2. Метод производящих функций. Бином Ньютона. Основные тождества с биномиальными коэффициентами.

Производящие функции.

Пусть есть последовательность комбинаторных чисел и последовательность функций . Рассмотрим формальный ряд:

называется производящей функцией (для заданной последовательности ком­бинаторных чисел , относительно заданной последовательности функций )

Обычно используют или

Пример

Из формулы бинома Ньютона при у:=1 имеем:

Таким образом, является производящей функцией для биномиальных коэффициентов.

Свойства производящих функций.

1)(Экспоненциальная) производящая функция суммы (или разности) двух последовательностей равна сумме (или разности) соответствующих (экспоненциальных) производящих функций.

2) Если и – производящие функции последовательностей и , то , где

3) Если и – экспотенциальные производящие функции последовательностей и , то , где

Правила и формулы комбинаторики часто используют при решении различных задач математики. Комбинаторные доказательства отличаются простотой и особой изысканностью. Рассмотрим применение комбинаторики к доказательству формулы бинома Ньютона.

Биномом Ньютона называют формулу для вычисления выражения (а+b)ⁿ для натуральных n.

Теорема

Доказательство.

Данную формулу можно доказать методом математической индукции. Ниже представлено комбинаторное доказательство.

Запишем (a+b)ⁿ в виде произведения (a+b)ⁿ=(a+b)  (a+b)  … (a+b).

Раскроем скобки в правой части этого равенства и запишем все слагаемые в виде произведения n сомножителей а и b в том порядке, в котором они появляются.

Например, (a+b)² запишется в виде (a+b)²=(a+b)  (a+b)=aa+ab+ba+bb, а (a+b)³– в виде (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb.

Видно, что в обе формулы входят все размещения с повторениями, составленные из букв а и b по две (три) буквы в каждом.

В общем случае – после раскрытия скобок получим всевозможные размещения с повторениями букв а и b, состоящие из n элементов. Используя коммутативность, приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв а (тогда и букв b в них будет одинаковое количество). Членов, в которые входит k букв a и, следовательно, (n–k) букв b ровно Р(k, n–k)=. Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение a^kb^n-k войдет с коэффициентом , поэтому формула примет вид: .

Числа называют биномиальными коэффициентами.

С помощью бинома Ньютона легко доказать свойства биномиальных коэффициентов (чисел ).

Свойства биномиальных коэффициентов.

Симметричность биномиальных коэффициентов =

Это свойство следует из тождества (a+b)ⁿ=(b+a)ⁿ. Разложим обе части равенства по биному Ньютона и рассмотрим коэффициенты при a^kb^n-k. Справа коэффициент равен, а слева .

Основное свойство биномиальных коэффициентов

Если в формуле бинома Ньютона положить а=1, b=х то получим,

(1+x)ⁿ=.

Если положить n равным n-1 то верно равенство

(1+x)^n-1=.

Умножим обе части этого равенства на (1+х), получим

(1+x)ⁿ=.

Выражение в левой части равенства снова разложим по формуле бинома Ньютона. Рассмотрим коэффициент при х^k. Слева он будет равен . В правой части член содержащий х^k появится дважды: при умножении на 1 и при умножении на х. Поэтому коэффициент в правой части при х^k имеет вид . Слева и справа стоит один и тот же многочлен, поэтому коэффициенты при х^k слева и справа должны быть одинаковыми. Поэтому .

Сумма биномиальных коэффициентов

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, в которой положим а=1 и b=1. Тогда .

Знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов

.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона в которой положим а=1 и b=-1.

Сумма квадратов биномиальных коэффициентов

.

Как и при доказательстве основного свойства, используем равенство

(1+x)ⁿ=.

Умножим обе части этого равенства на (1+х)ⁿ:

(1+x)²ⁿ=.

Выражение в левой части равенства снова разложим по формуле бинома Ньютона. Рассмотрим коэффициент при хⁿ. Слева он будет равен . В правой части член, содержащий хⁿ, появится n раз: при умножении на , при умножении на , и так далее. Используем свойство симметричности биномиальных коэффициентов, получим коэффициент при хⁿ в правой части равенства:

.

Так как слева и справа стоит один и тот же многочлен, то коэффициенты при хⁿ слева и справа должны быть одинаковыми. Поэтому .

Биномиальные коэффициенты, упорядоченные специальным образом, образуют треугольник Паскаля.

Строится этот замечательный треугольник очень просто:

По краям треугольника ставятся единицы, а любое число, стоящее не с краю, вычисляется как сумма двух чисел, расположенных сверху слева и сверху справа от него. Например, 10=4+6, или 3=1+2. Итак, речь зашла о треугольнике Паскаля в связи с тем, что он как раз образован биномиальными коэффициентами:

Для наших целей (и для удобства) лучше записывать треугольник, выравнивая его по левому краю:

Нули появляются за счёт нуля в числителе (когда k>n). Заметьте, что в нулевом столбце ставятся единицы, так как