28. Алгебра высказываний как модель алгебры Буля, ее аксиоматическое задание. Принцип двойственности и теорема двойственности.
Алгебра высказываний как модель алгебры Буля, её аксиоматическое задание. Принцип двойственности и теорема двойственности.
Высказыванием называется законченное повествовательное предложение, для кото-рого можно сказать истинно оно или ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.
|
Высказывания | |
|
атомарные (неделимые) или элементарные, исходные |
сложные (составные) |
Из элементарных высказываний с помощью операций над высказываниями или логических связок строят сложные высказывания.
Операции над высказываниями:
1. Операция конъюнкции ( /\ ).
Конъюнкцией двух высказываний, А и В, называется новое высказывание, обозначаемое (A /\ B), которое истинно тогда и только тогда, когда высказывания A и B истинны одновременно, и ложно во всех остальных случаях. Конъюнкции соответствует логическая связка "и". Запись (A /\ B) читается: A и B; A конъюнкция B.
2. Операция дизъюнкции ( \/ ).
Дизъюнкцией двух высказываний, А и В, называется новое высказывание, обозначаемое (A \/ B), которое истинно только тогда, когда истинно, по крайней мере, одно из высказываний, A или B, и ложно в единственном случае, когда оба высказывания, А и В, ложны. Дизъюнкции соответствует связка "или". Запись (A \/ B) читается: A или B; A дизъюнкция B.
3. Операция следования или импликации ( → )
Импликацией (следованием) двух высказываний, А и В, называется новое высказывание, обозначаемое (A → B), которое ложно тогда и только тогда, когда A - истинно, а B - ложно, во всех остальных случаях высказывание (A→B) истинно.
В высказывании (A → B) A - называется посылкой или антецедентом, B - следствием или консеквентом.
Импликация (A → B) в разговорной речи имеет несколько разночтений: если A, то B;из A следует B;A влечет B;B следует из A;A достаточно для B;B необходимо для A.
4. Операция эквивалентности ( ↔ )
Эквивалентностью двух высказываний, A и B, называется новое высказывание, обозначаемое (A ↔ B), которое имеет значение ложь тогда и только тогда, когда A - истинно, а B - ложно или A - ложно, а B - истинно. А значение истина тогда и только тогда, когда одновременно оба высказывания, A и B, либо истинны, либо ложны.
Эквивалентность (A ↔ B) в разговорной речи имеет несколько разночтений: A необходимо и достаточно для B; A тогда и только тогда, когда B; A эквивалентно B; Aравносильно B; из A следует B , а из B следует A.
5. Операция отрицания ( ¬ )Отрицанием высказывания A называется новое высказывание, обозначаемое ¬A, которое истинно тогда и только тогда, когда ложно A, и ложно тогда и только тогда, когда A истинно.
Отрицанию соответствует логическая связка "не". Запись ¬A читается: не А; неверно, что А.
Таблица истинности основных операций
|
А |
B |
А /\ В |
А \/ В |
А→В |
А↔В |
¬A |
|
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
|
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
|
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
|
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Алгеброй Буля называется непустое множество, содержащее, по крайней мере, два элемента и замкнутое относительно 2-ух бинарных операций: /\ и \/, удовлетворяющих законам: коммутативности (1), ассоциативности (2), дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции (3), идемпотентности (4), сокращения (5), поглощения (6), противоречия для конъюнкции и исключения третьего для дизъюнкции (7), законам де Моргана (8) и закону двойного отрицания (9).
1. x + y = y + x
x * y = y * x
2. x + ( y + z ) = (x + y) + z
x * ( y * z ) = (x * y) * z
3. (x + y) * z = (x * z) + (y * z)
(x * y) + z = (x + z) * (y + z)
4. x * x = x
x + x =x
5. x * И = x
x + Л = x
6. x * Л = Л
x + И = И
_
7. x * x = Л
_
x + x = И
8. 
9. 
10. x * (y + x) = x
x + (y * x) = x
Алгебра высказываний <V; /\, \/, ¬> является примером алгебры Буля.
Алгебра высказываний <V; /\, \/, ¬> - это непустое множество, где заданы бинарные операции : «и», «или», «не», имеется хотя бы одна константа u Î V(множеству атомарных высказываний) и выполняются тождества (1-10).
Двойственность
Принцип двойственности впервые был высказан французом по фамилии Понселе.
Формулы α и α* называются двойственными, если одна из них получается из другой заменой констант "И" и "Л" на двойственные им константы "Л" и "И" соответственно, и каждой операции /\ на двойственную ей операцию \/ , а \/ - на операцию /\.
|
двойственные формулы | |
|
α |
α* |
|
(X \/ Y) /\ Z |
(X /\ Y) \/ Z |
Теорема 1.Если α(X1, X2, ..., Xn) и α*(X1, X2, ..., Xn) двойственные формулы, то отрицание формулы α(X1, X2, ..., Xn) равносильно формуле, полученной из α*( X1, X2, ..., Xn) с помощью замены всех переменных на их отрицание, т.е. ¬α(X1, X2, ..., Xn) ≡ α*(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn).
Теорема двойственности (закон двойственности) (Теорема 2)
Если формулы β(X1, X2, ..., Xn).и α(X1, X2, ..., Xn) равносильны, то двойственные им формулы β*( X1, X2, ..., Xn).и α*( X1, X2, ..., Xn) тоже равносильны.
β(X1, X2, ..., Xn). ≡ α(X1, X2, ..., Xn)
β*(X1, X2, ..., Xn). ≡ α*( X1, X2, ..., Xn)
Доказательство.
По условию доказываемой теоремы:
β(X1, X2, ..., Xn). ≡ α(X1, X2, ..., Xn) (1).
По условию теоремы 1: β*(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn) ≡ ¬β(X1, X2, ..., Xn), откуда
β*(¬(¬X1), ¬(¬X2), ..., ¬(¬Xn)) ≡ ¬β(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn), следовательно
β*(X1, X2, ..., Xn) ≡ ¬β(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn) (2).
Аналогично, α*(X1, X2, ..., Xn) ≡ ¬α(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn) (3).
Из (1) следует, что ¬β(X1, X2, ..., Xn). ≡ ¬α(X1, X2, ..., Xn), откуда
¬β(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn). ≡ ¬α(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn) (4). По свойству равносильности [β*(X1, X2, ..., Xn) и α*(X1, X2, ..., Xn) равносильны соответственно выражениям ¬β(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn).и ¬α(¬X1, ¬X2, ..., ¬Xn), которые являются равносильными] β*(x1, x2, ..., xn). ≡ α*(x1, x2, ..., xn), что и требовалось доказать.
Закон двойственности "наполовину уменьшает работу математикам": если уже доказана некоторая равносильность, то справедливость другой, полученной из первой двойственными преобразованиями, уже не нужно доказывать, она будет выполняться.