Вища Математика для Економістів

5)відстань від точки М0 до площини 1 : (М0 , 1 );

6)точку N перетину прямої p1 та площини 1 ;

7)відстань від точки М0 до прямої p1: (М0, p1 ).

Виберемо напрямний вектор шуканої прямої а3 а1 (0,2, 3) . Отже,

знаходження розв’язку зручно звести канонічне рівняння прямої до

знайденого значення параметру до параметричного рівняння прямої. 7) Шукана відстань є довжиною перпендикуляру, проведеного з точки М0 до прямої p, тому для її знаходження необхідно виконати

наступні дії:

a) побудувати рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно до прямої p (очевидно, шуканий перпендикуляр

22

лежить у цій площині). Очевидно, це площина 3 : 2y 3z 9 0 ,

знайдена в пункті 2 цієї задачі.

б) знайти точку К перетину побудованої площини із заданою прямою (основу шуканого перпендикуляру), як розв’язок системи

зручно звести канонічне рівняння прямої до параметричного вигляду:

x 0

y 2t 1 Підставляючи ці вирази у рівняння площини, знайдемо

z 3t 2.

значення параметра t: 2(2t 1) 3( 3t 2) 9 0 t 1 .

знайденого значення параметру до параметричного рівняння прямої. в) знайти шукану відстань як відстань між точками М0 і К:

§ 3. Криві другого порядку на площині. Загальне рівняння кривої другого порядку

Загальне рівняння кривої другого порядку на площині:

де коефіцієнти А, В, С не можуть одночасно перетворюватись в нуль.

Основні криві другого порядку та їх канонічні рівняння Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума

відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є сталою величиною (її позначають 2а).

У частинному випадку за умови співпадання фокусів еліпс перетворюється на коло.

Кажуть, що еліпс розташований канонічно, якщо його фокуси містяться на осі OX симетрично відносно початку координат в точках F1( с,0) і F2(с,0). При цьому рівняння еліпса називається

канонічним і має вигляд

23

В цій формулі b2 а2 с2, b 0 .

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є сталою величиною (її позначають 2а).

Кажуть, що гіпербола розташована канонічно, якщо її фокуси містяться на осі OX симетрично відносно початку координат

вточках F1( с,0) і F2(с,0). При цьому рівняння гіперболи

називається канонічним і має вигляд

при цьому фокуси гіперболи містяться на осі OY симетрично відносно початку координат в точках F1(0, с) і F2(0,с).

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої прямої (директриси) та даної точки (фокусу).

Кажуть, що парабола розташована канонічно, якщо її фокус міститься на осі OX в точці з координатами F(0, p/2), p 0 , а

Перетворення системи координат

1. Поворот системи координат на кут в додатному напрямку (проти годинникової стрілки).

Зв’язок між координатами даної точки М в старій системі координат XOY та новій системі координат X OY задається формулами:

2. Паралельне перенесення початку координат в точку з координатами (c,d).

24

Зведення кривої другого порядку до канонічного вигляду

виду необхідно зробити наступні дії.

1) Використавши перетворення повороту системи координат із застосуванням формул (28), кут підбирають так, щоб позбутися у рівнянні кривої доданку, що містить добуток координат x y .

Після цього визначається тип кривої, а саме:

а) якщо коефіцієнти при квадратах змінних отриманого рівняння однакового знаку, то крива еліптичного типу;

б) якщо коефіцієнти при квадратах змінних отриманого рівняння протилежних знаків, то крива гіперболічного типу;

в) якщо один з коефіцієнтів при квадратах змінних дорівнює нулю, то крива параболічного типу.

2) Використавши паралельне перенесення початку координат із застосуванням формул (29), координати точки (c,d) підбирають так, щоб позбутися у рівнянні кривої доданків, які не повинні міститись у канонічному рівнянні відповідної кривої.

Приклад 8. Звести рівняння кривої другого порядку 5x2 6xy 5y2 6x 10y 3 0 до канонічного виду.

Скористаємось перетвореннями, описаними вище.

1. Перетворимо дане рівняння, скориставшись формулами (28) повороту осей координат, тобто замість змінних x та y підставимо до рівняння кривої вирази з формул (28). Розкривши дужки, зведемо сумарний коефіцієнт при доданках, що містять добуток x y та

прирівняємо його до нуля, маємо однорідне тригонометричне рівняння для знаходження невідомого кута , маємо

Можна вибрати будь-який корінь цих рівнянь, оскільки відповідні

кути відрізняються на , отже при всіх таких поворотах осі

2

координат можуть лише помінятись місцями або змінити напрям.

25

значення синуса та косинуса (інакше осі змінюють свої напрямки),

8(x )2 2(y )2 82x 22y 3 0 .

Очевидно, дана крива еліптичного типу.

2.Перетворимо отримане рівняння, скориставшись формулами

(29)паралельного перенесення осей координат, тобто замість змінних

x та y підставимо до рівняння кривої вирази з формул (29):

8(x c)2 2(y d)2 82(x c) 22(y d) 3 0 .

Розкривши дужки, сумарні коефіцієнти при доданках, що містять x та y , прирівняємо до нуля. Маємо

Отже, рівняння кривої набуває вигляду:

Завдання для самостійної роботи

Знайти рівняння прямої l1 , яка паралельна прямій l, та прямої l2 , яка перпендикулярна прямій l, що проходять через точку М.

1.l : y 2x 15, M (1; 2).

2.l : y 4x 3, M (3; 2) .

3.l : y 3x 17, M (2; 1) .

4.l : y 2x 8, M ( 2;1).

26

5.l : y 3x 7, M ( 3;4).

Знайти рівняння прямої, яка проходить через центри заданих

кіл.

6.x2 y2 4x 2y 1 0 і x2 y2 6x 12y 46 0 .

7.x2 y2 6x 2y 11 0 і x2 y2 4x 8y 24 0 .

8.x2 y2 2x 4y 8 0 і x2 y2 2x 12y 4 0 .

9.x2 y2 2x 8y 3 0 і x2 y2 4x 10y 7 0 .

Знайти відстань від точки М до прямої l.

10.M(4; 2), l : 3x 4y 5 0 .

11.M(3; 4), l : 5x 12y 11 0 .

12.M(3;2), l : 6x 8y 3 0 .

13.M(1;2), l : 12x 5y 4 0 .

Знайти відстань між паралельними прямими l1 і l2 .

14.l1 : 3x 4y 8 0, l2 : 3x 4y 12 0 .

15.l1 : 4x 3y 5 0, l2 : 8x 6y 3 0 .

Знайти координати точки N, яка симетрична до точки M відносно прямої AB.

16.A(2;1), B(0; 1), M (2;3).

17.A(4;2), B(2;0), M (4;4).

18.A( 2;1), B(4;3), M ( 1;8) .

19.A( 3; 1), B(1;1), M ( 2;2).

20.A( 2;3), B(4;1), M ( 1; 4) .

Записати рівняння серединного перпендикуляру до відрізку

AB.

21.A( 2;3), B(4; 7).

22.A(1; 4), B( 3; 8).

23. Знайти координати точок перетину кола (x 2)2 (y 3)2 12 з осями координат.

24.Знайти рівняння кола з центром в точці (–1;1), яке дотикається кола (x 2)2 (y 3)2 1.

25.Знайти рівняння кола з центром в точці (–1;5), яке дотикається кола (x 2)2 (y 1)2 4 .

Знайти рівняння кола, описаного навколо трикутника АВС.

26.A(2;1), B(4;0), C(5; 1).

27.A( 5;5), B(2;6), C(3;5).

Знайти координати вершини D паралелограма ABCD:

28.A(4;–4), B(6;–2), C(0;4).

29.A(2;–7), B(–3;4), C(–4;3).

27

висоти, медіани та бісектриси трикутника ABC, проведених з вершини А. Записати рівняння кіл, вписаного у трикутник ABC та описаного навколо нього.

32.Задано точки A(1;5), B(4;1), C(1;1). Записати рівняння медіан, висот та бісектрис трикутника АВС, а також кіл, вписаного до трикутника АВС та описаного навколо нього.

33.Дані сторони трикутника: x-y=0 (AB), x+y-2=0 (BC), y=0 (AC). Скласти рівняння медіани, що проходить через вершину В, і висоти, що проходить через вершину А.

34.Дані сторони трикутника: x+y-6=0, 3x-5y+14=0, 5x-3y- 14=0. Скласти рівняння його висот.

35.Задані вершини трикутника: А(0,0), В(-1,-3), С(-5,-1). Скласти рівняння прямих, що проходять через вершини трикутника і паралельні його сторонам.

36.Записати рівняння гіпотенузи прямокутного трикутника, що проходить через точку А(1,3/4), якщо катети трикутника розташовані на осях координат, а його площа дорівнює 6 кв. од.

37.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(2;3): а) паралельно осі ОХ; б) паралельно осі ОY; в) утворює з віссю ОХ кут

45°.

38.Скласти рівняння прямих, що проходять через точку перетину прямих 2х-3у+1=0 і 3х-у-2=0 паралельно і перпендикулярно прямій у=х+1.

39.Знайти довжину і рівняння висоти ВD у трикутнику з вершинами А(-3;0), В(2;5), С(3;2).

40.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(4;3) і відтинає від координатного кута трикутник площі 3 кв.од.

41.Заданий трикутник з вершинами А(-2;0), В(2;4) і С(4;0). Знайти рівняння сторін трикутника, медіани АЕ, висоти АD і довжину медіани АЕ.

42.У трикутнику АВС задані рівняння: сторони АВ 3х+2у12=0, висоти ВМ х+2у-4=0, висоти АМ 4х+у-6=0, де М – точка перетину висот. Знайти рівняння сторін АС, ВС і висоти СМ.

43.Дві сторони паралелограма задані рівняннями у=х-2 і х- 5у+6=0. Діагоналі його перетинаються у початку координат. Знайти рівняння двох інших сторін паралелограма і його діагоналей.

44.Записати рівняння кола, вписаного до трикутника АВС,

якщо A(–2;–2), B(12;0), C(0;12).

28

45.Задано середини сторін A1(2;–1), B1(–1;4), C1(–2;2) сторін трикутника АВС. Знайти координати вершин А, В і С.

46.Задано вершини A(3;1), B(–2;2) трикутника АВС і D(1;1) – точка перетину його висот. Знайти координати вершини С і рівняння сторін трикутника АВС.

47.Задано вершини A(5;2), B(–3;4) трикутника АВС і D(3;1) – точка перетину його медіан. Знайти координати вершини С і рівняння сторін трикутника АВС.

48.Задано вершину A(–4;–5) і рівняння висот 5x+3y–4=0, 3x+8y+13=0 трикутника АВС. Знайти координати його вершин B, С і рівняння сторін трикутника АВС.

49.Задано вершину A(1;3) і рівняння медіан 2y–x=1, y=1 трикутника АВС. Знайти координати його вершин B, С і рівняння сторін трикутника АВС.

50.Записати рівняння прямої, яка симетрична прямій 2x– y+1=0 відносно вісі ординат.

51.Записати рівняння прямої, яка симетрична прямій 2x– y+1=0 відносно початку координат.

52.Записати рівняння прямої, яка симетрична прямій 2x– y+1=0 відносно прямої y=x.

53.Записати рівняння прямої, яка проходить через точку М(3;–1) і перетинає вісі координат у точках, рівновіддалених від початку координат.

54.Записати рівняння прямої, яка проходить через точку М(8;6) і відтинає від координатного кута трикутник, площа якого дорівнює 12 кв. од.

55.Записати рівняння кола, яке проходить через точку А(2;1)

ідотикається осей координат.

56.Записати рівняння кола, яке проходить через початок

координат, точку А(1;0) і дотикається кола x2 y2 9 .

57. Кут між векторами a і b дорівнює 120 , а їх модулі a =3 і

58. Обчислити кут між векторами a =(2;1), b =(1;–2), а також довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах a і b як на сторонах.

59. Обчислити кут між векторами a 3p 2q і b p 5q , де p і q – одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

29

60. При якому значенні вектори p a b і q a b

перпендикулярні, якщо модулі векторів a і b відповідно дорівнюють

64.a =(2;3), b =(3;5), c =(–1;3).

65.a =(3;–2), b =(1;1), c =(0;5).

66.Знайти рівняння площини, яка проходить через точку А

перпендикулярно вектору BC .

67. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку А перпендикулярно вектору BC .

x 1 y z 3 , 2x y 4z 0. 1 0 2

30

75.Знайти рівняння площини, що паралельна площині 2x+y+3z+6=0 і проходить через точку А(1,2,0).

76.Знайти рівняння множини точок, рівновіддалених від осі ОY і точки F (4;0).

77.Звести криву другого порядку до канонічного вигляду:

2xy 2x 2y 1 0.

x2 y2 4xy 2x 4y 1 0.

79.Звести до канонічного вигляду: 4xy 4x 4y 0.

80.Встановити тип кривої другого порядку та звести її рівняння до канонічного виду: 4x2 3y2 8x 12y 32 0.

31