3. Рекуррентные соотношения. Способы решения рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи.

Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов (одного, двух) решение задачи легко находится.

Количество разбиений числа на слагаемые

Количество разбиений числа на слагаемые удовлетворяют рекуррентному соотношению:

, где t > 0,

,

, где первый параметр - это число, которое мы разбиваем, а второй - это максимальное слагаемое в разбиении.

Количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств.

Оно выражается числами Стирлинга второго рода, которые удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

, для n ≥ 0,

, для n > 0,

для 0 < k < n.

   Решением рекуррентного соотношения называется любая последовательность, для которой данное соотношение выполнено тождественно.

Пример.

Последовательность 2, 4, 8, …, 2n является решением для соотношения

f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n).

Доказательство:

Общий член последовательности имеет вид f(n)=2ⁿ. Значит, f(n+2)= 2ⁿ⁺², f(n+1)= 2ⁿ⁺¹. При любом n имеет место тождество 2ⁿ⁺²=3∙2ⁿ⁺¹ – 2∙2ⁿ. Следовательно, при подстановке последовательности 2ⁿ в формулу f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n) соотношение выполняется тождественно. Значит, 2ⁿ является решением указанного соотношения.

Решение рекуррентного соотношения k-го порядка называется общим, если оно зависит от k произвольных постоянных α₁, α ₂, … α _k и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного соотношения.

Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами

Для решения рекуррентных соотношений общих правил нет, но существует часто встречающийся класс рекуррентных соотношений, для которых известен алгоритм их решения. Это – линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, т.е. соотношения вида:

f(n+k)=c₁f(n+k-1)+c₂f(n+k-2)+…+c_kf(n).

Найдем решение общего линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами первого порядка.

Линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами первого порядка имеет вид: f(n+1)=c f(n).

Пусть f(1)=а, тогда f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c²∙a, аналогично f(4)=c³∙a и так далее, заметим, что f(n)=c^n-1∙f(1).

Докажем, что последовательность c^n-1∙f(1) является решением рекуррентного соотношения первого порядка. f(n)=c^n-1∙f(1), значит, f(n+1)=cⁿ f(1). Подставляя это выражение в соотношение, получим тождество cⁿ f(1)=с∙ c^n-1∙f(1).

Рассмотрим теперь подробнее линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами второго порядка, то есть соотношения вида

f(n+2)=C₁∙f(n+1)+C₂∙f(n). (*).

Заметим, что все рассуждения сохраняются и для соотношений более высокого порядка.

Свойства решений:

1. Если последовательность x_n является решением (*), то и последовательность ∙x_n тоже является решением.

Доказательство.

x_n является решением (*), следовательно, выполняется тождество x_n+2=C₁x_n+1+C₂x_n. Домножим обе части равенства на . Получим ∙x_n+2 =∙(С₁∙x_n+1+С₂∙x_n )= С₁∙∙x_n+1+С₂∙∙x_n . Это означает, что x_n является решением (*).

2. Если последовательности x_n и y_n являются решениями (*), то и последовательность x_n+y_n тоже является решением.

Доказательство.

x_n и y_n являются решениями, следовательно, выполняются следующие тождества:

x_n+2=C₁x_n+1+C₂x_n.

y_n+2=C₁y_n+1+C₂y_n.

Выполним почленное сложение двух равенств:

x_n+2+y_n+2=С₁∙x_n+1+С₂∙x_n + С₁∙y_n+1+С₂∙y_n= С₁∙(x_n+1+ y_n+1)+С₂∙(x_n +y_n). Это означает, что x_n+y_n является решением (*).

3. Если r₁ является решением квадратного уравнения r²=С₁r+С₂, то последовательность (r₁)ⁿ является решением для соотношения (*).

r₁ является решением квадратного уравнения r²=С₁r+С₂, значит, (r₁)²=C₁ r₁+C₂. Помножим обе части равенства на (r₁) ⁿ. Получим

r₁ ² r₁ ⁿ=(С₁ r₁+С₂) rⁿ.

r₁ ⁿ⁺² =С₁ r₁ ⁿ⁺¹+С₂ r₁ ⁿ.

Это означает, что последовательность (r₁)ⁿ является решением (*).

Из этих свойств вытекает способ решения линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами второго порядка:

1. Составим характеристическое (квадратное) уравнение r²=С₁ r+С₂. Найдём его корни r_1, r_2. Если корни различны, то общее решение имеет вид f(n)= r₁ⁿ+βr₂ⁿ.

2. Найдём коэффициенты  и β. Пусть f(0)=a, f(1)=b. Система уравнений

 + β =а

∙r₁ + β∙r₂=b

имеет решение при любых а и b. Этими решениями являются

=(b-a∙r₂)/(r₁-r₂).

β =(a∙r₁-b)/(r₁-r₂).

Числа Фибоначчи

Это классический пример, который приводят почти везде, где речь идет о решении рекуррентных соотношений. Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:

Это хорошо известная последовательность, каждый элемент которой (кроме нулевого и первого) равен сумме двух предыдущих:

Эти числа очень быстро растут, например, f₁₀=55, f₂₀=6765, f₃₀=832040, f₁₀₀=354224848179261915075.