7. Сведения из комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного конечного множества и размещения их в каком-либо порядке.

Чтобы пользоваться классическим определением вероятности нужно уметь подсчитывать общее число исходов эксперимента и число благоприятных исходов. Такой подсчет сводится к перебору вариантов. Раздел математики, в котором исследуются различные задачи на перебор, называется комбинаторикой.

Рассмотрим некоторые задачи на перебор.

Пусть имеется n различных элементов.

Перестановкой из n различных элементов х₁, х₂, … , х_n называют каждую последовательность этих элементов в каком-либо порядке.

Перестановки (от слова переставить) отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Например, 3, 1, 4, 2 и 4, 3, 1, 2 – две различные перестановки цифр 1, 2, 3, 4.

Число P_n всех перестановок данных n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. P_n=1·2·3·…·n. Такое произведение обозначают n! (читают “n факториал”). Полагают, что 0!=1!=1. Например, 6 волейболистов можно разместить на площадке 6!=1·2·3·4·5·6=720 способами. Справедлива формула: (n+1)!=n!(n+1)

Некоторые значения факториала:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!	1	2	6	24	120	720	5040	40320	362880	3628800

Последовательность, составленную в каком-либо определённом порядке из n возможных элементов по m (m ≤  n) выбранных, где ни один элемент не повторяется дважды называют размещением из n по m.

Задача о рассаживании. Из группы в n человек требуется рассадить за столом m человек (mn). Сколькими способами это можно сделать?

Пронумеруем m стульев. Тогда на первый стул можно усадить одного из n человек. Пусть первое место уже занято. Тогда на второе остается n-1 претендент. Каждая из n возможностей занять первое место сочетается с n-1 возможностью для второго. Т.о., существует n(n-1) вариантов рассаживания на первые два стула. Последний m-й стул может занять соответственно n-(m-1)=n-m+1 человек, всего получается n(n-1)(n-2)… (n-m+1) вариантов рассаживания. Искомое число вариантов рассаживания называется числом размещения из n по m и обозначается :

= n(n-1)(n-2)… (n-m+1), если n=m, то =n(n-1)(n-2)…2*1

Произведение n первых натуральных чисел называется «n-факториал» и обозначается n!. 0!=1.

.

Пример: , четырех человек можно рассадить по двое 12 способами.

Пример 7: Выбор 4 человек из числа 9 предложенных является размещением из 9 по 4. Таких размещений 3024.

Число размещений из n по m обозначается (читается «А из n по m»). Справедлива формула:

Пример 8: Число размещений из 9 по 4 равно =9·8·7·6=3024

Последовательность, составленную в произвольном порядке из n возможных элементов по m (m ≤  n) выбранных, где ни один элемент не повторяется дважды называют сочетанием из n по m.

Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами. Например, 1, 2, 3 и 2, 1, 3 составляют разные размещения, но одно и то же сочетание из четырёх по три, если исходная последовательность имеет вид: 1, 2, 3, 4.

Число сочетаний из n по m обозначается (читается “С из n по m”).

Задача о выборе. Сколькими способами можно выбрать m человек из группы в n человек ()?

Справедлива формула:

Пример 9: Число сочетаний из 15 по 11 равно

8