Добавил:
Вуз:
Предмет:
Файл:
SMOSSP_1-1
.pdf
1. Непрерывные марковские случайные процессы.
2. Уравнение Фоккера- Планка – Колмогорова.
3. Марковские модели каналов связи.
1) Уравнение состояний
● Модели в форме стохастических дифференциальных уравнений
(СДУ) и полученных на их основе разностных стохастических
уравнений (РСУ), позволяющие описывать нестационарные
негауссовские случайные процессы.
Есть система формирующего фильтра - система, где выходной сигнал
определяется только параметрами системы при условии, что мы
зафиксировали входной сигнал, мы подаем на её вход какой-то
случайный процесс(шум с заданными вероятностными
характеристиками) и при помощи настройки параметров
системы(функции f(x) и g(x)) получаем выходной случайный сигнал с
желаемыми вероятностными характеристиками..
Марковский Процесс может быть представлен стохастическим
дифференциальным уравнением
2) Разложение на квадратуры
4. СДУ и разностные стохастические уравнения.
Стохастические дифференциальные уравнения:
Общий вид СДУ, описывающего нестационарный случайный процесс,
записывается следующий образом:
Под решением задачи синтеза марковской модели случайного процесса в
форме СДУ будем понимать алгоритм определения с заданной точностью
функций
определяющих СДУ , по известным вероятностным характеристикам
моделируемого процесса x(t). При этом под заданием векторного БГШ
v(t) понимаем определение матрицы спектральный плотностей
мощности его составляющих
Определяющим свойством непрерывного марковского процесса является
то, что условная плотность вероятности перехода и безусловная
плотность вероятности процесса удовлетворяет уравнению в частных
производных вида
– кинетические коэффициенты марковского случайного процесса, где M[
·
| ] – оператор условного математического ожидания. Кинетические
·
коэффициенты являются такой же полной характеристикой случайных
процессов, как и другие числовые характеристики (начальные и
центральные моменты) при их количестве, стремящимся к
бесконечности.
Частным случаем уравнения (11) является уравнение, которое можно
получить для так называемых диффузионных марковских процессов. Для
диффузионных процессов
отличны от нуля, то есть
При этом первый кинетический коэффициент
называется коэффициентом сноса, характеризующим среднее значение
локальной скорости марковского процесса, а второй
называется коэффициентом диффузии, характеризующим локальную
скорость изменения дисперсии приращения.
Разностные стохастические уравнения: Они используются для
моделирования случайных процессов в дискретном времени, когда
состояние системы обновляется на каждом шаге с учетом случайных
возмущений.
Если сигнал рассматривается в дискретном времени, ДУ заменим
рекуррентной формулой связи: t → k , тогда
5. Синтез одномерных СДУ.
Задача синтеза: по известной ПРВ найти коэф-ты ДУ
Стохастическое дифференциальное уравнение для одномерного случая
записывается в виде:
Структурный синтез СДУ:
Примечание:
СДУ первого порядка принципиально не могут порождать
квазигармонические процессы(это процесс, который приближается к
гармоническому, но при этом амплитуда и частота (или фаза) —
медленно меняющиеся функции времени
6. Синтез двумерных СДУ.
Задача синтеза: по известной ПРВ двумерного МСП найти
коэффициенты СДУ
Одномерные СДУ:
Пусть распределения:
а) амплитуда-Холл, фаза–равномерный, независимы, для стационарного
процесса:
7. Моделирование когерентных и некогерентных сигналов.
Когерентные сигналы: Коэффициент корреляции = 1
Частотно когерентные: w,w+Δw,w+2Δw,...
(пример – частотно селективные замирания (сдвиг по фазе))
Пространственно когерентные (напр. MIMO)
Так можно представить сигнал, если фронт волны плоский относительно
решетки, источники расположены в дальней зоне антенны.
Моделирование когерентных сигналов
Для АР достаточно определить данные первого элемента антенны.
Задача синтеза сводится к вычислению коэффициентов одномерных
СДУ:
Некогерентные сигналы: Коэффициент корреляции = 0
Расстояние между элементами d > λ и сигналы на выходе различных
элементов являются некоррелированными, каждый из них может быть
описан своим одномерным СДУ. Их амплитуды и фазы описываются N
независимыми одномерными СДУ (по числу антенных элементов), а
обработка таких сигналов осуществляется в устройствах ПВОС с
пространственным разнесением, принимаемым по параллельным
пространственным каналам.
Синтез: Набор и N некоррелированных уравнений сводится к N
одномерных уравнений.
Частично-когерентные сигналы: Коэффициент корреляции >0 и <1
Синтез сводится к многомерным уравнениям
8. Синтез моделей векторных негауссовских СП, описывающих
параметры ЧКС.
Частично-когерентные сигналы (ЧКС):
Фронт волны не плоский, источники в ближней зоне антенны,
амплитуды не равны, но коррелированы в некоторой степени (напр.
КВ-диапазон на судах - много отражений в ближней зоне)
Для решения задачи синтеза можно воспользоваться методом
функциональной аппроксимации многомерных плотностей
распределения вероятностей вида (20) для СДУ (9) откуда получим
выражение (23)
где B0 – коэффициент диффузии. Нелинейное СДУ (23) позволяет
моделировать векторные негауссовские случайные процессы x(t) .
Решение ищется при потенциально изотропных МП:
Для определения 𝐵
0
проведем статистическую
линеаризацию (разложение в ряд со снижением точности)
9. Проверка статистических гипотез при обнаружении и различении
сигналов.
Варианты задачи:
- обнаружение сигнала: НО - отсутствие, Н1 наличие
- различение двоичных сигналов: НО SО = 0, Н1 S1 = 1
→ →
- обнаружение m-позиционных с-в (различение): Н1 S1,...,Нm S
m
→ →
- многоальтернативное различение: НО - отсутствие, Н1 S1,...,Нm S
m
→ →
- рассчитывается с учетом выбранного критерия
Λо
10. Критерии – байесовский, отношения правдоподобия, МАВ
(максимум апостериорной вероятности), идеального наблюдателя,
минимаксный.
Критерии отличаются порогом ΛО и тем что известно изначально
11. Проверка простых гипотез при многократных наблюдениях.
12. Обнаружение полностью известных сигналов (дискретные
процессы).
индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых
переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае
Тогда логарифмическое ОП (ЛОП):