ЛР26_2 Егорова

Кафедра «ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ»

(«ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 26.2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

«ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ»

Студент группы БПАС2351: Егорова Ульяна Андреевна ____________

Проверил:к.т.н., доцент Терехов Алексей Николаевич_______________

2.1. Цель работы

На персональном компьютере провести анализ рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, их взаимосвязь со значениями коэффициентов ЦФ; определить области устойчивости рекурсивных фильтров 1 и 2 порядка.

2.2. Домашнее задание

1. Изучить теорию рекурсивных ЦФ по приведенной литературе и приложению к лабораторной работе.

2. Для данных из таблицы 2 записать разностное уравнение и системную функцию нерекурсивного ЦФ 1-го порядка.

3. Изобразить структурную схему ЦФ.

4. Рассчитать и построить по 20 точкам импульсную реакцию и амплитудно-частотную характеристики. Частота дискретизации - 8 кГц.

Вариант 10

Таблица 2. Исходные данные для расчетов: b1= b2 = a2 = 0, b0 = 1.

1) Исходные данные:

b1 = a2 = b2 = 0

𝑏0 = 1

а1 = -0,7

𝑓_d = 8000

2) Найти разностное уравнение и системную функцию ЦФ 1-го порядка.

Разностное уравнение:

Общий вид (для 2‑го порядка):

Подставляем коэффициенты варианта 10:

то есть

Системная функция 

Берём Z‑преобразование разностного уравнения:

Переносим все члены с   влево:

Системная функция:

3) Изобразить структурную схему ЦФ.

Рисунок 1. Структурная схема цифрового фильтра.

4) Рассчитать и построить по 20 точкам импульсную реакцию и амплитудно-частотную характеристики. Частота дискретизации - 8 кГц.

Считаем по разностному уравнению  :

Таблица 1. Расчёт импульсной характеристики

			Расчёт
0	1	1
1	0	−0,7
2	0	0,49
3	0	−0,343
4	0	0,2401
5	0	−0,168
6	0	0,1176
7	0	−0,0824
8	0	0,0576
9	0	−0,0404

Рисунок 2. Импульсная характеристика

Проверим экспериментом

Рисунок 2. Импульсная характеристика, полученная в результате эксперимента.

Расчёт АХЧ

На единичной окружности  :

Модуль АЧХ:

Нормированная частота:

При равномерном шаге   кГц:

Таблица 2. Расчёт амплитудно-частотной характеристики.

№	, кГц		|H|
1	0	0	1,000
2	0,421	0,331	0,940
3	0,842	0,661	0,817
4	1,263	0,992	0,693
5	1,684	1,322	0,607
6	2,105	1,653	0,566
7	2,526	1,983	0,556
8	2,947	2,314	0,566
9	3,368	2,644	0,591
10	3,789	2,975	0,625
11	4,211	3,305	0,659
12	4,632	3,636	0,686
13	5,053	3,966	0,703
14	5,474	4,297	0,709
15	5,895	4,627	0,703
16	6,316	4,957	0,686
17	6,737	5,288	0,659
18	7,158	5,618	0,625
19	7,579	5,949	0,591
20	8,000	6,283	0,588

Рисунок 3. Амплитудно-частотная характеристика.

Рисунок 4. Амплитудно-частотная характеристика, полученная в результате эксперимента.

2.3. ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАДАНИЕ

Произвести анализ АЧХ, ФЧХ, импульсных (ИХ) и переходных

характеристик (ПХ) и устойчивости рекурсивных ЦФ 1-го и 2-го порядка (для

этого следует установить: b0 = 1, b1 = 0, b2 = 0).

Указание: записывать в отчет значения полюсов системной функции H(z).

а) При анализе рекурсивного ЦФ 1-го порядка следует установить a2=0.

 Определить область устойчивости рекурсивного ЦФ 1 порядка на плоскости

коэффициентов (a1, a2) и на Z – плоскости; для этого исследовать все

характеристики ЦФ при шести значениях а1: а1=±1, а1=±1+da1, ±1-da1, где

da1 - отклонение значения коэффициента а1 от ±1 вправо и влево на 1

пиксель (достигается однократным нажатием клавиш с горизонтальными

стрелками);

 Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ при а1 = ± 0.9 и а1 = ± 0.7;

 Сделать соответствующие выводы.

б) При анализе рекурсивного ЦФ 2 порядка коэффициенты а1 ≠ 0, а2 ≠ 0.

 Исследовать взаимосвязь коэффициентов a1 и a2 и местоположения полюсов

рекурсивного ЦФ. Обратить внимание, что модуль полюса не зависит от

значения коэффициента а1 в области треугольника устойчивости, лежащей ниже параболы, а аргумент положительного полюса возрастает при

уменьшении а1 (подтвердить этот вывод 3 – 4 экспериментами);

 Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ для 6-ти положений указателя <+> на

плоскости коэффициентов внутри треугольника устойчивости (следовать

приведенному рисунку (Рис.1) и указаниям преподавателя);

 Сделать соответствующие выводы.

 Определить область устойчивости рекурсивного ЦФ 1 порядка на плоскости

коэффициентов (a1, a2) и на Z – плоскости; для этого исследовать все

характеристики ЦФ при шести значениях а1: а1=±1, а1=±1+da1, ±1-da1, где

da1 - отклонение значения коэффициента а1 от ±1 вправо и влево на 1

пиксель (достигается однократным нажатием клавиш с горизонтальными

стрелками);

Область устойчивости на плоскости коэффициентов (a1, a2):

• Для устойчивости |a1| < 1 (поскольку a2 = 0).

• При a1 = ±1 фильтр на границе устойчивости.

• При |a1| > 1 — неустойчив (полюс вне единичного круга).

Исследование при шести значениях a1: Были проанализированы характеристики ЦФ для: a1 = ±1 (граница устойчивости), a1 = ±1 ± da1 (da1 ≈ 0.01–0.05, отклонение на 1 пиксель):

Значение a1	Режим	АЧХ	ФЧХ	ИХ и ПХ
|a1| < 1	Устойчивый	Парабола (положительные), два пика (отрицательные)	Синусоида	Конечная, затухает
a1 = ±1	Граничный	Дегенерация	Линейная	Осцилляции
|a1| > 1	Неустойчивый	Взрыв	Хаотичная	Геометрический рост → ∞

На z-плоскости:

• Устойчивость: полюс внутри единичного круга (|z| < 1).

• При a1 = ±1: полюс на единичном круге (|z| = 1).

• При |a1| > 1: полюс вне единичного круга → неустойчивость.

 Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ при а1 = +0.9

 Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ при а1 = - 0.9

 Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ при а1 = + 0.7

 Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ при а1 = - 0.7

Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ для 6-ти положений указателя <+> на

плоскости коэффициентов внутри треугольника устойчивости

Вывод:

КИХ-фильтры 1-го порядка

• АЧХ (амплитудно-частотная характеристика): при положительных коэффициентах — парабола, при отрицательных — два пика.

• ФЧХ (фазо-частотная характеристика): синусоида, почти одинаковая для всех фильтров (различия минимальные).

• ИХ (импульсная) и ПХ (переходная характеристики): в неустойчивом режиме растут геометрически до бесконечности.

КИХ-фильтры 2-го порядка

• Взаимосвязь коэффициентов a1 и a2:

  • Над параболической границей: полюса на действительной оси z-плоскости (-1 < Re(z) < 1).

  • На границе: полюса комплексно-сопряжённые.

  • Полюса симметричны относительно оси абсцисс (отзеркаливаются).

Все фильтры стабильны, как КИХ, — без полюсов вне единичного круга.

17