моментів у СЦМ має такій же вигляд як і в ІСВ

dL~G = M~G зовн ,

але оскільки центр мас системи частинок у загальному випадку може рухатись прискорено, то, в

принципі, до зовнішніх сил, що дають внесок у сумарний момент зовнішніх сил, слід додати сили інерції, тобто записати

~G		n	~G	Gвз	n	~G	Gін
dL		∑			∑
	=		[ri	× Fi ] +		[ri	× Fi ] .	(5.103)
dt
		i=1			i=1

Оскільки СЦМ за означенням не обертається, то при її прискореному русі можуть виникнути лише поступальні сили інерції, що діють на кожну частинку системи,

Gін	G	(5.104)
Fi	= −mi RC ,	(5.104)

182

де RGC – прискорення центру мас відносно ІСВ. Тоді сумарний момент сил інерції відносно

центра інерції C є

iн

~G G

= ∑[ri

× (−mi RC )] = − ∑miri

× RC

= M

∑miri

× RC

= M[RC × RC ] ≡ 0

(5.105)

i=1

де враховано, що радіус-вектор центру мас, визначений відносно центру мас RC ≡ 0 .

Отже,

~ вз

(5.106)

= MC

тобто власний момент імпульсу системи частинок змінюється лише під дією сумарного моменту всіх зовнішніх сил взаємодії, прикладених до частинок системи.

5.5. Умови зміни та збереження енергії системи частинок

Дослідимо зміну з часом кінетичної енергії системи частинок, означеної формулою (5.59).

Елементарний приріст кінетичної енергії системи за елементарний проміжок часу dt		є
n	n
dTсист = ∑dTi = ∑δAi		(5.107)
i=1	i=1
Розділимо спочатку сили, що прикладені до кожної ( i − тої) частинки системи		на внутрішні
та зовнішні FGi	n
	= FGiвн + FGi зовн , а внутрішні сили FGiвн = ∑FGik розділимо на консервативні та

k =1 k ≠i

неконсервативні (сторонні), FGik = FGikконс + FGikвн.неконс . Тоді приріст кінетичної енергії системи

частинок може бути поданий як сума елементарних робіт зазначених груп сил

= δAвн.конc + Aвн.неконср + Aзовн. .

(5.108)

сист

Розглянемо послідовно кожен із доданків у правій частині (5.108).

Робота внутрішніх консервативних сил є

вн.конc

Gконс

1 n

Gконс

δAсист

= ∑∑ Fik

dri =

∑ Fik

dri

∑ Fik

dri

∑ Fik

dri

i=1 k=1

2 i,k=1

k≠i

(5.109)

Gконс

∑ Fki

drk

∑ Fik

d (ri

− rk ) =

∑ Fik

drik ,

2 k ,i=1

2 i,k=1

i≠k

k≠i

183

де було використано відомий штучний прийом подання суми у вигляді напівсум,

переставлено індекси	в другій		напівсумі, застосовано третій закон Ньютона	FGконс = − FGконс		і
				ik	ki
введено позначення rik	= ri − rk .
Кожен доданок	F консdrG		в (5.109) можна розглядати як елементарну		роботу по
	ik	ik

переміщенню i -тої частинки в потенціальному полі, що створює k -та частинка, і його може бути подано як зміну потенціальної енергії i -тої частинки в потенціальному полі k -тої частинки:

Gконс	G	= δA	конс	= −dU		.	(5.110)
F	dr				ik
ik	ik	ik
Тоді сумарну елементарну роботу внутрішніх консервативних сил можна подати так

	1	n		1	n
δAсиствн.конс = −	1	∑Uik	= −d	1	∑Uik = −dU сист ,	(5.111)
δAсиствн.конс = −		∑Uik	= −d		∑Uik = −dU сист ,	(5.111)
	2 i,k =1			2 i,k =1
		k ≠i			k ≠i

де через Uik (rik ) позначено потенціальні енергії так званих парних взаємодій частинок

системи між собою і введено позначення

	1	n
Uсист =	1	∑Uik .	(5.112)
Uсист =		∑Uik .	(5.112)
	2 i,k =1
		k ≠i
Величина Uсист			називається внутрішньою або власною потенціальною енергією системи

частинок.

З викладеного вище випливає, що внутрішня потенціальна енергія системи частинок залежить виключно від їх взаємного розташування, або як, іноді кажуть, від конфігурації системи частинок, причому кожній конфігурації відповідає певне значення внутрішньої потенціальної

енергії U	сист	, яка є функцією положення всіх частинок системи U	сист	= U (rG	, rG	, rG	,..rG ) . Робота всіх
	сист		сист	1	2	3	n

внутрішніх консервативних сил при зміні конфігурації системи частинок дорівнює зумовленому цією зміною приросту потенціальної енергії системи частинок, взятому зі знаком мінус:

Aвн.конс = −(Uсист2 − Uсист1) ,	(5.113)
де енергія Uсист1 відповідає початковій, а енергія	Uсист2 − кінцевій конфігурації системи
частинок.

184

Той факт, що власна потенціальна енергія Uсист залежить не від положення частинок

системи в просторі взагалі, а лише від їх взаємного розташування добре видно з представлення внутрішньої потенціальної енергії системи частинок у формі суми потенціальних енергій парних взаємодій частинок (формула ((5.112)), де кожний доданок є фактично функцією взаємного

розташування двох частинок системи, Uik = U (rik ) .

Перепишемо (5.108) з врахуванням (5.111)

dT	= −dU	сист	+ δAвн.неконс + δAзовн	,	(5.114)
сист		сист
або
d (Tсист + Uсист) = δAвн.неконс + δAзовн .					(5.115)
Величину
Eсист	= Tсист + U сист				(5.116)

називають повною механічною енергією системи частинок. Повна механічна енергія системи частинок є функцією механічного стану системи частинок, оскільки в кожний момент часу вона залежить від положень і швидкостей всіх частинок системи6

m υ 2

∑

i i

) .

(5.117)

сист

− r

i=1

i, j =1

i≠ j

Це представлення є широко вживаним, але не єдино можливим. Внутрішню потенціальну енергію можна,

наприклад, подати у вигляді суми потенціальних енергій всіх і кожної частинки системи у потенціальному полі усіх

інших частинок, U = ∑Ui . Легко бачити, що

i=1

	1	n
Ui =	1	∑Uk .
Ui =		∑Uk .
	2 k =1
		k ≠i

Елементарна зміна повної механічної енергії системи частинок визначається сумою робіт внутрішніх сторонніх сил та зовнішніх сил, що прикладені до частинок системи

dE = δAвн.неконс + δAзовн ,	(5.118)
сист

а швидкість, з якою відбувається зміна повної енергії, визначаєься сумарною потужністю,

тобто сумою потужностей цих сил:

6 Саме тому повна механічна енергія відіграє виняткову роль як у класичній так і в квантовій механіці.

		185
dE	= N вн.неконс + N зовн. .	(5.119)
dt	= N вн.неконс + N зовн. .	(5.119)
dt

Ці два останні рівняння виражають собою умову зміни повної механічної енергії системи частинок:

Повна механічна енергія системи частинок може змінюватись лише за рахунок роботи

(або потужності) внутрішніх сторонніх (неконсервативних) та зовнішніх сил.

З рівностей (5.119-120) випливає також і умова збереження повної механічної енергії

системи частинок:

Повна механічна енергія системи частинок зберігається, якщо сумарна робота (або потужність) зовнішніх сил та внутрішніх сторонніх (неконсервативних) сил дорівнює нулю.

Для замкненої системи частинок зовнішні сили відсутні, отже δAзовн ≡ 0 і її повна механічна

енергія може змінюватися лише за рахунок роботи внутрішніх неконсервативних (сторонніх) сил:

dE = δAвн.неконс .	(5.120)
сист

За наявності внутрішніх неконсервативних (сторонніх) сил повна механічна енергія замкненої системи частинок може зменшуватися, збільшуватися або залишатися сталою залежно від знаку сумарної роботи всіх внутрішніх неконсервативних сил. Наприклад, у випадку руху ракети в пустоті повна механічна енергія замкненої системи ракета – викинуті гази зростає за рахунок перетворення при згорянні палива так званої хімічної енергії в теплову з наступним перетворенням теплової енергії в кінетичну енергію продуктів згоряння, коли вони прискорюються при витіканні через сопло з камери згоряння. Іншим прикладом може бути зростання повної механічної енергії осколків осколочної гранати після її вибуху.

Серед внутрішніх неконсервативних сил можна виділити так звані дисипативні сили,

наприклад, сили тертя, потужність і, отже, робота яких δAвн.дис завжди від’ємна7. Будь-яка

дисипативна сила може бути подана у вигляді F дис = −k(υ )υG, причому коефіцієнт k(υ ) є додатно

визначена

величина,

k(υ ) > 0 .

Тоді

потужність

дисипативної

сили

N = F дисυG = −k(υ )υGυG = −k(υ )υ 2 < 0 . Внутрішні дисипативні сили для будь-якої пари частинок

7Зменшення кінетичної енергії руху тіла свого часу трактувалося як її «зникнення», латиною dicipatio (дисипація) звідки

іпоходить термін «дисипативний».

186

замкненої системи частинок відповідно до третього закону Ньютона рівні за модулем і протилежно направлені: FGkiдис = −Fikдис . Їх сумарна потужність завжди від’ємна:

вн.дис

n Gвн.дис G

n Gвн.дис

G G

Gвн.дис G

== ∑ Fik

υi

∑ Fik

(υi −υk ) =

∑ Fik

υik =

i,k=1

2 i,k=1

k≠i

(5.121)

1 n

G G

−

∑k(υik )υikυik = −

∑k(υik )υik < 0.

2 i,k=1

k≠i

≠i

Рівність (5.120) можна подати у вигляді

сист

= δAвн.дис

+ δAвн.стор ,

(5.122)

де

через δAвн.дис позначено роботу

внутрішніх дисипативних сил, а через δAвн.стор − роботу

всіх інших внутрішніх сторонніх сил.

(5.122)

випливає

умова збереження

повної

механічної енергії замкненої системи

частинок: повна механічна енергія замкненої системи частинок зберігається, якщо втрати

енергії на роботу проти внутрішніх дисипативних сил компенсуються роботою інших внутрішніх сторонніх сил.

За наявності в замкненій системі частинок лише внутрішніх дисипативних сил її повна механічна енергія може тільки зменшуватися з часом, оскільки

dE	= N вн.дис < 0 .	(5.123)
dt

Для замкненої системи частинок, в якій відсутні сторонні сили, може бути сформульований

закон збереження повної механічної енергії замкненої системи частинок:

Повна механічна енергія замкненої системи частинок, між якими діють лише

консервативні сили, зберігається.

Такі системи частинок називають консервативними8. Тоді можна закон збереження повної

механічної енергії замкненої системи частинок сформулювати так:

Повна механічна енергія замкненої консервативної системи частинок зберігається.

Для консервативної системи частинок справедливі рівності

8 Від латинського conservo –– зберігаю. Звідси походять і назви сил: консервативні –– це ті, при яких енергія зберігається, а неконсервативні –– це ті, при яких енергія не зберігається.

187

Eсист = Tсист(t) +Uсист(t) = const ,

(5.124)

які свідчать про те, що в такій системі з часом може змінюватися як кінетична, так і потенціальна енергія системи частинок, але лише так, щоб їх сума залишалася сталою, тобто завжди dTсист = −dUсист . Більше того, можуть змінюватись швидкості і положення всіх частинок

системи, тобто її механічний стан, але лише так, щоб її повна механічна енергія залишалася сталою.

n	miυi2 (t)		1	n
∑	miυi2 (t)	+	1	∑Uij (rGi (t) − rGj (t)) = const .	(5.124)
∑	2	+		∑Uij (rGi (t) − rGj (t)) = const .	(5.124)
i=1	2		2 i, j =1
				i≠ j

Поняття замкненої консервативної системи в механіці є певною ідеалізацією, оскільки при механічному русі макроскопічних тіл завжди присутні сторонні дисипативні сили тертя (опору),

які можна суттєво зменшити, але не усунути повністю.

Дуже хорошим наближенням до замкненої консервативної системи є Сонячна система, яка існує декілька мільярдів років і рух планет та інших тіл в якій відбувається без помітних змін.

Необхідно підкреслити, що зменшення механічної енергії системи частинок не означає зникнення енергії взагалі, а лише її перехід в інші види енергії, тобто універсальний закон збереження енергії при цьому не порушується − при зменшенні повної механічної енергії замкненої системи частинок завжди виникає еквівалентна кількість енергії інших видів: теплової,

променистої тощо. Наприклад, прискорений відносний рух заряджених частинок призводить до збудження електромагнітних хвиль, внаслідок чого кінетична енергія руху заряджених частинок переходить в енергію електромагнітного поля. При гальмуванні транспортних засобів кінетична енергія переходить у теплову завдяки від’ємній роботі дисипативних сил тертя або опору. Те саме відбувається у вимірювальних приладах, що мають рухомі елементи (стрілку, рамку тощо), при гасінні небажаних коливань цих елементів за допомогою різного роду демпферів, які переводять кінетичну енергію рухомого елементу в тепло за рахунок дисипативних сил внутрішнього тертя в повітрі або в рідині. При ударі двох більярдних куль частина їх кінетичної енергії переходить в тепло (йде на їх нагрівання), а деяка мала частина переходить в енергію акустичних хвиль, завдяки чому ми чуємо звук удару.

188

Зауважимо, що повна механічна енергія системи Eсист у загальному випадку не є адитивною величиною, на відміну, наприклад, від кінетичної енергії. Адитивність E має місце лише для систем частинок, що не взаємодіють між собою. Наприклад, якщо енергії двох систем 1

і 2, що не взаємодіють між собою, є E1 та E2 , то повна механічна енергія системи, що складається з цих двох систем, які ми тепер розглядаємо як підсистеми, становить E1+2 = E1 + E2 . Але, якщо

підсистеми 1 і 2 (тобто частинки, що належать до цих підсистем) взаємодіють між собою, то адитивність повних енергій порушується, оскільки повна енергія системи може бути подана таким чином:

E1+2 = T + U = T1 + T2 + U = T1 + T2 + U1 + U2 + U12 = E1 + E2 + U12 ,	(5.125)
де доданок U12 являє собою потенціальну енергію взаємодії	частинок підсистеми 1 з
частинками підсистеми 2. У загальному випадку N підсистем
N
E = ∑Ek + Uвз ,	(5.126)

k =1

де Uвз – енергія взаємодії підсистем між собою. Отже повна механічна енергія не є

адитивною величиною внаслідок неадитивності потенціальної енергії.

5.5.1. Енергія незамкненої системи частинок

Реалізувати замкнену систему макроскопічних тіл у земних умовах неможливо, оскільки неможливо ізолювати її від гравітаційного поля Землі. Тому велике практичне значення має розгляд повної механічної енергії незамкненої системи частинок. Обмежимось важливим випадком незамкненої системи частинок, між якими поряд з внутрішніми консервативними діють внутрішні дисипативні сили. Швидкість зміни повної механічної енергії такої системи частинок визначається потужністю внутрішніх дисипативних та зовнішніх сил, прикладених до частинок системи.

dE	= N вн.дис + N зовн. .	(5.127)
dt

З рівняння (5.127) випливає, що повна механічна енергія такої системи частинок зберігається, якщо сумарна потужність внутрішніх дисипативних та зовнішніх сил, прикладених до частинок системи, дорівнює нулю. При цьому втрати енергії системою внаслідок дії внутрішніх

189

дисипативних сил компенсуються за рахунок дії зовнішніх сил. Наприклад, вільні коливання гравітаційного маятника припиняються через деякий час внаслідок опору повітря, але якщо втрати його енергії поновлювати за рахунок роботи зовнішніх сил (наприклад, періодичного підштовхування), то коливання триватимуть так довго, як довго буде тривати підштовхування.

Саме завдяки цьому підтримується тривалий рух багатьох пристроїв і механізмів, наприклад,

механічних та електромеханічних годинників, незважаючи на існування дисипативних сил тертя

(опору).

Розглянемо тепер випадок руху незамкненої системи частинок за відсутності внутрішніх дисипативних сил. Зовнішні сили, прикладені до кожної ( i -тої ) частинки, поділимо на консервативні та неконсервативні:

FGi	зовн = FGiконс + FGi неконс .					(5.128)
За означенням консервативної сили
FGiконс = − gradiU ′ ,						(5.129)
де	′	(t), y2	(t), z2	(t), . . . , xi (t), yi (t), zi (t). . . , xn (t), yn (t), zn (t),t)	–	функція
	U (x1(t), y1(t), z1(t), x2

потенціальної енергії поля зовнішніх потенціальних сил, що, у загальному випадку, може залежати від часу як у явному вигляді, так і неявно через координати частинок, які залежать від

часу, а нижній індекс

біля значка оператора градієнта означає, що градієнт обчислюється в

місці знаходження i -тої частинки.

Обчислимо сумарну потужність зовнішніх сил

N зовн = ∑FGi зовнυGi = ∑υGi (− gradiU′ + FGi неконс) =

i=1

−

∂U

′ G

∂U

′ G

∂U

′

G неконс

∑

(x i + y j

+ z k )

∂x

∂y

∂z

υ F

∑ i

i 1

n ∂U

′ dx

∂U′ dy

∂U′ dz

неконс

(5.130)

= −

υ F

∂x dt

∂y dt

∂z

∑

∑ i

i=1

∂U′ dx

∂U′ dy

∂U′ dz

−

∂U′

= −

υ F

неконс

∑

∂z

∂t

∑ i

∂x dt

∂y dt

i=1

dU′

∂U′

G неконс

= −

∑

∂t

i=1

190

При спрощенні правої частини цього виразу до неї було додано вираз −

∂U ′

тотожно

∂t

рівний нулю, після чого введено позначення так званої повної похідної від функції V за часом,

dU ′

∂U ′

n ∂U ′ dx

∂U ′ dy ∂U ′ dz

∑

∂t

∂yi

∂zi

(5.131)

i=1 ∂xi

яка фактично є відношенням лінійної частини елементарного приросту функції dU ′

за

елементарний проміжок часу dt

до величини цього проміжку. В цей приріст дає внесок як явна

залежність

потенціальної енергії

U ′

від

часу

t ,

так і її зміна за рахунок зміни конфігурації

системи при переміщеннях частинок у зовнішньому потенціальному полі.

Тепер рівняння (5.131) можна записати так

= − dU ′ +

∂U ′ +

∑υGi FGi неконс ,

(5.132)

∂t

i=1

або

dE′

∂U ′

+ N зовн.неконс ,

(5.133)

∂t

де введено позначення

E ′ = T + U + U ′ ,

(5.134)

а N

зовн.неконс

означає потужність зовнішніх неконсервативних сил, N

зовн.неконс

n G Gнеконс

= ∑υi Fi

i=1

Величину E′

називають повною механічною енергією системи частинок

у зовнішньому

потенціальному полі. Вона складається з кінетичної енергії T , внутрішньої потенціальної енергії

U та з потенціальної енергії системи частинок у зовнішньому потенціальному полі U ′ .

З рівняння (5.133) випливає, що повна

механічна енергія системи

частинок

зовнішньому потенціальному

полі

U ′ зберігається, якщо

зовнішнє потенціальне поле

стаціонарне, тобто не залежить в явному вигляді від часу,

∂U ′

= 0 , та потужність зовнішніх

∂t

неконсервативних сил дорівнює нулю, N зовн.неконс

= 0 .

Потужність зовнішніх неконсервативних сил дорівнює нулю у двох випадках: коли ці сили

неконс

відсутні, F

≡ 0 або коли для цих сил завждиυ

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.09.20195.44 Mб50MAS_YaMR_ICh.doc
#
20.11.201829.73 Кб6Match_the_English_cinema_words_with_their_Ukrai....docx
#
07.03.2016539.4 Кб7MathAnalysis2015.pdf
#
07.03.20161.97 Mб30mat_metody_Nasledov.docx
#
09.12.20183.27 Mб27mat_model.doc
#
19.03.201514.21 Mб263Mech-Slobod.pdf
#
19.03.20154.07 Mб36mediapravo_ispit.pdf
#
24.08.2019230.4 Кб2MEDIKO-sotsialni_aspekti_nayvazhlivishikh_khvor...doc
#
29.08.20195.32 Mб46MedInform_250607-ІП.doc
#
19.03.201554.27 Кб6MEMORANDUM.doc
#
19.03.2015408.42 Кб14metaloorganika.pdf