2. Точки экстремума функции и их отыскание

А

Рисунок 3

теперь взгляните на рис. 3, где изображен график другой функции. Не правда ли, он похож на предыдущий гра­фик? На нем те же две уникальные точки, но одна из указанных выше трех особенно­стей этих точек изменилась: теперь каса­тельные к графику в этих точках не парал­лельны осих.В точкех=-1 касательная вообще не существует, а в точкех=0 она перпендикулярна осих(точнее, она совпа­дает с осью у).

Дальнейший ход рассуждений вам уже известен: если появляется новая математи­ческая модель или новая особенность математической модели, ее надо специально изучить, т. е. ввести новый термин, новые обозначения, сформулировать новые свойства.

Определение 1.Точкуназывают точкой минимума функции, если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки)выполня­ется неравенство.

Определение 2.Точкуназывают точкой максимума функции ,если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, (кроме самой точки),выполня­ется неравенство.

Значение функции в точке максимума обычно обозначают . Не путайте это значение (наибольшее, но в локальном смысле) с, т. е. с наибольшим значением функции во всей рассматриваемой области определения (в глобальном смысле).

Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином — точки экстремума(от латинского словаextremum — «крайний»).

Теорема 4. Если функция имеет экстремум в точке, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Для удобства условимся внутренние точки области определе­ния функции, в которых производная функции равна нулю, на­зывать стационарными, а внутренние точки области определе­ния функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.

Т.о., теорема 4, говорит о том, если в точке функция имеет экстремум, то—стационарная или критиче­ская точка функции. Возникает есте­ственный вопрос: верна ли обратная те­орема, т.е.верно ли, что если— стационарная или критическая точка, то в этой точке функция имеет экстре­мум? Отвечаем: нет, неверно. Посмо­трите на рис. 4, где изображен график возрастающей функ­ции, не имеющей точек экстремума. У этой функции есть ста­ционарная точках = ,в которой производная обращается в нуль (в этой точке график функции имеет касательную, парал­лельную осих),но это не точка экстремума, аточка перегиба,и есть критическая точках = х,в которой производная не суще­ствует, но это также не точка экстремума, аточка излома гра­фика.Поэтому скажем так: теорема 4 дает тольконеобходимое условие экстремума(справедлива прямая теорема), но оно не являетсядостаточным условием(обратная теорема не выпол­няется).

Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку . Тогда:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в ко­торой при выполняется неравенство , а при — неравенство, то — точка минимума функции ;

б) если у этой точки существует такая окрестность, в ко­торой при выполняется неравенство, а при— неравенство , то- точка максимума функции ;

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки знаки производной одинако­вы, то в точке экстремума нет.

Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы:

1. Найти производную .

2. Найти стационарные и критические точки.

3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Опираясь на рассмотренные теоремы, сделать вывод о монотонности функции и о ее точках экстремума.

Заметим, что если функция имеет вид , то полюсы функции, т.е. точки, в которых знаменательобращается в ноль, тоже отмечают на числовой прямой, причем делают это до определения знаков производной. Но разумеется полюсы не могут быть точками экстремума.