4.2. Определение коэффициентов регрессии и параметров
РЕГРЕССИОННОЙ СТАТИСТИКИ
Регрессионный анализ выборки наблюдений будем проводить в рабочем листе «Расчет». В указанном рабочем листе при помощи функции ЛИНЕЙН определим коэффициенты уравнения регрессии вида 1) P = b0 + b1 U + b2 T. Для этого выделим в рабочем листе диапазон ячеек I2:K6 (число столбцов определяется по количеству коэффициентов уравнения регрессии), установим курсор мыши в строку формул и введем следующую формулу: =ЛИНЕЙН(Матрицы!B2:B53;Матрицы!C2:D53;1;1),
где Матрицы!B2:B53 - диапазон матрицы зависимой переменной (функция давления Pi);
где Матрицы!C2:D53 - диапазон матрицы независимых переменных (в данном случае Ui и Ti).
Поскольку функция ЛИНЕЙН возвращается массив значений, ввод формулы (или редактирование) завершаем нажатием клавиш Ctrl-Shift-Enter.
Используя описания регрессионной статистики таблиц 2 и 3 находим в полученном массиве значения коэффициентов регрессии bn;bn-1;...;b1;b0 и коэффициент детерминации R2.
4.3. Проверка значимости коэффициентовI
Для проверки значимости коэффициентов регрессии используем t-статистику. Для проверки неравенства (14) в ячейке H7 вычисляем критическое значение распределения Стьюдента по уровню значимости a = 0,05 и n-(k+1) степеням свободы с помощью встроенной функции:
СТЬЮДРАСПОБР(0.05; <степеньсвободы>).
Определим оценочные
значения (14) для коэффициентов уравнения
регрессии
.
Для этого в ячейкиI7,J7,K7
введем
формулы =ABS(I2/I3),
=ABS(J2/J3),
и =ABS(K2/K3)
соответственно.
Вычисленное соотношение (14), сравниваем с критическим значением tкр и делаем вывод о значимости коэффициентов регрессии для каждого уравнения.
4.4. Проверка значимости уравнения регрессии
Для оценки значимости уравнения регрессии используется критерий Фишера. Наблюдаемое значение Fнабл в формуле (15) определим из таблицы регрессионной статистики (табл 2,3).
Критическое значение F-распределения Фишера Fкр с (k;n-k-1) степенями свободы определяем с помощью встроенной функции:
=FРАСПОБР(0.05;k;n-k-1) - где n - число наблюдений, k - число независимых параметров уравнения.
Проводим сравнение Fнабл и Fкр.
4.5. Вычисление расчетных значений регрессии и построение диаграмм
Для определения расчетных значений функции давления, подставим в уравнение регрессии с вычисленными коэффициентами регрессии текущие значения независимых параметров. Для этого в ячейку C2 введем следующую формулу: =$K$2+$J$2*Матрицы!C2+I$2*Матрицы!D2. Распространим эту формулу на весь диапазон наблюдений, т.е. на диапазон ячеек С2:С53.
Для сравнительного анализа и графической интерпретации расчетных и экспериментальных наблюдений функции давления построим точечную диаграмму по времени (Рис.1).
Р
ис.1.
4.6. Построение других регрессионных моделей
При оценке параметров функции давления с помощью уравнения регрессии вида 2) из (17):
Pi = b0 + b1 Ui + b2 Mi
построим матрицу независимых переменных на рабочем листе «Матрицы».
В столбец F заполним значения первой независимой переменной Ui, а столбец G заполним значения второй независимой переменной численно равной значениям расхода топлива Мi (табл.4). При обращении к функции ЛИНЕЙН в качестве второго параметра будет указан диапазон матрицы независимых переменных F2:G53. Далее обработка и регрессионный анализ проводится в соответствии с разделами 4.1.-4.5.
Оценка уравнений регрессии проводится для всех регрессионных моделей (17). В таблице 5 приведен типовой расчет коэффициентов уравнений регрессии и параметров регрессионной статистики для различных моделей регрессии.
Таблица 4.
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
1 |
№ |
Pi |
Ui |
Ti |
|
Ui |
Mi |
|
2 |
1 |
54.36 |
0.15 |
-29.35 |
|
0.15 |
0.016 |
|
3 |
2 |
117.35 |
0.05 |
23.91 |
|
0.05 |
0.034 |
|
4 |
3 |
65.85 |
0.01 |
34.27 |
|
0.01 |
0.000 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
52 |
51 |
81.82 |
0.15 |
-12.92 |
|
0.15 |
0.026 |
|
53 |
52 |
138.39 |
0.09 |
24.92 |
|
0.09 |
0.044 |
Таблица 5.
Типовой расчет коэффициентов уравнений регрессии и параметров
регрессионной статистики для различных моделей регрессии
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
|
|
№ |
Pi |
Pi1p |
Pi2p |
Pi3p |
Pi4p |
Pi5p |
1) |
Pi=b0+b1*Ui+b2*Ti+b3*Mi |
|
|
| |
|
|
1 |
54.4 |
67.9 |
78.6 |
50.5 |
53.9 |
52.9 |
|
0.64790438 |
130.60212 |
67.8010747 |
|
|
|
|
2 |
117.4 |
89.8 |
97.1 |
121.6 |
118.2 |
120.5 |
|
0.10578275 |
51.2797732 |
5.76569039 |
|
|
|
|
3 |
65.9 |
90.8 |
44.0 |
70.0 |
65.8 |
64.2 |
|
0.47793 |
22.2244601 |
#Н/Д |
|
Fкр |
|
|
4 |
34.4 |
48.2 |
67.3 |
35.7 |
34.2 |
35.5 |
|
22.4281853 |
49 |
#Н/Д |
|
4.03 |
|
|
5 |
70.3 |
57.4 |
104.3 |
67.6 |
70.5 |
69.4 |
|
22155.7558 |
24202.4047 |
#Н/Д |
|
|
|
|
6 |
62.2 |
50.4 |
85.0 |
65.8 |
62.0 |
63.3 |
2.010 |
6.125 |
2.547 |
11.759 |
|
|
|
|
7 |
148.9 |
109.2 |
121.7 |
147.2 |
149.3 |
149.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
27.3 |
47.9 |
57.4 |
30.9 |
27.9 |
28.7 |
2) |
Pi=b0+b1*Ui+b2*Mi |
|
|
| |
|
|
9 |
45.3 |
57.6 |
72.2 |
46.2 |
46.0 |
47.0 |
|
1476.74694 |
76.8462039 |
43.2349883 |
|
|
|
|
10 |
85.7 |
83.7 |
83.3 |
84.9 |
85.3 |
86.2 |
|
242.567093 |
52.3968733 |
7.04153165 |
|
|
|
|
11 |
97.4 |
77.0 |
110.9 |
92.6 |
96.5 |
94.8 |
|
0.47519 |
22.2825155 |
#Н/Д |
|
Fкр |
|
|
12 |
79.0 |
106.5 |
56.3 |
76.8 |
78.6 |
79.2 |
|
22.1839683 |
49 |
#Н/Д |
|
3.19 |
|
|
13 |
83.7 |
54.3 |
96.8 |
90.5 |
84.7 |
83.2 |
|
22029.1462 |
24329.0143 |
#Н/Д |
|
|
|
|
14 |
29.5 |
42.2 |
64.3 |
32.2 |
29.1 |
30.0 |
2.010 |
6.088 |
1.467 |
6.140 |
|
|
|
|
15 |
69.1 |
89.4 |
67.5 |
65.2 |
68.0 |
67.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
43.1 |
67.6 |
51.8 |
46.2 |
43.5 |
44.7 |
3) |
Pi=b0+b1*Ti+b2*Mi |
|
|
| |
|
|
17 |
70.9 |
75.5 |
84.6 |
67.0 |
69.9 |
69.2 |
|
1762.04259 |
0.75514085 |
43.8537869 |
|
|
|
|
18 |
76.6 |
112.1 |
56.2 |
72.7 |
77.1 |
76.1 |
|
38.2520783 |
0.01704501 |
0.93057486 |
|
|
|
|
19 |
64.2 |
87.2 |
70.9 |
60.0 |
64.4 |
63.0 |
|
0.98666 |
3.55308761 |
#Н/Д |
|
Fкр |
|
|
20 |
82.8 |
57.7 |
108.4 |
82.2 |
82.6 |
83.0 |
|
1811.54942 |
49 |
#Н/Д |
|
4.03 |
|
|
21 |
53.3 |
53.1 |
73.9 |
57.7 |
53.8 |
54.7 |
|
45739.5633 |
618.597146 |
#Н/Д |
|
|
|
|
22 |
85.3 |
92.5 |
82.2 |
81.8 |
85.2 |
84.3 |
2.010 |
46.064 |
44.303 |
47.125 |
|
|
|
|
23 |
118.8 |
106.1 |
85.9 |
119.9 |
118.5 |
120.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
123.9 |
108.4 |
86.3 |
127.7 |
125.2 |
127.5 |
4) |
Pi=b0+b1*Ui+b2*Ti+b3*Mi |
|
|
| |
|
|
25 |
72.1 |
55.1 |
103.4 |
72.5 |
73.2 |
73.5 |
|
1708.47842 |
0.74896152 |
57.5109138 |
39.495 |
|
|
|
26 |
74.6 |
95.8 |
58.4 |
75.1 |
74.8 |
76.3 |
|
7.45429641 |
0.00325929 |
1.59761605 |
0.2150 |
|
|
|
27 |
48.5 |
88.0 |
58.7 |
44.4 |
49.7 |
47.8 |
|
0.99952 |
0.678466 |
#Н/Д |
#Н/Д |
Fкр |
|
|
28 |
35.7 |
54.8 |
55.9 |
40.0 |
36.3 |
36.3 |
|
33553.8007 |
48 |
#Н/Д |
#Н/Д |
3.19 |
|
|
29 |
149.8 |
114.7 |
121.4 |
145.3 |
149.4 |
147.6 |
|
46336.0653 |
22.0951734 |
#Н/Д |
#Н/Д |
|
|
|
30 |
102.4 |
76.7 |
103.4 |
102.9 |
102.1 |
103.4 |
2.011 |
229.194 |
229.793 |
35.998 |
183.683 |
|
|
|
31 |
98.0 |
77.4 |
84.9 |
102.5 |
97.1 |
96.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
103.3 |
103.1 |
77.8 |
102.7 |
102.7 |
104.0 |
5) |
Pi=b0+b1*Log(Ui)+b2*Ti+b3*Mi |
|
| ||
|
|
33 |
108.5 |
94.1 |
77.6 |
112.9 |
107.7 |
107.7 |
|
1724.82519 |
0.75868134 |
6.56229182 |
52.407 |
|
|
|
34 |
119.2 |
98.0 |
109.9 |
116.2 |
119.8 |
118.5 |
|
18.5352215 |
0.00816289 |
0.5094974 |
0.7996 |
|
|
|
35 |
58.3 |
82.0 |
51.4 |
61.6 |
58.9 |
60.5 |
|
0.99701 |
1.70061509 |
#Н/Д |
#Н/Д |
Fкр |
|
|
36 |
96.0 |
103.0 |
66.4 |
97.4 |
95.7 |
97.7 |
|
5327.09487 |
48 |
#Н/Д |
#Н/Д |
3.19 |
|
|
37 |
84.7 |
80.9 |
98.0 |
80.3 |
85.0 |
82.9 |
|
46219.3401 |
138.8204 |
#Н/Д |
#Н/Д |
|
|
|
38 |
94.0 |
103.2 |
84.6 |
89.0 |
94.3 |
92.1 |
2.011 |
93.057 |
92.943 |
12.880 |
65.538 |
|
|
|
39 |
95.7 |
105.2 |
84.3 |
90.4 |
95.8 |
93.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
91.4 |
56.5 |
101.2 |
97.3 |
91.6 |
91.4 |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
51 |
81.8 |
78.9 |
93.3 |
80.2 |
83.1 |
82.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
138.4 |
95.7 |
114.6 |
139.6 |
137.9 |
139.8 |
|
|
|
|
|
|