Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория электрической связи. Вторая часть. Методическое пособие для проведения лабораторных работ
.pdf
,5,0
ах
ФxF
dyeхФ
x
y
0
2
2
2
Кривая нормального распределения f(x) (кривая Гаусса) приведена на
рисунке 11.2.
Рис. 11.2. Плотность вероятности случайной величины Х, распределенной по
нормальному закону распределения
Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по
нормальному закону, равно параметру а этого закона, а её дисперсия - квадрату
параметра σ, т.е.
Рассмотрим влияние параметров нормального распределения на форму
кривой плотности вероятности.
Если σ = const, и меняется параметр а, т.е. центр симметрии
распределения, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не
меняя формы.
Если a=const и меняется параметр σ, то меняется ордината максимума
кривой . При увеличении σ кривая распределения
становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении σ
кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а =
0 и σ = 1 называется стандартным или нормированным, а соответствующая
нормальная кривая - стандартной или нормированной.
Функция распределения F(x) случайной величины X, распределённой по
нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:
где:
11
.
Перечислим наиболее важные свойства случайной величины,
распределённой по нормальному закону.
1. Вероятность попадания случайной величины в интервал (x
, x2), равна
1
2. Правило «трёх сигм». Если случайная величина X распределена
нормально (с параметрами а и σ), то практически достоверно, что абсолютная
величина её отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.
Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон
распределения с параметрами а и σ, то практически достоверно, что её
значения заключены в интервале
Краткая характеристика исследуемых цепей и сигналов
Для проведения этой работы не требуются сменные блоки стенда;
достаточно использовать внутренние источники сигналов:
- гармонические сигналы с частотой 1 кГц в качестве сигнала со случайной
начальной фазой;
- “белый” шум с выхода генератора шума;
- аддитивная смесь этих сигналов при различном соотношении a/
.
Измерение плотности вероятности мгновенных значений сигналов
производится с помощью ПК, работающего в режиме “ГИСТОРАММА” (см.
Приложение). Записанная в память ПК реализация исследуемого сигнала
воспроизводится на экране монитора, а затем подвергается статистическому
анализу, в результате которого получаются графики плотности вероятности и
вычисляются параметры случайного процесса (m и ). Для контроля
параметров входных сигналов используются встроенный вольтметр и
осциллограф. Получение аддитивной смеси сигналов обеспечивается
сумматором () стенда.
Домашнее задание
Изучите по конспекту лекций и литературе разделы о случайных сигналах
и их характеристиках [3], с. 2735; [6] с. 132144.
Лабораторное задание
1. Получите с помощью ПК реализации сигналов, графики плотности
вероятности и параметры (m и ).
2. Установите связь между характером реализации процесса, формой
графика плотности вероятности и его параметрами.
Методические указания
1. Гармонический сигнал со случайной начальной фазой.
12
1.1 Провести калибровку осциллографа. Для этого соединить вход
вольтметра, работающего в режиме измерения переменного напряжения, с
гнездом “1 кГц” в блоке ИСТОЧНИКИ СИГНАЛОВ. Ручкой регулятора выхода
генератора установить напряжение 0,707В. Напомним, что измерительные
приборы показывают действующее значение гармонического сигнала:
Um =U2=0,7072= 1В.
Не меняя регулировки выходного напряжения, заменить вольтметр
осциллографом. Отрегулировать масштаб усиления осциллографа так, чтобы
размах сигнала по вертикали составлял 2 клетки, т. е. амплитуда a = 1 клетке.
На этом калибровка закончена и в дальнейшем её менять не следует. Итак, одна
клетка на экране осциллографа теперь соответствует 1В.
1.2. Зафиксировать реализацию (осциллограмму) исследуемого сигнала. В
случаях, когда исследуется непериодический сигнал, сделать это по
осциллографу затруднительно. В этом случае исследуемый сигнал следует
подать на гнездо «А» входа ПК на стенде, а затем вызвать программу
«ОСЦИЛЛОГРАФ», которая позволяет «остановить» картинку и при
необходимости изменить ее масштаб.
1.3. Соединить вход “А” ПК (он расположен в правой части стенда, внизу)
с гнездом генератора “1 кГц”. При этом уровень сигнала не менять; Um=1В.
Перевести ПК в режим “ГИСТОГРАММА”.
1.4. В отчёте зафиксировать:
- график плотности вероятности;
- m и (или
2
);
- реализацию (осциллограмму п.1.2);
- условия эксперимента.
1.5. Пользуясь вольтметром или осциллографом, уменьшить сигнал с
выхода генератора “1 кГц” в 2 раза, т.е. теперь Um будет 0,5В (или U = 0,35В).
1.6. Повторить п. 1.4.
2. “Белый” шум.
2.1 Соединив гнездо ГШ со входом осциллографа, установить напряжение
шума таким, чтобы максимальная ширина шумовой “дорожки” на экране не
превышала 6 клеток. Согласно правилу “трёх сигма” нормального закона это
означает, что 6 = 6 клеток, или = 1 клетке, т. е. в соответствии с
калибровкой, = 1В.
Соединить вход ПК (“А”) с гнездом выхода ГШ.
2.2 Повторить п. 1.4.
2.3 Контролируя напряжение шума по экрану осциллографа, уменьшить
(ручкой выхода ГШ) напряжение шума в 2 раза. При этом будет
соответствовать половине клетки, т.е. 0,5В.
2.4 Повторить п. 1.4.
3. Аддитивная смесь гармонического сигнала и “белого” шума получается
с помощью сумматора стенда (), расположенного в правой нижней его части.
3.1. Подключить осциллограф к выходу сумматора. Подать на один из
входов гармонический сигнал (второй вход свободен). Отрегулировать (если
13
нарушена предыдущая регулировка) a = 0,5 клетки ручкой выхода генератора
“1 кГц”. Затем, отключив сигнал от входа сумматора, на второй его вход подать
шум. Ширина шумовой “дорожки” на экране осциллографа должна быть 3
клетки. При необходимости отрегулировать выходное напряжение ГШ.
Восстановить схему, подключив источник “1 кГц” ко входу сумматора. Таким
образом, выставлено соотношение сигнал/шум a/ = 1.
3.2 Повторить п. 1.4.
3.3 Отключив шум, увеличить сигнал в 2 раза (размах сигнала на экране
осциллографа должен быть 2 клетки), а напряжение шума сохранить прежним.
Восстановить схему, подключив источник шума к сумматору. Теперь a/ = 2.
3.4 Повторить п. 1.4.
3.5 Установить отношение a/ = 3.
3.6 Повторить п. 1.4.
Отчёт
Отчёт должен содержать:
1. Структурную схему измерений.
2. Графики реализаций сигналов.
3. Результаты измерений W(x), m и .
Контрольные вопросы
1. Нарисуйте график плотности вероятности любого сигнала. Объясните,
что отложено по осям, размерности. Смысл понятия “плотность вероятности”.
2. Как практически определить плотность вероятности?
3. Что такое нормальный случайный процесс? Его аналитическая запись.
4. График W(x) для нормального закона и его изменения при увеличении
или уменьшении и m.
5. Как по графику W(x) нормального закона найти математическое
ожидание и дисперсию?
6. Как определить вероятность попадания в заданный интервал x по
- графику плотности вероятности;
- графику функции распределения.
7. Физический смысл понятий математическое ожидание и дисперсия
применительно к сигналам связи?
8. В чём различие стационарных и нестационарных процессов?
9. Что такое эргодический процесс?
10. Что такое случайный процесс и его реализация?
14
xLxL
xLxLxxL
2121
11
0
1
)()()(
dtxkty
Лабораторная работа №12
“Прохождение случайных сигналов через линейные и нелинейные цепи”
Цель работы: Исследование преобразования законов распределения
мгновенных значений при прохождении случайных сигналов через линейные и
нелинейные цепи.
Краткие сведения из теории
Для формального описания процессов в системе связи необходимо иметь
математическую модель канала (цепи связи). Такая модель сводится к заданию
математических моделей сигналов на входе и выходе цепи и связи между ними
y(t) = L{x(t)},
где x(t) – входной сигнал,
y(t) – выходной сигнал,
L – системный оператор (оператор связи между входом и выходом).
Чтобы полностью определить задачу, следует задать область допустимых
входных сигналов Vx и область допустимых выходных сигналов Vy.
Математической моделью канала (цепи) связи называют
совокупность системного оператора L и областей допустимых сигналов V
x
и Vy.
Важнейшим принципом классификации каналов (цепей) связи является то,
как различные каналы (цепи) связи по-разному реагируют на сумму нескольких
сигналов.
Если оператор L удовлетворяет принципу суперпозиции
(12.1)
где α – произвольное число, то цепь называется линейной. Если условия
(12.1) не удовлетворяются – цепь называется нелинейной.
Определим статистические характеристики выхода по заданным
статистическим характеристикам входного сигнала. Пусть задана система и ее
статистические характеристики S
сигнала или R
() – корреляционная функция входного сигнала.
xx
() – спектральная плотность входного
xx
Исследуем связи во временной области. При этом рассмотрим решение
задачи в рамках корреляционной теории, так как возмущения, действующие на
систему, в общем случае являются функциями времени.
Реакция системы y(t) с функцией веса k(t) =
L-1
{k(p)} на входной сигнал
x(t) при нулевых начальных условиях определяется интегралом свертки
(Дюамеля)
, (12.2)
15
.d)t()mk(d)]t(x)M[k(
]d)t(x)k([M)]t(y[Mm
11
0
x111
0
1
11
0
1y
.dd)]()R)k(k(
]d)]t(x)k(d)]t(x)k([M
)]y(y)t(y[M)(R
2
0
112
0
xx21
22
0
211
0
1
yy
.d)()Rk(d)]t(x)t(x)M[k(
d)]t(x)k()t(x[M)]y(y)t(x[M)(R
11
0
xx111
0
1
11
0
1xy
11
0
111
0
xx1xy
d))x(k()t(yd)()Rk()(R
-
1
j
1
0
xx1
j
-
xy
,dde )()Rk(de)(R
где k(
единичного импульса, при этом
возникнуть раньше момента приложения воздействия.
Математическое ожидание выходного сигнала
Корреляционная функция выхода
) – функция веса; t - время наблюдения;
1
< t, так как реакция системы не может
1
- время приложения
1
(12.3)
(12.4)
Взаимная корреляционная функция
Эти соотношения определяют связи между корреляционными функциями
входа и выхода.
Рассмотрим связи в частотной области. При этом будем рассматривать
решение задачи в рамках спектральной теории.
Взаимная корреляционная функция равна
Выполним преобразование Фурье над правой и левой частью
(12.5)
. (12.6)
(12.7)
так как k(
можно принять равным .
Выполнив замену переменной u =
) при
1
< 0 не существует, то нижний предел в интеграле
1
-
16
получим:
1 ,
).j(k)(Sud e)u(Rde )k(
udde e e)u()Rk( )(S
xx
uj
0
xx1
j
-
1
-
1
jj
j
0
xx1xy
11
11
).()()(
jkSS
xxxy
.dd de )-()Rk()k(de )(R
;dd )-(R))k(k()(R
2
0
1
j
12xx2
0
1
j
-
yy
2112xx
0 0
21yy
.)j(k)(S)j(k)j(k)(S)(S
.due (u)Rde)k(de )k( )(S
2
xxxxyy
0
uj
xx2
j
2
0
1
j
1yy
21
.
2211
jjjj
eeee
(12.8)
Таким образом, при преобразовании свертка R
() переходит в
xx
произведение изображений. Следовательно, для случайных сигналов связь
между выходом и входом определяется соотношением
Для корреляционной функции выхода можно записать
Выполним замену переменной u =
-
+
2
и умножим правую часть
1
выражения на
Эти соотношения определяют связи между спектральными плотностями
входного и выходного сигнала.
Рассмотрим прохождение случайного сигнала через нелинейную цепь.
Реальное нелинейное устройство представляет собой сочетание
безынерционных линейных элементов с линейными инерционными цепями.
Это очень усложняет определение статистических характеристик сигнала и
шума на выходе всего устройства. Для линейных цепей просто определить
корреляционную и спектральную характеристики, но очень сложно – закон
распределения. В нелинейных же, но безынерционных элементах, наоборот,
основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому
общих методов анализа преобразования случайных процессов в нелинейных
устройствах не существует. Приходится ограничиваться некоторыми частными
задачами, представляющими практический интерес и поддающимися решению,
а также прибегать к различным идеализациям характеристик нелинейного
элемента.
17
xa
dx
dy
2
2
Рассмотрим возможность определения плотности вероятности p(y)
выходной величины y при воздействии случайного колебания х с плотностью
вероятности р(х) на нелинейный элемент с характеристикой y(x). Такой
характеристикой может быть ВАХ нелинейного элемента. При однозначном
соответствии между у и х в каждый момент времени независимо от
предыдущих моментов плотность вероятности р(у) находится из соотношения ,
откуда с учетом неотрицательности вероятностей находим:
Если обратная функция х(у) неоднозначна, то
где х
, х
1
…– значения входной величины х, соответствующие
2
рассматриваемому значению у.
Рассмотрим конкретный практический пример прохождения
случайного сигнала через цепь с симметричной квадратичной
характеристикой вида у = а
Так как
2
х
.
2
, и учитывая, что какому-либо фиксированному
значению у соответствуют два значения , находим выражение
для плотности вероятности р(у) при у 0
,
при у < 0 p(у) = 0.
Для гауссовского случайного процесса
.
Таким образом, при у 0 имеем
18
.
График этого распределения для изображен на рис.12.1
Рис.12.1. График распределения р(х)
Прямое определение энергетического спектра выходного процесса по
известному спектру на входе нелинейного элемента не представляется
возможным. Единственный путь – определение корреляционной функции с
последующим применением преобразования Фурье.
Пусть на входе НЭ с характеристикой у(х) действует стационарный
случайный процесс х(t). Корреляционная функция выходного сигнала может
быть записана в виде
,
где М[…..] – операция усреднения по совокупности реализаций.
Для усреднения произведения должна быть известна двумерная плотность
вероятности входного процесса . Корреляционная функция тогда
может быть определена как
Общее выражение для спектра случайного процесса на выходе получим,
применив преобразование Фурье:
.
Для белого шума, имеющего в идеализации бесконечно широкий
равномерный спектр W(ω)=W0,
.
где
δ(τ) - дельта-функция
.
19
Таким образом, такой случайный процесс, как белый шум, имеет
корреляционную функцию, равную бесконечности только в точке τ = 0, в
другие моменты τ корреляционная функция равна нулю, поэтому такой шум
еще называется дельта-коррелированным случайным процессом.
Краткая характеристика исследуемых цепей и сигналов
В работе используется универсальный лабораторный стенд со сменным
блоком “ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ” (рис. 12.2). В составе блока
имеются три линейные цепи с номерами:
1 – ФНЧ с частотой среза 3 кГц,
2 – ФНЧ с частотой среза 6 кГц,
3 – ПФ с центральной частотой 6 кГц и полосой f=0,5 кГц;
и три нелинейных безынерционных цепи под номерами:
4 – односторонний ограничитель,
5 – двухсторонний ограничитель,
6 – нелинейная цепь, вызывающая искажение типа “центральная отсечка”.
В качестве сигналов используются:
- ”белый” шум (нормальный случайный процесс);
- гармонический сигнал со случайной начальной фазой;
- аддитивная смесь этих сигналов в разных соотношениях.
Кроме универсального лабораторного стенда в работе используются
осциллограф, вольтметр и ПК, работающий в режиме “ГИСТОРАММА”, для
снятия кривых плотности вероятности (гистограмм). Для фиксации реализаций
исследуемых процессов используется ПК в режиме «ОСЦИЛЛОГРАФ».
Домашнее задание
1. Изучить основные вопросы темы “Прохождение случайных сигналов
через линейные и нелинейные цепи” по конспекту лекций и литературе: [3] с.
7282; [4] с. 138141; [5] с. 247256; 292299; [6] с. 265277.
Рис.12.2. Сменный блок для исследования прохождения случайных сигналов
через различные цепи
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]