48. Понятие математического моделирования.

Этапы и цели математического моделирования. Различные подходы к классификации математических моделей. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Дескриптивные, оптимизационные, многокритериальные, игровые модели. Системный подход в научных исследованиях. Численный эксперимент. Достоверность численной модели. Анализ и интерпретация модели

Математические модели и их классификация.

Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта.

Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами  действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.   

Математическое моделирование - метод качественного и (или) количественного описания процесса  с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс  или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.

Классификация математических моделей.

Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых положены различные подходы. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные модели. Наряду с такой широко распространенной классификацией математических моделей существуют и другие.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. В ней можно выделить следующие их разновидности.

Математические модели с сосредоточенными параметрами.

Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные -  концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

Математические модели с распределенными параметрами.

Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

Математические модели, основанные на экстремальных принципах.

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль.

Основной принцип классификации математических моделей

В качестве основного принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:

   физические процессы;

   технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект;

   жизненные процессы (биология, физиология, медицина);

   большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические);

   гуманитарные науки (языкознание, искусство).

(Области применения указаны в порядке, соответствующем убыванию уровня адекватности моделей).

Виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

 

 Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

• дескриптивные  (описательные)  модели;

• оптимизационные модели;

• многокритериальные модели;

• игровые модели.

Поясним это на примерах.

Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики — теория игр, — изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

Численный эксперимент выясняет, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на компьютере, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. По сравнению с натурным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества: • экономичность (сбережение ресурсов реальной системы); • возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализованных в натуре объектов; • возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых в натуре (критический режим ядерного реактора, работа системы противоракетной обороны); • возможность изменения масштаба времени; • легкость многоаспектного анализа; • большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей; • универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы.

Достоверность численной модели.

Поиск новых средств доказательства достоверности численных результатов представляет собой насущную проблему при разработке современных вычислительных технологий. Один из наиболее перспективных подходов заключается в применении методов интервальной математики, которые позволяют получить численное решение в виде интервала с гарантированными границами. В настоящее время в этой области достигнут значительный успех, для многих сложных задач получены численные решения. При этом сама процедура вычислительного процесса одновременно является доказательством существования (и даже единственности) решения.

Трудности прямого применения таких методов в ряде случаев заключаются в том, что интервал неопределенности исходных данных слишком широк и, как следствие, результат имеет весьма большую погрешность. В частности, такая ситуация возникает при учете возможности ошибок программирования при решении нелинейных задач математической физики, поскольку это решение связано с разработкой сложных программ при отсутствии аналитических отладочных примеров.

50. Моделирование стохастических систем. Общие и частные стохастические методы. Моделирование последовательностей независимых и зависимых случайных испытаний. Общий алгоритм моделирования дискретной случайной величины.  Генераторы случайных чисел. Общий алгоритм моделирования дискретной случайной величины.

Например, нельзя указать точное число молекул воздуха в его 1 см , имеющих данную (фиксированную) скорость. Можно говорить лишь о вероятности обнаружения молекул со значениями скоростей из некоторого интервала или о математическом ожидании числа таких молекул. Это пример стохастической системы. Стохастические модели -- это модели стохастических систем, в которых предсказываемые значения зависят от распределения вероятностей. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ - математическая модель процесса, учитывающая факторы случайной природы. Также носит название «вероятностная» модель. Модель, которая в отличие от детерминированной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значений, на ее выходе могут получаться различающиеся между собой результаты в зависимости от действия случайного фактора. Моделирование последовательностей независимых и зависимых случайных испытаний. Пусть имеются случайные числа xi, т.е. возможные значения случайной величины x, равномерно распределённой в интервале {0,1}. Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью Р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi удовлетворяет неравенству: xi £Р (1) Тогда вероятность события А будет : . Противоположное событию А состоит в том, что xi¬>р. Тогда . Процедура моделирования состоит в этом случае в выборе значений xi и сравнение их с р. При этом, если условие (1) удовлетворяется, то исходом испытания будет событие А. Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть А1, А2…Аn — полная группа событий, наступающая с вероятностями Р1, Р2, … Рn соответственно. Определим Аm как событие, состоящее, в ом, что выбранное значение xi случайной величины x удовлетворяет неравенству: lm-1¬<xi<="" p=""></xi