Кафедра «ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ»

(«ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 26.3

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

«ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ»

Студент группы БПАС2351: Егорова Ульяна Андреевна ____________

Проверил:к.т.н., доцент Терехов Алексей Николаевич_______________

3.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

На персональном компьютере провести анализ нерекурсивных и

рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; провести

эпмирический синтез ЦФ для типовых прототипов (ФНЧ, ФВЧ и др.) в рамках

полного ЦФ второго порядка.

3.2. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Цифровой фильтр 2-го порядка задан своими параметрами:

Вариант 10

Исходные данные:

Параметр	Значение
b₀	1,3
b₁	2,4
b₂	0,1
a₁	-0,7
a₂	-0,7

1. Разностное уравнение ЦФ

Общий вид системной функции цифрового фильтра 2-го порядка:

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

2. Структурная каноническая схема ЦФ

3. Импульсная характеристика ЦФ

Расчет первых значений

Таблица 1 — Импульсная характеристика

i	gᵢ
0	1,3
1	1,49
2	-1,853
3	0,2541
4	1,11923
5	-0,96133
6	-0,11053
7	0,750302
8	-0,44784
9	-0,21172
10	0,461695
11	-0,17498
12	-0,2007
13	0,263976
14	-0,04429
15	-0,15378
16	0,13865
17	0,01059
18	-0,10447
19	0,065715

Проверим путём эксперемента

4. Системная функция ЦФ и аналитическое выражение АЧХ

Системная функция заданного фильтра:

Умножим числитель и знаменатель на z²:

Для получения амплитудно-частотной характеристики подставим:

Тогда:

С учетом формул Эйлера:

• e⁻ʲω = cosω - j sinω

• e⁻ʲ2ω = cos2ω - j sin2ω

получаем выражение для АЧХ:

Это аналитическое выражение амплитудно-частотной характеристики данного цифрового фильтра.

5. Расчет 20 значений АЧХ ЦФ

По условию:

fᵢ = i / (19Δt), где i = 0, 1, 2, …, 19

Δt = 125 мкс = 125·10⁻⁶ с

Частота дискретизации:

f_d = 1 / Δt = 8000 Гц

Тогда круговая частота:

Таблица 2 — Значения АЧХ

i	fᵢ, Гц	ωᵢ, рад	K(ωᵢΔt)
0	0	0	1,588
1	0,421052632	18,9	1,627
2	0,842105263	37,9	1,762
3	1,263157895	56,8	2,045
4	1,684210526	75,8	2,664
5	2,105263158	94,7	4,394
6	2,526315789	113,7	7,771
7	2,947368421	132,6	3,332
8	3,368421053	151,6	1,601
9	3,789473684	170,5	1,043
10	4,210526316	189,5	1,043
11	4,631578947	208,4	1,601
12	5,052631579	227,4	3,332
13	5,473684211	246,3	7,771
14	5,894736842	265,3	4,394
15	6,315789474	284,2	2,664
16	6,736842105	303,2	2,045
17	7,157894737	322,1	1,762
18	7,578947368	341,1	1,627
19	8	360	1,588

По данным таблицы строится график амплитудно-частотной характеристики.

6. Нули и полюса системной функции ЦФ. Устойчивость

Системная функция:

Нули системной функции

Нули определяются как корни числителя:

1,3z² + 2,4z + 0,1 = 0

Дискриминант:

D = 2,4² - 4·1,3·0,1 = 5,76 - 0,52 = 5,24

√D ≈ 2,289

Тогда:

z₁,₂ = (-2,4 ± 2,289) / 2,6

Получаем:

• z₁ ≈ -0,043

• z₂ ≈ -1,803

Следовательно, нули системной функции:

z₁ ≈ -0,043, z₂ ≈ -1,803

Полюса системной функции

Полюса определяются как корни знаменателя:

z² - 0,7z - 0,7 = 0

Дискриминант:

D = 0,7² - 4·1·0,7 = 0,49 - 2,8 = -2,31

Так как D < 0, полюса комплексно-сопряжённые:

p₁,₂ = (-0,7 ± j√2,31) / 2

√2,31 ≈ 1,520

Тогда:

p₁ ≈ -0,35 + j0,760

p₂ ≈ -0,35 - j0,760

Модуль полюсов:

|p| = √(0,35² + 0,760²) ≈ √(0,1225 + 0,5776) ≈ √0,7001 ≈ 0,837

Так как:

|p₁| < 1 |p₂| < 1

полюса находятся внутри единичной окружности.

Вывод об устойчивости

Следовательно, данный цифровой фильтр является устойчивым.

3.3. ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАДАНИЕ

Произвести анализ и осуществить эмпирический синтез полного ЦФ 2-го

порядка. Исследовать частотные и временные характеристики ЦФ при ненулевых

значениях его коэффициентов. Цель данных исследований - эмпирически

(опытным путем) синтезировать несколько разновидностей типовых фильтров

(ФНЧ и ФВЧ), беря за основу фильтры-прототипы с максимально плоской АЧХ

(Баттерворта) и фильтры с чебышевской АЧХ.

Указание: установить b0=1 и в дальнейшем не менять.

Исследования рекомендуется проводить поэтапно.

Этап1. Установить а1=0, а2=0.

Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ нерекурсивных ЦФ 2-го порядка

для следующих значений коэффициентов b1 и b2:

Этап 2. Установить b0=1; b1=0; b2=0.

Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ рекурсивного ЦФ 2-го порядка

для следующих значений коэффициентов а1 и а2:

Значения коэффициентов устанавливаются графически путем перемещения

указателя «+» на плоскости коэффициентов (а1, а2).

Этап 3. Исследование АЧХ полных ЦФ.

АЧХ полного ЦФ определяется как произведение АЧХ нерекурсивного и

рекурсивного ЦФ.

ФЧХ полного ЦФ определяется как сумма ФЧХ нерекурсивного и

рекурсивного ЦФ.

Замечание: при заданных выше значениях коэффициентов реализуются ЦФ

с максимально-плоскими АЧХ.

3.1. Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ ЦФ нижних частот (ЦФНЧ) для

следующих сочетаний коэффициентов b1, b2, a1, a2: 1 варианта коэффициентов

b1, b2 и вариантов 1, 2, 3 и 4 коэффициентов а1, а2;3.2. Зарисовать АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ ЦФ верхних частот (ЦФВЧ) для

следующих сочетаний коэффициентов b1, b2, a1, a2: 2 варианта коэффициентов

b1, b2 и вариантов 1, 2, 3 и 4 коэффициентов а1, а2;

3.3. Самостоятельно эмпирически подобрать коэффициенты b1, b2, a1, a2

(по 2 варианта ЦФНЧ и ЦФВЧ) для формирования АЧХ ЦФ несколько другого

характера, пользуясь изложенной выше поэтапной методикой. Для скорейшего

достижения положительного результата следует использовать данные,

полученные ранее.

b1 = 2, b2 = 1

b1 = -2, b2 = 1

Этап 2. Установить b0 = 1, b1 = 0, b2 = 0.

a1 = 0.35, a2 = -0.2

a1 = 0.8, a2 = -0.3

a1 = 1.1, a2 = -0.4

a1 = 1.3, a2 = -0.5

Этап 3. Исследование АЧХ полных ЦФ

b1 = 2, a1 = 0.2, a2 = -0.3

b1 = 2, a1 = 0.25, a2 = -0.43333

b1 = 2, a1 = 0.4, a2 = -0.51667

b1 = 2, a1 = 0.4, a2 = -0.51667

b1 = -2, a1 = 0.2, a2 = -0.3

b1 = -2, a1 = 0.25, a2 = -0.43333

b1 = -2, a1 = 0.4, a2 = -0.51667

b1 = -2, a1 = 1.5, a2 = -0.6

Вывод:

Цифровой фильтр 2-го порядка состоит из нерекурсивной части с коэффициентами и рекурсивной части с коэффициентами . Коэффициенты в основном определяют тип фильтра: при положительном реализуются свойства ФНЧ, при отрицательном — ФВЧ. Коэффициенты и влияют на форму АЧХ, её крутизну и наличие резонансных подъёмов.

Импульсная характеристика фильтра имеет затухающий характер, так как зависит не только от входного сигнала, но и от предыдущих значений выхода. Переходная характеристика показывает накопление отклика во времени. В ходе работы были исследованы АЧХ, ФЧХ, ИХ и ПХ фильтра, а также определены его нули и полюса. Так как полюса находятся внутри единичной окружности, фильтр является устойчивым.

13