Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Лекція 1

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
963.59 Кб
Скачать
☆

Лекція 1 (18 лютого 2014 р.)

Молекулярна фізика – це наука про властивості речовин в різних агрегатних станах: газовому, рідкому, твердому. Оскільки лише в одному молі речовини міститься 6.02*1023 молекул (атомів), ясно – молекулярна фізика має справу з величезною кількістю частинок (молекул, іонів чи атомів).

Ця обставина визначає використання в молекулярній фізиці двох методів.

Перший з них базується на моделях атомномолекулярної будови речовин та застосуванні для аналізу структури речовин в різних агрегатних станах та перебігу процесів в них статистичних закономірностей. Цей метод дістав назву молекулярно-кінетичної теорії будови

речовини.

Другий метод не використовує будь-які моделі будови речовин. Він базується на трьох принципах, постульованих на підставі узагальнення дослідних фактів. Цей феноменологічний метод дістав назву – термодинамічний

метод.

Частина 1.

Молекулярно-кінетична теорія будови речовини.

В основі молекулярно-кінетичної теорії будови речовини лежать методи статистичної фізики. Одне з головних питань будь-якої статистики – визначення ймовірності тієї чи іншої події, розподілу подій за ймовірностями їх виникнення. Інформація про розподіл подій за їх ймовірностями надає можливість визначати середні значення параметрів тих чи інших фізичних величин, притаманних відповідним фізичним системам (сукупностям атомів чи молекул).

Курс молекулярної фізики ми почнемо з визначення розподілу молекул ідеального газу за величинами декартових компонент молекулярних швидкостей.

1.1. Розподіл молекул за компонентами швидкостей

Перш за все сформулюємо деякі припущення. Вони пов’язані з особливостями властивостей ідеального газу.

1. Ймовірність dW vx того, що серед молекул ідеального газу знайдуться молекули, швидкість яких лежить в інтервалі vx , vx dvx , пропорційна величині цього інтервалу швидкостей dvx . При цьому коефіцієнт пропорційності – функція від vx g vx .

2.У декартовому просторі швидкостей всі напрямки рівно ймовірні. Тобто ми нехтуємо силою земного тяжіння.

3.Усі три декартові компоненти молекулярних швидкостей взаємно незалежні. Таким чином,

молекулярні швидкості мають бути нерелятивістськими.

 

 

 

 

 

dW (v

x

) g(v

x

)dv

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

)g(v

 

 

)g(v

 

)dv

 

dv

 

dv

 

dW (v )

g(v )d g(v

x

y

z

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d dv

x

dv

y

dv

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

ln g(v

 

) ln g(v

 

) ln g(v

 

)

 

 

 

 

 

ln g(v )

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

 

1

 

 

 

 

dg(v

 

)

ln g(v )

dv

 

 

 

 

 

g(v )

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

x

~

 

dv

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

dv

 

 

 

g(v

 

)

 

 

dv

 

 

 

v

 

x

g(v )

 

(v )

 

x

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

v

 

v

 

v

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ dv

 

 

 

2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v

 

dv x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

~

 

1

1

 

 

dg(v

 

)

 

1

1

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

dg(v

 

)

 

1

1

g(v )

 

 

 

x

;

 

g(v )

v

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

 

v

 

g(v

 

)

dv

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

~

 

 

v

 

 

 

 

v

 

 

g(v

 

)

dv

 

 

 

 

v

 

g(v

v

g(v )

v

 

x

x

x

 

 

 

v

g(v )

 

 

v

 

 

y

 

 

 

y

 

y

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dg(v

x

)

2v dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(v

 

)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln g(v

 

 

) ln Z

 

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(v

 

)

1

exp(v

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

0

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зверніть увагу, що в просторі швидкостей обрали елементарний об’єм d dvx dvy dvz .

 

 

dg(v

z

)

 

 

 

 

 

z

)

dv

z

 

 

 

 

 

 

v

x

, v

y

, v

z

 

 

 

2

ми

Для визначення сталих інтегрування

Z 0

та

 

ми

скористаємося додатковими міркуваннями. Перш за все, візьмемо до уваги, що сумарна ймовірність знайти молекули, декартові компоненти швидкості яких лежать в інтервалі швидкостей , дорівнює 1. Цю умову називають у статистиці умовою нормування розподілу ймовірностей. Цю умову можна формалізувати наступним виразом:

 

 

 

dW (vx )

g(vx )dvx

 

 

 

 

 

 

g(vx )dvx

g(v y )dv

 

 

 

y

1.

1

g(vx )g(v y )dvx dv y 1

vx ,vy

v

v

x y

exp (vx

 

vy ) dvx dvy

Z0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2

v

2

v

 

; dv dv

 

 

d d

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d [exp(

)]d

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(v

)

 

 

 

exp

(v

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

Для визначення сталої інтегрування

 

скористаємося

відомим з курсу фізики для середньої школи виразом для середньої кінетичної енергії молекул ідеального газу.

 

m v

2

 

 

3

kT

3

m v

 

, оскільки v

 

v

 

v

 

v

 

 

3 v

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vx

 

;

vx

vx g(vx )dvx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

vx

 

 

vx [

exp(vx )]dvx

 

( 1)

exp(vx

)dvx

 

 

( 1)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

1

 

;

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепер можна записати вираз для розподілу ймовірностей молекул ідеального газу за компонентами швидкостей

 

) g(v

 

 

 

 

m

 

exp(

mv2

 

dW (v

)dv

 

 

 

x

)dv

 

x

 

 

x

x

x

 

 

 

2 kT

 

 

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

dW (v

)

g(v

 

x

 

 

 

 

x

 

dv

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

m

2 kT

 

exp(

mv

2

x

 

2kT

)

.

Цю функцію називають густиною ймовірностей, чи розподілом молекул ідеального газу за швидкостями (точніше за компонентами швидкостей).

Лекція 2 (25 лютого 2014 р.)

1.2. Розподіл молекул за модулями швидкостей та за енергіями

Ймовірність події, за якої вектор швидкості потрапляє в елемент простору швидкості d , на підставі викладеного вище можна записати у вигляді

~

~

m

 

32

 

m(vx2 vy2 vz2 )

dW (v ) g(v )d (

 

)

 

exp[

 

]dvx dvy dvz

2 kT

 

 

 

 

 

 

 

2kT

Щоб серед молекул ідеального газу знайти молекули, модуль

швидкості v

яких лежить в інтервалі

v, v dv ,

треба проінтегрувати

попередній вираз по сферичному шару в просторі швидкостей.

 

 

 

2

 

 

 

m

) 32

 

 

 

 

 

mv

2

 

 

 

 

 

 

 

dW (v) g(v)dv d

(

 

exp(

 

)v 2

sin d dv

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

2 kT

 

 

 

 

 

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2 ;0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dW (v) g(v)dv 4 (

m

) 32 exp(

mv2

 

)v 2 dv

 

 

 

 

 

2 kT

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mv2

 

 

 

 

 

 

 

g(v)

dW (v)

4 v 2 (

 

m

) 32 exp(

 

); vextr

 

 

2kT

 

 

 

 

2 kT

 

 

m

 

 

dv

 

 

 

 

2kT

 

 

 

 

 

Вирази для розподілів молекул ідеального газу за компонентами та модулями їх швидкостей дістали назву розподілів

Максвелла.

Визначимо розподіл молекул ідеального газу за їх кінетичними енергіями. З умов нормування інтенсивностей випливає

g(v)dv g( )d ; g( ) g(v)

dv

 

; v 2

 

2

; dv

1

 

2

 

d

d

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

 

 

 

 

1

) 32

 

 

exp(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g( )d 2 (

 

 

)d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

) 32

 

 

exp(

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

g( ) 2 (

 

 

 

 

); extr

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

m

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Розподіл Больцмана

1.3.1. Барометрична формула

Врахуємо вплив потенціальних полів на розподіл молекул ідеального газу в просторі. Як потенціальне поле оберемо поле земного тяжіння. Розв’яжемо одновимірну задачу – розподіл

молекул розрідженого газу з висотою

z . Тиск газу, що знаходиться

в інтервалі висот z, z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dP

gmn(z)Sdz

, g

стала, n(z) концентрація,

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dn z

 

 

 

dP n z kT n z dz kT

dzkT

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

dn z

 

 

 

 

 

 

gmn(z)dz

dzkT

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

mgdz

 

n( z )

 

 

dn(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

n(z)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

n(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n(z) n(0) exp(

mgz

)

 

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m – маса однієї молекули

P(z) nkT n(0)kT exp( mgzkT )

Це барометрична формула

Якщо

z

kT

, n(z) n(0)

const

mg

 

 

 

1.3.2. Розподіл Больцмана

Поширимо вираз отриманий для потенціального поля земного

тяжіння на довільне потенціальне поле.

dW (z) g(z)dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(z) ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dW (z)

n(z)Sdz

 

 

 

S

 

n(z)dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

N

g(z)

S

 

n(z)

 

S

 

n 0 exp(

mgz

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

kT

~

 

 

 

~

dxdydz

 

 

 

 

 

dW r g r

 

 

 

 

 

dW (x, y, z) g(x, y, z)dxdydz

g(x, y, z)

1

 

 

 

 

 

 

U (x, y, z)

 

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z B

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

В цьому виразі

g(z)

dW (x, y, z)

dxdydz

 

- густина ймовірності знайти

молекули в довільному елементі об’єму

(x, y, z) довільного потенціального поля

U (x,

назву розподілу Больцмана.

 

dzdydz в довільній точці y, z) . Цей розподіл дістав

Важливо відзначити - параметром обох розподілів Максвелла та Больцмана є температура Т.

Зрозуміло, що параметр розподілу Больцмана ZB залежить від потенціалу U(x,y,z). Знайти цей параметр можна з умов нормування.

1.3.3. Розподіл молекул газів в атмосфері Землі з висотою

Потенціальну енергію молекул газів в полі земного тяжіння можна визначити, скориставшись законом всесвітнього тяжіння.

f (R)

 

mM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (R)

dU (R)

dU (R) f (R)dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R0

 

 

mM

 

mM

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

U (R)

 

 

 

 

 

dr

 

mM

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 1)R

 

 

 

 

 

 

R R0

 

 

R

 

 

R0

 

R

Враховуючи сферичну симетрію потенціального поля (поля тяжіння) Землі, подальшій аналіз доцільно провести з використанням сферичної системи координат. Тоді розподіл

молекул газів в атмосфері Землі, використавши розподіл Больцмана можна подати у вигляді

dW (R, , )

 

1

 

exp

 

 

mM

 

1

 

1

R

2

sin d d dR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z B

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R0

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

mM

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dW (R)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

d

sin d

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

R dR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

Z B

 

 

 

 

 

 

kT

 

R0

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 R

2

 

 

 

 

 

 

mM

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

kT

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепер можна визначити ZB з умов нормування:

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dW (R) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mM

1

 

 

1

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

B

(m) 4

 

R

2

 

exp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kT

 

R0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n(R, m)

NdW (R, m)

 

NdW (R, m)

 

 

 

 

 

 

dV (R)

 

 

 

 

 

2

dR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 R

 

 

 

n(R, m)

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

mM

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z B (m)

 

 

 

 

 

kT

 

R0

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.4. Розподіл Максвелла – Больцмана

В розподілі Максвелла функція gM(vx,vy,vz) не залежить від просторових координат x,y,z . В розподілі Больцмана функція gB(x,y,z) не залежить від швидкостей vx,vy,vz. Тобто ці розподіли незалежні один від одного. А тому ймовірність знайти серед молекул ідеального газу такі, що мають швидкості в діапазоні [vx +dvx, vy+dvy, vz+dvz] й знаходяться в просторі в околі точки з координатами [x,y,z] пропорційна добутку:

~ ~

~

~

dW v , R

dW (v ) * dW (R)

Тобто

 

 

 

 

 

mv

2

 

~

 

 

 

 

 

~

~

 

1

 

 

 

2

U (R)

 

 

 

 

 

exp

 

 

dv

dv

dv

dxdydz

dW v , R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z M Z B

 

 

kT

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ясно, що

~

 

~

~

dW (v ) dW (v , R)dxdydz

 

 

 

~

 

~

~

dW (R) dW (v , R)dvxdvy dvz

 

 

 

Ще про розподіли.

1.Якщо внаслідок обміну станами (імпульсами, положеннями) нерозрізненних частинок утворюється новий стан, то маємо розподіл Максвелла – Больцмана.

2.В противному разі можливі два різні розподіли:

2.1для частинок з цілим спіном – розподіл Бозе – Ейнштейна,

2.2для частинок з напівцілим спіном – розподіл Фермі – Дірака.

Лекція 3 - 5. (04.03.2014 – 18.03.2014).

Ще про розподіли.

3.Якщо внаслідок обміну станами (імпульсами, положеннями) нерозрізненних частинок утворюється новий стан, то маємо розподіл Максвелла – Больцмана.

4.В противному разі можливі два різні розподіли:

2.1.для частинок з цілим спіном – розподіл Бозе – Ейнштейна,

2.2.для частинок з напівцілим спіном – розподіл Фермі – Дірака.

1.4. Канонічний розподіл Гіббса.

Статистична система – це сукупність фізичних об’єктів, що вміщено в скінченій ділянці простору.

Статистичний ансамбль – сукупність однакових статистичних систем.

Мікроканонічний ансамбль – сукупність однакових ізольованих статистичних систем з однаковою енергією.

Канонічний ансамбль – сукупність незамкнених статистичних систем. Окрема система канонічного ансамблю:

частина великої системи;

містить кількість частинок << кількості частинок великої системи;

має відмінну від інших окремих систем енергію;

зветься канонічною системою.

Задача: Визначити ймовірність різних енергетичних станів систем, що належать канонічному ансамблю.

Розглянемо мікроканонічний ансамбль. Виділимо в ньому підсистему, що є частиною однієї з систем, що належать мікроканонічному ансамблю. Системи мікроканонічного

ансамблю за визначенням мають однакову енергію

E0 .

Виділена підсистема має енергію E E0 .

 

Позначимо кількість мікростанів, притаманних великій

системі, що містить підсистему,

Г0 E0 .

 

Тоді кількість

мікростанів, притаманних підсистемі,

-

Г E0 E , а

ймовірність такого стану підсистеми

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности