Дискретная математика

1. Основные комбинаторные объекты и числа.

2. Метод производящих функций. Бином Ньютона. Основные тождества с биномиальными коэффициентами.

3. Рекуррентные соотношения. Способы решения рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи.

4. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связные графы. Деревья. Представление графа на ЭВМ (динамические структуры данных, стеки, очереди, двоичные деревья)

1. Основные комбинаторные объекты и числа.

Комбинаторные объекты — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Примеры комбинаторных объектов

1) Битовые вектора — последовательность нулей и единиц заданной длины.

2) Перестановки — это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора.

3) Сочетания из n по k — это набор k элементов, выбранных из данных n элементов.

4) Размещение из n по k — это упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

5) Разбиение числа на слагаемые.

6) Все возможные подмножества заданного множества.

7) Разбиение множества на подмножества такие, что в объединении они дают исходное множество, но при этом ни одно из них не пересекается с любым другим.

Размещениями с повторениями из n элементов по k называются всевозможные комбинации по k элементов, составленные из элементов данных n видов. При этом в комбинацию могут входить и предметы одного вида, а две комбинации считаются различными, если они отличаются друг от друга или видом входящих в них элементов, или порядком этих элементов.

Количество размещений с повторениями обозначается и равно n^k.

Размещениями без повторений из n элементов по k называются всевозможные комбинации по k элементов, составленные из элементов данных n видов. При этом две комбинации считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.

Количество размещений без повторений обозначают . Общее правило вычисления количества размещений:

=n(n – 1)…(n – k+1)=.

Перестановками из n элементов называют всевозможные комбинации из n элементов, каждая из которых содержит все элементы по одному разу. Комбинации отличаются друг от друга лишь порядком элементов.

Число n-перестановок обозначают через Р_n. Общее правило вычисления количества перестановок:

Р_n=Аⁿ_n=n (n-1)  (n-2) ...21=n!

Перестановками с повторениями из n₁ элементов первого типа, n₂ элементов второго типа, ... , n_k элементов k-го типа называются всевозможные комбинации из этих элементов, каждая из которых содержит n_i элементов i-го вида. Комбинации отличаются друг от друга лишь порядком элементов.

Число перестановок с повторениями обозначают через Р(n₁, n₂, ..., n_k). Общее правило вычисления количества перестановок с повторениями:

Р(n₁, n₂, ..., n_k)=. .

Сочетаниями из n элементов по k называют всевозможные комбинации по k элементов, составленные из данных n элементов. Комбинации отличаются друг от друга составом, но не порядком элементов.

Количество сочетаний из n элементов по k обозначают .

Формула для вычисления числа сочетаний получается из формулы для вычисления количества размещений. Составим сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все k-размещения из n элементов, причем каждое только по одному разу. Элементы каждого k-сочетания можно переставить k! способами, а число этих сочетаний равно . Значит, справедлива формула . Получаем

Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называют всевозможные комбинации, составленные из элементов n видов по k элементов в каждой. Комбинации считаются различными, если они отличаются составом, но не порядком входящих в них элементов. В комбинацию могут входить элементы одного вида.

Количество сочетаний с повторениями из n элементов по k обозначают . Общее правило вычисления количества сочетаний с повторениями: