2.4 Дифференцирующие - цепи

Простейшая дифференцирующая -цепь образуется из интегрирующей заменой конденсатора на резистор (рис. 1.28).

Рис. 1.28 Простейшая дифференцирующая -цепь

Напряжение на выходе цепи будет определяться падением напряжения на резисторе :. Зависимостьбыла приведена на рис. 1.17. Следовательно, напряжение на выходе будет иметь вид, представленный на рис. 1.29 (окончание импульса входного напряжения означает отрицательный скачок напряжения). Цепь называется дифференцирующей, поскольку ток через конденсатор можно определить как производную от приложенного напряжения.

Рис. 1.29 Сигналы на входе и выходе дифференцирующей -цепи

Действительно, как было показано, , отсюда. Поскольку:

, то .

Как и в случае с интегрирующей цепочкой, можно считать, что дифференцирование входного напряжения происходит лишь в первый момент входного импульса.

Изменение напряжения на выходе дифференцирующей -цепочки можно определить, зная изменение напряжения на выходе интегрирующей-цепи, т.к.и. Действительно, вычитая из(рис.1.19а) напряжение(рис.1.19в), получаем. Таким же образом можно поступить, если нужно рассчитать более сложные дифференцирующие цепи.

3. Вопросы для подготовки

1) Что такое э.д.с. источника электрической энергии?

2) Какие бывают источники э.д.с.?

3) Что такое резистор?

4) Сформулируйте закон Ома?

5) Чем определяется сопротивление электрических проводов?

6) Чему равно сопротивление двух последовательно включённых резисторов?

7) Чему равно сопротивление двух параллельно включённых резисторов?

8) Сформулируйте первый и второй закон Кирхгофа.

9) В чём состоит различие между источниками напряжения и тока?

10) Как преобразовать источник напряжения в источник тока и обратно?

11) Что такое линейная электрическая цепь?

12) В чём состоит принцип наложений (суперпозиций)?

13) Как можно использовать принцип наложений для расчёта электрических цепей?

14) Какой компонент электрической цепи называется конденсатором?

15) Что такое ёмкость конденсатора?

16) Чем определяется заряд, накапливаемый в конденсаторе?

17) Что такое катушка индуктивности?

18) Что такое RC-цепь?

19) В каком случае конденсатор, включённый в цепь с источником постоянного напряжения, препятствует электрическому току, а в каком нет?

20) Как определить изменение во времени напряжения на конденсаторе, если известен закон изменения во времени тока, заряжающего или разряжающего конденсатор?

21) Запишите закон изменения тока во времени для простейшей RC-цепи при замыкании ключа.

22) По какому закону происходит заряд конденсатора, осуществляемый от источника постоянного напряжения через резистор?

23) Может ли напряжение на конденсаторе измениться мгновенно? Почему?

24) Как рассчитываются переходные процессы в RC - цепях при воздействии прямоугольного импульса?

25) Как зарядятся два последовательно соединенных конденсатора, присоединенных к источнику постоянного напряжения?

26) Может ли какое-либо напряжение в цепи, содержащей конденсатор, изменится мгновенно?

4. Задания

1) Нарисуйте зависимость напряжения U_ВЫХ после замыкания и размыкания ключей в следующих схемах (считать, что ключи в исходном состоянии были бесконечно долго):

2) Нарисуйте выходные импульсы, которые получатся при подаче прямоугольных импульсов на вход следующих RC– цепочек:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2

СИНУСОИДАЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ

RC-ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

1. Цель занятия

Целью занятия является изучение схем переменного тока с применением только пассивных элементов.

2. Краткие теоретические сведения

2.1 RC-цепи при синусоидальном сигнале

Рассмотрим характер процессов, происходящих в металлических проводниках, при приложении к ним синусоидального источника э.д.с. Отметим, прежде всего, что при отсутствии э.д.с. электроны, находящиеся на внешней оболочке и слабо связанные с атомами, при комнатной температуре хаотически и с большими скоростями двигаются в различных направлениях, периодически сталкиваясь с ионизированными атомами. Усреднённый по времени суммарный вектор скоростей движения электронов равен 0. При приложении э.д.с. появляется усреднённый по времени суммарный вектор скоростей электронов, направленный от – к + источника э.д.с., т.е. возникнет дрейф электронов в одном направлении. При постоянной э.д.с. этот усреднённый по времени вектор не изменяет амплитуду и направление.

При приложении к проводникам синусоидального э.д.с. усреднённый вектор скоростей будет изменяться по синусоидальному закону. Если в рассматриваемом металлическом проводнике возникнет разрыв, то электроны не смогут двигаться в направлении действия э.д.с. и ток прекратиться. Но если в место разрыва мы включим конденсатор, то ток в цепи не прекратиться, т.к. конденсатор способен на одной пластине накапливать электроны, а затем освобождаться от них, отдавая их во внешнюю цепь.

Рассмотрим действие конденсатора, если к его клеммам подключён идеальный источник синусоидального тока (рис. 2.1). Поскольку направление тока в источнике периодически изменяется на противоположное, конденсатор относительно общей шины будет заряжаться то до положительного напряжения, то до отрицательного. Очевидно, что при положительной полуволне синусоидального тока конденсатор от некоего отрицательного напряжения будет перезаряжаться до положительного. Рост положительного напряжения закончится, когда ток уменьшится до нуля. Этот момент будет соответствовать максимуму положительного напряжения, т.е. при синусоидальном токе напряжение будет отставать от тока на 90^о. После этого начнётся период убывания напряжения.

Рис. 2.1 Конденсатор, заряжаемый и разряжаемый источником

синусоидального тока

Нетрудно доказать высказанные соображения. Действительно, поскольку , а, получаем:

.

(2.1)

Из полученного выражения можно сделать вывод: синусоидальный ток, протекающий через конденсатор, вызывает на нём синусоидальное напряжение, отстающее от тока на 90^о (рис. 2.2).

Рис. 2.2 Синусоидальные токи и напряжения в конденсаторе

В теории электрических цепей используют символический метод, при котором вводят комплексный ток İ следующим образом:

. Отсюда с учётом (2.1) получаем напряжение на конденсаторе:

.

Поскольку получаем окончательно:

.

(2.2)

Введём понятие комплексного сопротивления конденсатора Z_С. Используя закон Ома для схемы, приведённой на рис. 2.1,а, применив его к синусоидальным токам и напряжениям, запишем:

.

(2.3)

Сравнивая приведённое выражение с (2.2), можно установить, что . Эта формула является ключевой при анализе цепей, содержащих источники э.д.с. и тока синусоидальной формы.

В случае, если входной генератор – источник синусоидального напряжения, схема простейшей интегрирующей-цепи будет выглядеть так, как показано на рис. 2.3. Для нахождения частотных характеристик цепи воспользуемся символическим методом и определим коэффициент передачи цепи_.

Рис. 2.3 Схема простейшей интегрирующей -цепи

с синусоидальным источником э.д.с.

По второму закону Кирхгофа сумма э.д.с. в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений на участках цепи. Отсюда:

, ,

, (2.4)

где – постоянная времени- цепи.

Из полученного выражения (4) можно получить формулы для расчета амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик.

Для построения АЧХ необходимо найти модуль . Из (2.4) получаем:

.

(2.5)

Из условия определяем значение верхней граничной частоты, при котором модуль коэффициента усиления уменьшается по сравнению с коэффициентом передачи привраз:

и .

На рис. 2.4 приведен вид АЧХ интегрирующей RC-цепочки. При построении учитывалось, что , т.е..

Для построения ФЧХ умножим числитель и знаменатель передаточной функции (2.4) на комплексно-сопряженную величину. Получим:

.

(2.6)

Из (2.6) следует: . Вид ФЧХ приведён на рис. 2.4,б.

Необходимо отметить, что на верхней граничной частоте сдвиг по фазе между выходным сигналом и сигналом генератора составляет 45.

Рис. 2.4 АЧХ (а) и ФЧХ (б) интегрирующей -цепи (рис. 2.3)

Как уже подчёркивалось, дифференцирующая -цепь (рис.2.5) отличается от интегрирующей тем, что выходной сигнал снимается с резистора. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики получаются из выражения для коэффициента передачи; который можно получить аналогично коэффициенту передачи для интегрирующей цепи:

,

где – постоянная времени дифференцирующей цепи.

Рис. 2.5 Простейшая дифференцирующая -цепь

с синусоидальным источником сигнала

Тогда АЧХ (рис. 2.6,а) определяется из выражения , а ФЧХ (рис. 2.6,б): . При этом формула для нижней граничной частоты пропускания аналогична формуле для верхней граничной частоты интегрирующей- цепи:

.

Рис. 2.6 АЧХ (а) и ФЧХ (б) дифференцирующей -цепи (рис. 2.5)

Опыт расчёта простейших интегрирующих и дифференцирующих -цепей может быть использован и для расчёта более сложных цепочек. Для примера рассчитаем интегрирующую-цепочку, схема которой приведена на рис. 2.7,а.

Рис. 2.7 Схема интегрирующей -цепочки –а;

её эквивалентная схема – б.

На рис. 2.7,б приведена эквивалентная схема цепи, в которой параллельное сопротивление резистора и конденсаторазаменено на эквивалентное комплексное сопротивление. Как было показано ранее сопротивление двух параллельно включённых резисторовиравно:. Отсюда для получениянеобходимо заменитьна, ана. В результате замены получим. Коэффициент передачи напряжения делителя, состоящего из двух сопротивленийR₁ и R₂, равен . ЗаменяяR₂ на Z₂, получим:

,

(2.7)

где .

Сравнивая выражение коэффициента передачи для простейшей интегрирующей цепи (4) и полученное (7), заметим, что они отличаются лишь коэффициентом передачи на нулевой частоте и постоянной времени. АЧХ и ФЧХ цепи приведены на рис. 2.8.

Рис. 2.8 АЧХ и ФЧХ цепи, приведённой на рис. 2.7

Аналогично можно получить и комплексный коэффициент передачи интегрирующей -цепи, приведённой на рис. 2.9.

Рис. 2.9 Схема интегрирующей -цепочки с резистором,

включённым последовательно с конденсатором

В этом случае определяется последовательным включением резистораи конденсатора С.

Подставляя в коэффициент передачи резистивного делителя вместо, получаем:

.

(2.8)

АЧХ и ФЧХ такой интегрирующей -цепочки будут отличаться от АЧХ и ФЧХ простейшей интегрирующей-цепи. Для построения АЧХ найдём модуль. Чтобы упростить сейчас и при дальнейших расчётах процедуру нахождения модуля комплексного выражения, имеющего вид, убедимся, что. Действительно, умножая знаменатель и числитель выражения для на комплексно-сопряжённую величину знаменателя, получаем:

.

Отсюда:

,

что и требовалось доказать.

Учитывая результаты приведённого доказательства, получаем:

.

Полученное выражение позволяет достаточно просто построить АЧХ цепи. Для этого положим, что в первом случае , а во втором. Отсюда,. Верхнюю граничную частоту схемы можно определить из условия. Отсюда. Приверхняя граничная частота становится равной, т.к. коэффициент передачи при= становится равным . Приверхняя граничная частота в схеме будет отсутствовать, т.к. коэффициент передачи будет всегда больше.

АЧХ цепи для случая приведена на рис. 2.10,а.

Для нахождения ФЧХ цепи домножим числитель и знаменатель выражения (2.8) на комплексно-сопряжённую величину знаменателя. Получим:

.

Отсюда:

.

(2.9)

Заметим, что при ,и при,. Нетрудно доказать, чтоимеет минимум при,, причём прибудет, а прибудет.

Рис. 2.10 АЧХ (а) и ФЧХ (б) схемы, приведённой на рис. 2.9

В зависимости от соотношения иминимумполучается разной величины. Например, при:, при:, при:, при:. Примерный вид ФЧХ приведён на

рис. 2.10,б.

Аналогично можно рассчитывать АЧХ и ФЧХ дифференцирующих цепей. Например, для схемы, приведённой на рис. 2.11, получаем коэффициент передачи:

.

Модуль коэффициента передачи:

.

Умножив числитель и знаменатель на множитель (R₁+R₂), получим:

.

(2.10)

Рис. 2.11 Схема дифференцирующей -цепи с дополнительным

резистором, включённым последовательно с конденсатором

Сравнивая (2.8) и (2.10), заметим, что коэффициент передачи простейшей дифференцирующей цепи и схемы, приведённой на

рис. 2.11, отличаются лишь наличием множителя и величиной постоянной времени, которая в данном случае равна.

Для схемы, приведённой на рис. 2.12, получаем следующий коэффициент передачи:

,

где ,_.

Рис. 2.12 Схема дифференцирующей -цепочки с резистором,

включённым параллельно с конденсатором

Модуль коэффициента передачи:

.

Для построения АЧХ учтём, что при , а при,. АЧХ цепи приведена на рис. 2.13.

Рис. 2.13 АЧХ схемы, приведённой на рис. 2.12

ФЧХ получается аналогично схеме, приведённой на рис. 2.8, . Заметим, что при,, а при, также. ФЧХ имеет максимум при:

.

(2.11)

Нетрудно видеть, что выражения (2.9) и (2.11) идентичны. ФЧХ для приведена на рис. 2.14.

Используя приведённую методику, нетрудно вывести формулы коэффициентов передачи более сложных цепей.

Умение получать выражения для коэффициентов передачи -цепей в комплексной форме можно использовать для нахождения переходных характеристик. Для этого в выражении для сопротивления ёмкости синусоидальному токунеобходимо заменитьjω на оператор . При этом получаем операторное выражение для сопротивления ёмкости.

Рис. 2.14 ФЧХ схемы, приведённой на рис. 2.11, при

Законы Ома и Кирхгофа можно также выразить в операторной форме, заменяя наина. Используя эти замены, можно найти коэффициент передачи-цепи также в операторной форме. Сделаем это для простейшей интегрирующей-цепочки (рис.2.3). Запишем уравнения:,. Отсюда, где.

Для простейшей дифференцирующей -цепочки получим:, где.

Для нахождения переходных характеристик теперь достаточно от операторной формы перейти к оригиналу. Таким образом, если возникают трудности в построении переходных характеристик-цепей, то можно используя операторный метод и таблицы перехода от операторной формы к оригиналам, получить выражения переходных характеристик-цепей.