ЛРаб20

Кафедра «Метрологии, стандартизации и измерений в инфокоммуникациях»

Курсовая работа

по дисциплине «Общая теория связи»

Выполнили: бригада группы БПАС №2351

Егорова Ульяна Андреевна.

Бобров Андрей Игоревич Гудков Алексей Алексеевич

Вариант 04

Принял: Кандидат технических наук, доцент Манонина И. В.

А. ЭФФЕКТИВНОЕ КОДИРОВАНИЕ

1.А. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучить основные способы увеличения энтропии дискретного источника и принципы эффективного кодирования.

2.А. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Задан дискретный источник двоичных сообщений, который производит слова, состоящие из двух букв А и М. Всего возможно четыре различных сообщения, слова: АА, АМ, МА, ММ. Рассчитайте вероятность каждого слова p(АА), p(АМ), p(МА), p(ММ), если заданы (см. таблицу А) безусловные вероятности p(А), p(М) и условные вероятности.

(p(А/М) – вероятность буквы А, если первой в слове была буква М; остальные обозначения аналогичны).

1. Рассчитайте энтропию источника H и его избыточность R.

2. Закодируйте слова четверичным кодом и рассчитайте его энтропию и избыточность.

3. Закодируйте четыре слова безызбыточным кодом с префиксными свойствами, построив кодовое дерево. Рассчитайте энтропию нового двоичного кода, его избыточность и среднюю длину кодовой комбинации.

4. Запишите выражения, соответствующие передаче нуля и единицы с помощью двоичной фазовой модуляции. Запишите выражения, соответствующие передаче различных комбинаций из двух символов, «дибитов», с помощью четырехпозиционной ФМ. Нарисуйте временные диаграммы сигналов двоичной и четырехпозиционной ФМ.

Определите максимальное значение энтропии для m = 2 и m = 4.

Пункт 1 — Вероятности слов

Из условия: P(M) = 1 − P(A) = 0.2; P(A/A) = 1 − P(M/A) = 0.9; P(M/M) = 1 − P(A/M) = 0.7

Проверка: 0,72 + 0,08 + 0,06 + 0,14 = 1,00 ✓

Пункт 2 — Энтропия источника и избыточность

Энтропия рассчитывается по формуле для источника зависимых сообщений (делим на длину слова n=2):

Избыточность (  бит/символ для m=2):

Пункт 3 — Четверичный код

Кодируем слова как символы четверичного кода: AM→0, MA→1, MM→2, AA→3 (m=4).

Энтропия считается по тем же вероятностям слов, но теперь это 1 символ (не делим на 2):

 дв.ед./символ

Пункт 4 — Безызбыточный код Хаффмена

Сортировка по убыванию: AA(0,72) > MM(0,14) > AM(0,08) > MA(0,06)

Построение кодового дерева:

1. Объединяем MA(0,06) + AM(0,08) = 0,14

2. Объединяем MM(0,14) + MA+AM = 0,28

3. Объединяем AA(0,72) + MM+MA+AM = 1,00 — вершина

Кодовые комбинации (1 = вверх, 0 = вниз от вершины):

Слово	Вероятность	Код	Длина
AA	0,72	1	1
MM	0,14	00	2
AM	0,08	011	3
MA	0,06	010	3

Средняя длина:

Подсчёт P(0) и P(1) из 100 среднестатистических сообщений:

• AA×72 (код «1»): 0 нулей, 72 единицы

• MM×14 (код «00»): 28 нулей, 0 единиц

• AM×8 (код «011»): 8 нулей, 16 единиц

• MA×6 (код «010»): 12 нулей, 6 единиц

Энтропия нового двоичного кода:

Пункт 5 — Фазовая модуляция и максимальная энтропия

Двоичная ФМ (m = 2):

Четырёхпозиционная ФМ (m = 4), дибиты:

(Временны́е диаграммы: для 2-ФМ — два меандра со сдвигом фазы 180°; для 4-ФМ — четыре меандра со сдвигом 90°)

Максимальная энтропия (при равновероятных символах):

Б. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ

1.Б. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучите принципы помехоустойчивого кодирования, освоить алгоритм кодирования и алгоритм декодирования для блочного двоичного систематического кода.

2.Б. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Задана строка порождающей матрицы кода (7,3) в таблице Б. Составить порождающую матрицу заданного кода G.

2. Сформировать разрешенные кодовые комбинации кода (7,3), определить минимальное кодовое расстояние и исправляющую способность полученного кода.

3. Составить проверочную матрицу данного кода H.

4. Вычислить синдромы и вектора ошибок, соответствующие одиночной ошибке для каждого из 7 символов принятой кодовой комбинации.

5. Составить структурную схему кодека.

Стенд 4. Строка порождающей матрицы: 1001111 

Пункт 1 — Порождающая матрица G

Строка 1 задана: 1001111 → первая строка G = [1 0 0 | 1 1 1 1], значит P = [1 1 1 1].

Строки P и P выбираем так, чтобы все 4 столбца матрицы-дополнения были различны и имели максимум единиц. Выбираем столбцы [1,0,0], [1,0,1], [1,1,0], [1,1,1]:

Пункт 2 — Кодовые комбинации и r_min

Формулы проверочных символов из  :

• 

• 

• 

• 

№	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	Вес
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	0	1	3
3	0	1	0	0	0	1	1	3
4	0	1	1	0	1	1	0	4
5	1	0	0	1	1	1	1	5
6	1	0	1	1	0	1	0	4
7	1	1	0	1	1	0	0	4
8	1	1	1	1	0	0	1	5

r_min = 3 → исправляющая способность   → код исправляет все одиночные ошибки.

Пункт 3 — Проверочная матрица H

(Строится как  , где   — транспонированная матрица-дополнение)

Пункт 4 — Синдромы и векторы ошибок

Формулы синдромов:  :

• 

• 

• 

• 

Вектор ошибки	Синдром C₁C₂C₃C₄	Позиция
0000000	0000	нет ошибки
1000000	1111	a₁
0100000	0011	a₂
0010000	0101	a₃
0001000	1000	a₄
0000100	0100	a₅
0000010	0010	a₆
0000001	0001	a₇

Пункт 5 — Структурная схема кодека

Кодер формирует 4 проверочных символа по формулам выше и дописывает их к информационным a₁a₂a₃.

Декодер: принятая комбинация умножается на  , получается синдром (C₁C₂C₃C₄). По таблице синдромов находится вектор ошибки V, затем принятая комбинация складывается с V по mod 2 — ошибка исправлена.

8