3.1.2. Виды дисперсий. Правило сложений дисперсий

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности.

Внутригрупповая (частная) дисперсия σ_i² - измеряет вариацию внутри группы, может быть простой и взвешенной.

Средняя из внутригрупповых (частных) дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из дисперсий групповых и отражает случайную вариацию:= ∑σ²_i f_i :∑ f_i (3.8)

Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней (3.9.) и характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака, измеряет вариацию между частными совокупностями (3.10).

δ²=∑( -)²:n_i (3.9.) δ² = ∑(-)² : ∑f_i (3.10)

- средняя по каждой отдельной группе, - средняя по всей совокупности. При δ² = 0 можно утверждать, что связь между изучаемыми признаками отсутствует.

Правило сложения дисперсий. Общая дисперсия признака всегда равна средней из внутригрупповых дисперсий плюс межгрупповая дисперсия. σ²_о = + δ² (3.11)

3.1.3.Коэффициенты детерминации. Дисперсия альтернативного признака

Степень влияния признака – фактора, положенного в основание группировки, можно измерить при помощи коэффициентов детерминации.

Коэффициент детерминации η²: - показывает какая доля всей вариации признака обусловлена признаком, положенным в основание группировки. η² = δ² : σ²_о (3.12)

Эмпирическое корреляционное отношение: η - показывает тесноту связи между признаками группировочным и результативным. Это отношение η= √δ² : σ²_о (3.13)

Оба показателя могут принимать значения от 0 до 1: чем больше показатели в этих пределах, тем теснее взаимосвязь между изучаемыми признаками.

Пример: Есть 2 группы студентов. В 1-й группе занимаются студенты после окончания экономического колледжа, во 2-й группе – после школы. По результатам экзаменационной сессии сделать анализ. Данные для расчета представлены в табл. 3.8.

Таблица 3.8.

Расчет дисперсий

№ груп- -пы	Сред-ний балл xi	Число студен-тов ni	Среднее квадра- тическ. отклоне ние в группе σi	Групповая (част- ная) диспер- сия σi²	xi ni	σi² ni		(xi –)	(xi –)²	(xi –) ² ni
1	3,6	24	0,1	0,01	86,4		0,24	0,24	0,057	1,368
2	3,1	21	0,2	0,04	65,1		0,84	-0,26	0,0676	1,4196
		45			1151,5		1,08		0,1252	2,7876

Общий средний балл на курсе = (∑x_i n_i) : ∑ n_i = 151,5:45 = 3,36. Средняя из групповых (частных) дисперсий составит: =1,08:45=0,024. Межгрупповая дисперсия: δ²=2,7876:45=0,0619

Тогда общая дисперсия по правилу сложения дисперсий составит: σ_о² = 0,024 + 0,0619 = 0,0859. Следовательно, фактор, положенный в основу группировки, существенно влияет на средний балл студента. Коэффициент детерминации η²=0,0619:0,0859 =0,721- вариация оценок студентов на 72,1% зависит от вариации специальной экономической подготовки. Эмпирическое корреляционное отношение η=√0,721= 0,85 - по своей величине близко к единице, что свидетельствует о весьма тесной связи между оценками студентов и специальной экономической подготовкой.

В случае альтернативного признака единице совокупности присваивается значение 1, в случае отсутствия – 0. Весами в расчетах служат: р – доля единиц, обладающих данным признаком; q - доля единиц, не обладающих данным признаком; р+q=1, тогда средняя величина альтернативного признака равна:=р. Дисперсия:σ²=рq (3.14).

Пример. В студенческой группе из 28 человек трое имеют задолженности. Каковы средняя успеваемость группы и дисперсия успеваемости. Решение: Доля успевающих студентов равна:р=(28-3)/ 28 =0,89 или 89% - средняя успеваемость; дисперсия:σ²=0,89*0,11=0,098