Вища Математика для Економістів

cos

sin

(39)

T

.

sin

cos

номерами

i та

j

i j ,

причому

два діагональних

елементи

дорівнюють cos , а два інших дорівнюють sin та sin .

Перетворенню

відбиття відповідає матриця відбиття

(матриця Хаусхолдера)

H = E - 2uuT ,

(40)

де u - нормований вектор

u

1 . Зауважимо,

що матриця H є

симетричною,

бо

HT E - 2uuT T

ET 2 uT

T

uT E - 2uuT H .

Покажемо,

що

матриця H

є ортогональною.

Дійсно,

оскільки

uT u

u

2 1, то

HT H E - 2uuT 2

E 4uuT 4uuT uuT E .

xv x xu x u uT x E uuT x .

(41)

При відбитті вектора x відносно площини

V його

перпендикулярна складова xv

залишається незмінною, а паралельна

складова xu змінює знак

(рис. 3), тому відбитий

вектор z

визначається як

z x 2xu E 2uuT x Hx .

-xu

z

Рис. 3.

Отже, ми маємо справу з перетворенням відбиття.

Дві множини U і V

евклідова простору

називаються

ортогональними U V , якщо кожний вектор з U

ортогональний

називається ортогональним

доповненням

множини

U

і

позначається через U .

Зауважимо,

що

U

є

підпростором

евклідова

простору

незалежно від того, чи є U підпростором.

Теорема.

Якщо

U -

підпростір евклідова

простору

En , то

En U U та U

U .

Ядром m n -матриці

A називається множина

N A

векторів

x En , для яких Ax = 0 .

R A

Образом

m n -матриці

A називається

множина

векторів v Em , вигляду v = Au , де u - деякий вектор простору En .

Множини N A та R A

є підпросторами вимірності n r A

і

r A відповідно,

тобто

dimN A n r A ;

dimR A r A .

Вимірність ядра матриці A називається дефектом матриці і

позначається через d A , отже,

d A n r A .

Теорема.

Для

будь-якої матриці A

має

місце

рівність

N A R AT .

утворений розв’язками системи

Ax = 0 ,

є

ортогональним

доповненням до підпростору, натягнутому на рядки матриці A .

Приклад

19.

Доповнити

ортогональну

систему

векторів

e1 1 1 1 0 T , e2 2 0 2

1 T до ортогонального базису простору

E4 .

Знаходимо

вектор e3

x1

x2

x3 x4 T

з умов

ортогональності

e1T e3 0, eT2 e3 0 .

Ці

умови

представляють

собою

систему

рівнянь

відносно координат вектора e3 :

x1 x2 x3

0,

2x3

x4 0.

2x1

a1 1 1 0

2 T , a2

0 1

1 2 T .

За вектор e3

візьмемо один з

цих векторів, наприклад a1 .

Вектор

e4 y1 y2 y3

y4 T

визначимо

згідно

умов

e1T e4 0, eT2 e4

0, eT3 e4

0 . Відповідна система рівнянь має вигляд:

y1 y2 y3

0,

2y3

y4 0,

2y1

y y

2

2y

4

0.

1

Шмідта

до

системи

векторів

a1 1 1

0 T , a2

0

2 1 T , a3

2

2 3 T одержати

ортогональну

систему векторів b1, b2, b3 .

Покладемо b1 = a1 . Шукаємо вектор b2

у вигляді b2 a2 21b1 .

Число

21

визначаємо

з

умови

bT2 b1 0 .

Оскільки

0 bT2 b1 aT2 b1 21b1T b1 , то

aT2 b1

2

1,

b

a

b 1 1 1 T .

b1T b1

21

2

2

2

1

Тепер шукаємо вектор b3

у вигляді b3 a3 31b1 32b2 . Числа

31 і 32

визначаємо з умов bT3 b1

0, bT3 b2

0. З урахуванням рівності

bT2 b1 0

маємо 0 bT3 b1 aT3 b1 31b1T b1,

0 bT3 b2 aT3 b2 32bT2 b2 .

aT3 b1

4

2,

aT3 b2

3

1,

b

a

2b b

1 1 2 T .

b1T b1

bT2 b2

31

2

32

3

3

3

1

2

Отже,

b1 1 1

0 T , b2 1 1

1 T , b3

1

1 2 T .

Приклад 21. Скласти рівняння гіперплощини, що проходить

через точку

A 2,3,1, 2

афінного простору S4

перпендикулярно до

прямої x 1 3

2 4 2 T .

Якщо x0

- радіус-вектор точки A , то з рівняння гіперплощини

aT x b , де вектор a

є нормаллю до гіперплощини, випливає, що

aT x0 b . З цих рівностей знаходимо,

що aT x x0 0 . Нормаллю до

x0 2 1 1 T . Координати вектора

нормалі a a1 a2

a3 T

знаходимо з

умов ортогональності вектора a

і векторів 1 1

3 T ,

0 1 1 T , які

dimU 2 . Доповнимо систему векторів a1, a2

до базису простору E3 .

Шукаємо вектор a3 x1 x2

x3 T з умов a1T a3

0, aT2 a3 0 . Ці умови

мають вигляд:

2x1 x2

x3 0,

3x2

4x3 0.

2x1

2

0

2

A

0

4

2

.

2

2

3

Власними значеннями

і

відповідними ортонормованими

1 0, x1

1

2 1 2 T , 2 3, x

2

1

2 2 1 T ,

3

3

2

2

1

S = Q

1

1

2 2

.

3

2

1

2

Таким чином,

A Sdiag 0, 3, 6 S 1

= Qdiag 0, 3, 6 QT

1

2

2 1 0

0

0 2

1 2

1

2 2

0

3

0

2

2

1 .

3

2

1 2

0

0

6

1

2 2

2

1

1

A

1

2

1 .

1

1

2

b1 1 1 0 T , b2

1 2

1 2

1 T .

За

допомогою

ортогональної

системи векторів x1, b1, b2

складемо ортогональну матрицю Q :

1

1

1

3

2

6

x1

b1

b2

Q

1 3

1 2 1 6 .

x1

b1

b2

3

0

2

6

1

Тоді маємо:

1

1

1

1

1

1

3

2

6

0 0

0

3

3

3

A 1 3

1 2

1 6

0 3

0

1 2

1 2

0 .

0 0

3

0

2 6

1 6

1 6

2 6

1 3

Приклад 26.

Знайти

образ і

ядро

матриці

ортогонального

Позначимо нормаль до площини (гіперплощини) y z 0 через

n 0

1 1 T , тоді відповідний нормальний вектор визначається як

u =

n

1

0 1 1 T .

n

2

За формулою (41) маємо:

Ax = x - uuT x . Застосуємо це

перетворення проектування

до векторів натурального базису

e1, e2, e3 простору E3 . Одержимо:

Ae1 = e1 - uuT e1 e1 1 0 0 T ,

Ae2 = e2 - uuT e2

1

0 1 1 T ,

Ae3 = e3 - uuT e3

1

0 1 1 T .

2

2

Отже, матриця ортогонального перетворення має вигляд:

1

0

0

0

1 2

1 2

A

.

0

1 2

1 2

мінорів чергувалися, починаючи з від’ємного.

Матрицю W , про яку йде мова в теоремі, можна знайти одним

із способів:

1)

W diag

,

, ...,

QT ,

де

Q

- ортогональна матриця,

1

2

n

складена

з

ортонормованих

власних

векторів матриці A , що

відповідають власним значенням i ,

i

1,n

:

2)

W A1 2

Qdiag

,

, ...,

QT ;

1

2

n

3)

W diag

,

, ...,

U ,

де

U

- множник

LDU -розкладу

d1

d2

dn

матриці A , d1, d2, ..., dn

- її провідні елементи ( L, U відповідно нижня

і

верхня

трикутні матриці

з одиницями на

головній діагоналі,

D diag d1, d2, ..., dn ).

W diag

U ,

Представлення

A = WT W ,

де

,

, ...,

d1

d2

dn

f y2

y2

... y2,

0, i 1,r .

(42)

1 1

2 2

r r

i

Коефіцієнти i називаються канонічними коефіцієнтами.

Рівність

(42) можна переписати наступним чином:

n

f jy2j

,

(43)

де 1, 2, ..., n - власні значення матриці A . Тоді

n

f

xT Ax xT QΛQT x yT Λy j y2j ,

j 1

де y y1 y2 ... yn T

QT x . Отже, квадратична форма за допомогою

що 1, 2, ..., p є

додатними, а p 1, p 2, ..., r

- від’ємними. За

допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних

y

s

, ..., y

sp

, y

sp 1

, ..., y

s

,

1

p

p 1

r

r

1

1

p

p 1

r

f s2

... s2

s2

... s2

,

(44)

1

p

p 1

r

2

1

0

1

0

1

A

2 1

,

B

0

1 0

1

.

0

1

2

0

1

1

власні значення

1 2, 2,3

2

2

є додатними; 2) провідні мінори

det A1 2, det A2

3, det A3 det A 4

є додатними; 3) провідні

елементи d1 2, d2 3 2, d3

4 3

є додатними.