2.4. Девятая проблему Гильберта о диофантовых уравнениях.

Деся́тая пробле́ма Ги́льберта-одна из 23-х задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода целочисленного решения произвольного алгебраического диофан-това уравнения. Доказательство ал-горитмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах.

Существование перечислимого, неразрешимого множества. Разрешимые множества

Множество натуральных чисел X называется разрешимым, если существует алгоритм, который по любому натуральному n определяет, принадлежит ли оно множеству X.

Другими словами, X разрешимо, если его характеристическая функция χ(n) = (if n X then 1 else 0 fi) вычислима.

Очевидно, пересечение, объединение и разность разрешимых множеств разрешимы. Любое конечное множество разрешимо.

Перечислимые множества:

Множество натуральных чисел называется перечислимым, если оно перечисляется некоторым алгоритмом, то есть если существует алгоритм, который печатает (в произвольном порядке и с произвольными промежутками времени) все элементы этого множества и только их.

Такой алгоритм не имеет входа; напечатав несколько чисел, он может надолго задуматься и следующее число напечатать после большого перерыва (а может вообще больше никогда ничего не напечатать тогда множество будет конечным).

Та.3.Основные меры сложности вычисления

3.1.Временная и емкостная сложность.

Количественная характеристика потребляемых ресурсов, необходимых программе или алгоритму для работы (успешного решения зада-чи) — это и есть сложность алгоритма.

Основные ресурсы: время (временная сложность) и объем памяти (ёмкостная сложность). Наиболее важной (критической) характеристикой является время.

Временная сложность алгоритма (в худшем случае)-это функция раз-мера входных и выходных данных, равная максимальному количеству элементарных операций, проделываемых алгоритмом для решения экземпляра задачи указанного размера. В задачах, где размер выхода не превосходит или пропорционален размеру входа, можно рассматривать временную сложность как функцию размера только входных данных.

Аналогично понятию временной сложности в худшем случае определяется понятие временная сложность алгоритма в наилучшем слу-чае. Также рассматривают понятие среднее время работы алгоритма, то есть математическое ожидание вре-мени работы алгоритма. Иногда го-ворят просто: «Временная сложность алгоритма» или «Время рабо-ты алгоритма», имея в виду временную сложность алгоритма в худшем, наилучшем или среднем случае (в зависимости от контекста).

Емкостная сложность алгоритма определяется числом ячеек памяти, используемых в процессе его исполнения. Эта величина не может превосходить числа действий п, ум-но­женного на определенную константу (число ячеек, исполь­зуемых в данной модели на одном шаге). В свою очередь число шагов может сколь угодно сильно превосходить объем памяти (за счет циклов по одним и тем же ячейкам). Следу­ет отметить, что проблемы памяти технически преодолева­ются легче, чем проблемы быстродействия, которое имеет физический предел -скорость распространения физических сигналов. Поэтому трудоемкость (временная сложность) считается более существенной характеристикой алгоритма.