3. Преобразование данных при оценке нелинейных соотношений между переменными
При оценке нелинейных соотношений между зависимыми и независимыми переменными уравнения регрессии могут применятся различные преобразования данных. Например:
-
полулогарифмическое преобразование данных
Y = + ln X;
логарифмическое преобразование данных
ln Y = + ln X;
преобразование данных в обратные величины
Y = + / X;
Y = -/ X;
логарифмирование и преобразование данных в обратные величины
ln Y = - / X
В случае, когда объясняющих переменных более одной, формы преобразований могут комбинироваться: например, результаты наблюдений X2 подвергаются логарифмическому преобразованию, а результаты наблюдений X3 - обратному. При этом получаются различные формы зависимости объясняемой переменной от объясняющих.
При множественном регрессионном анализе в качестве конкретной функции давления можно, например, взять:
1) P = b0 + b1 U + b2 T
2) P = b0 + b1 U + b2 M
3) P = b0 + b1 T + b2 M
4) P = b0 + b1 U + b2 T + b3 M
5) P = b0 + b1 Log(U) + b2 T + b3 M и т.п.
Здесь P – зарегистрированное давление в камере двигателя внутреннего сгорания; U – скорость распространения пламени в газовой среде; T - температура топлива перед впрыском в камеру двигателя внутреннего сгорания; М – расход топлива, впрыскиваемого в камеру двигателя внутреннего сгорания. В данных примерах количество регрессоров уравнения регрессии равно 2-3.
4. Порядок выполнения лабораторной работы
Файл с лабораторной
работой «Множественный
линейный регрессионный анализ.
Оценка
функциональной зависимости параметров
энергоустановки.»
представляет из себя рабочую книгу
табличного процессора MS Excel
и содержит 4 рабочих листа
.
На листе «Исходный»
расположены две управляющие кнопки
«Генерация наблюдений варианта»
и «Построение
диаграммы».
Лист «Исходный»
защищен от несанкционированного ввода
информации, то есть открытой для ввода
значений остается только одна ячейка,
о назначении которой будет сказано
ниже.
Для генерации наблюдений выборки значений случайных величин необходимо ввести номер варианта в отведенную для этой цели ячейку С5. Номер варианта nвар обязательно находится в пределах интервала 1 £ nвар £ 200. В ячейку С5 вводится номер варианта, после этого при нажатии кнопки «Генерация наблюдений варианта» с помощью Visual Basic программы генерируется выборка значений случайной величины, причем в качестве выборочной совокупности рассматриваются экспериментальные статистические данные регистрации параметров энергоустановки – двигателя внутреннего сгорания. Объем выборки n соответствует 52 наблюдениям. Выборка выводится в виде вектор-столбцов (P, U, T, M), в которых для удобства работы пронумерованы его компоненты. Здесь:
P – зарегистрированное давление в камере двигателя внутреннего сгорания;
U – скорость распространения пламени в газовой среде;
T – температура топлива перед спрыском в камеру двигателя внутреннего сгорания;
M – расход топлива, впрыскиваемого в камеру двигателя внутреннего сгорания.
При оценке параметров функции давления с помощью множественного регрессионного анализа построим несколько регрессионных моделей, когда объясняющих более одной, при различных формах зависимости объясняемой переменной от объясняющих:
-
1) P = b0 + b1 U + b2 T
2) P = b0 + b1 U + b2 M
3) P = b0 + b1 T + b2 M
4) P = b0 + b1 U + b2 T + b3 M
5) P = b0 + b1 Log(U) + b2 T + b3 M
Для оценки параметров функции давления с помощью множественного регрессионного анализа воспользуемся функцией ЛИНЕЙН электронных таблиц MS Excel. Функция рассчитывает статистику для ряда экспериментальных данных с применением метода наименьших квадратов, вычисляя линию регрессии, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные. Функция возвращает массив, который описывает полученную линию регрессии.
Данная функция вычисляет коэффициенты уравнения регрессии, а также дополнительную регрессионную статистику (стандартные значения ошибок для коэффициентов регрессии, коэффициент детерминированности, стандартную ошибку для оценки Y, наблюдаемое значение F-статистики, степени свободы, регрессионную сумму квадратов, остаточную сумму квадратов). Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива.
Перед тем как проводить обработку выборки с помощью функции ЛИНЕЙН необходимо перенести на рабочий лист «Матрицы» информацию по генерации наблюдений и подготовить соответствующие матрицы зависимых и независимых параметров.
На рабочем листе «Матрицы» в столбце А заполним нумерацию наблюдений выборки. Поскольку матрица зависимого параметра используется для построения различных регрессионных моделей, то в столбец B перенесем выборку зависимого параметра функции давления Рi из рабочего листа «Исходный» объемом n = 52, (матрицы с данными независимых переменных будем располагать в последующих столбцах). Для этого, используя связывание ячеек, в ячейку B2 вводятся формулы “=Исходный!B10” и распространяются на соответствующую область В2:В53.
Будем оценивать параметры функции давления с помощью уравнения регрессии 1) Pi = b0 + b1 Ui + b2 Ti.
Для уравнения регрессии 1) построим матрицу независимой переменной - в столбец С перенесем выборку параметра «скорость распространения пламени в газовой среде» Ui из рабочего листа «Исходный». Для этого, используя связывание ячеек, в ячейку С2 введем формулу “=Исходный!С10” и распространим на соответствующую область ячеек С2:С53. Аналогично в столбец D перенесем выборку параметра «температура топлива перед спрыском в камеру двигателя внутреннего сгорания» Ti
Вид рабочего листа «Матрицы», содержащий подготовленные данные имеет вид таблицы 1.
Таблица 1.
|
|
A |
B |
C |
D |
|
1 |
№ |
Pi |
Ui |
Ti |
|
2 |
1 |
54.36 |
0.15 |
-29.35 |
|
3 |
2 |
117.35 |
0.05 |
23.91 |
|
4 |
3 |
65.85 |
0.01 |
34.27 |
|
5 |
4 |
34.44 |
0.06 |
-41.91 |
|
6 |
5 |
70.33 |
0.15 |
-46.62 |
|
7 |
6 |
62.21 |
0.03 |
-33.13 |
|
8 |
7 |
148.90 |
0.16 |
32.09 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
51 |
50 |
109.26 |
0.18 |
26.35 |
|
52 |
51 |
81.82 |
0.15 |
-12.92 |
|
53 |
52 |
138.39 |
0.09 |
24.92 |