Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум
.pdf
31
x y
0
-1 3 1/2
1/12
2
1/12
1/3
Р е ше н и е : Составим законы распределения составляющих X и Y.
3
2
7/12
5/12
0
-1
7/12
5/12
Вычислим числовые характеристики:
; ; ; ;
; .
Задачи
1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое
отклонение случайной величины Х, равномерно распределённой в интервале
(35; 98).
2. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально
распределённой случайной величины X равны числам 15 и 3, соответственно.
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение,
заключённое в интервале (18; 21).
3. Производится взвешивание целлюлозной массы без систематических
ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со
среднеквадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что
взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной
величине 10 г.
4. Производится измерение диаметра бревна без систематических ошибок.
Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со
среднеквадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что
измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной
величине 15 мм.
5. Случайные ошибки измерения площади помещений подчинены
нормальному закону со среднеквадратическим отклонением
и
математическим ожиданием . Найти вероятность того, что из трех
независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдёт по абсолютной
величине 4
.
6. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному
закону, заданному функцией распределения
7. В партии из 12 телевизоров имеется 10 корейского производства. Наугад
отобраны три телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров
корейского производства среди отобранных. Найти математическое
ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение полученного
закона распределения случайной величины.
32
8. Чему равны мода и медиана случайной величины, распределённой по
нормальному закону?
9. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: Х – в
интервале , Y - в интервале . Найти дисперсию произведения XY.
Контрольные вопросы
1. Как определяется начальный момент случайной величины?
2. Что такое относительный момент случайной величины?
3. Напишите формулу центрального момента случайной величины.
4. Основные числовые характеристики случайных величин.
5. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
6. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое
отклонение.
7. Корреляционный момент случайных величин и его свойства.
8. Коэффициент корреляции случайных величин и его свойства.
9. Коррелированность и зависимость случайных величин.
33
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Математическая статистика – раздел математики, в котором
изучаются методы сбора и обработки информации о случайных событиях,
процессах или состояниях систем по их случайным качественным и
количественным признакам.
На практике при исследовании случайного качественного или
количественного признака приходится ограничиваться в количестве носителей
этого признака. В связи с этим вводятся понятия генеральной и выборочной
совокупностей. Генеральной совокупностью называется множество всех
объектов, обладающих определенным случайным признаком. Выборочной
совокупностью (выборкой) называется часть (подмножество) объектов
генеральной совокупности, отбираемых для непосредственного исследования.
Количество объектов N в генеральной совокупности называется объемом
генеральной совокупности, количество объектов в выборочной совокупности
n называется объемом выборки.
2.1. ВЫБОРКА. ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД. ПОЛИГОН.
ГИСТОГРАММА
Независимые выборки – выборки, в которые входят различные объекты
одной генеральной совокупности, или выборки из различных генеральных
совокупностей. Зависимые выборки – выборки, состоящие из одних же
объектов генеральной совокупности; при этом различие соответствующих
признаков объектов в разных выборках обусловлено либо изменением метода
или средства измерений этих признаков, либо результатом воздействия
определенного фактора на генеральную или выборочную совокупность,
происшедшего в промежуток времени между произведенными выборками.
Чтобы числовые характеристики генеральной совокупности и их оценки,
полученные по выборочным данным, как можно меньше отличались друг от
друга, необходима репрезентативность выборки. Выборка считается
репрезентативной (представительной), если она удовлетворяет требованиям:
1) каждый объект генеральной совокупности с равной вероятностью может
попасть в выборку;
2) случайный отбор объектов генеральной совокупности должен
производиться в количестве, обеспечивающем возможность использования
закона больших чисел, в частности, позволяющем использовать определение
статистической вероятности события р(А) через частость n этого события р(А)
=
)(lim A
n
n
и позволяющем считать, что сумма независимых случайных
величин приобретает вероятностные свойства нормальной случайной
величины.
Пример 1. Пусть объем выборки n = 10 и в порядке отбора объектов
зафиксированы следующие значения признака: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 7, 2, 3. Если
собранные числовые данные выборки упорядочить в порядке возрастания, то
34
получим вариационный ряд: 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 10.
Различные числовые значения исследуемого признака объектов выборки
называются вариантами. По вариационному ряду легко подсчитать число
вариант. Если варианты обозначим как xi, то х1 = 2, х2 = 3, х3 =5, х4 = 7, х5 = 10,
т.е. число вариант в этой выборке т = 5. Число ni, показывающее сколько раз
варианта xi встречается в выборке, называется эмпирической частотой этой
варианты xi, а отношение ni/n – относительной эмпирической частотой
(частостью) варианты xi. Соответствие между вариантами и их эмпирической
частотой или частостью называется дискретным статистическим
распределением выборки:
xi 2 3 5 7 10
или
xi 2 3 5 7 10
ni 2 2 3 2 1
ni/n
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
Очевидно,
и
.
Дискретное статистическое распределение выборки ni(xi)/n является
статистическим аналогом ряда распределения вероятностей р(xi) дискретной
случайной величины, так как согласно статистическому определению
вероятности ni(xi)/n = р(xi) при n .
Накопленной частотой для дискретного статистического
распределения называется сумма всех частот вариант до хi включительно.
Накопленной относительной частотой дискретного статистического
распределения является величина п*(хi)/п. Так, для приведенного выше
статистического распределения выборки накопленные частоты и накопленные
образуют следующие числовые последовательности:
xi 2 3 5 7 10
ni 2 2 3 2 1
ni/n
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
n*(xi)
2 4 7 9 10
n*(xi)/n
0,2
0,4
0,7
0,9
1
Если число вариант т и объем выборки n значительны, то анализировать
статистическое распределение затруднительно из-за обилия числовых
значений, поэтому проводится их группировка, что сводится к следующему:
1) весь интервал значений вариант разбивается на k обычно равных
частичных интервалов хi (длина ri частичного интервала называется
интервальной разностью);
2) выполняется поинтервальное суммирование всех частот вариант выборки,
попадающих в каждый частичный интервал, в результате которого получаются
интервальные частоты n(хi) и интервальные частости n(хi)/n; n(хi) =
n; n(хi)/n = 1;
3) в качестве новых k вариант хi берутся середины частичных интервалов, а в
качестве частоты этих вариант – интервальные частоты.
Статистическое распределение выборки, полученное в результате
группировки, называется интервальным (или непрерывным).
Упорядоченные частичные интервалы образуют интервальный
вариационный ряд.
35
Конкретизируем некоторые моменты группировки выборочных данных и
задания интервального статистического распределения.
Сначала находятся наименьшая х
min
и наибольшая х
max
варианты выборки
и вычисляется размах выборки w = х
max
– х
min
.
Определяется число частичных интервалов по формуле k = 1 + 3,322lg n
(с учетом, что k – целое число) и интервальная разность – длина частичных
интервалов в случае их равновеликости по формуле Стерджеса r = w/(1 +
3,322lg n). Число частичных интервалов можно определять и по приближенной
формуле k
n
. Считается оптимальным, если 6 k 20.
За начало первого частичного интервала берется а0 = х
min
– r/2, и затем
строятся все k интервалов, длиной r каждый, в совокупности покрывающие все
значения вариант, включая х
min
и х
max
.
Фиксируются k вариант хi интервального статистического распределения
как середины частичных интервалов: хi = (а
i–1
+ ai)/2, при этом 1-я варианта х1 =
х
min
, а последняя хk х
max
(приближенное равенство возникает из-за округления
k до целого числа).
Каждой новой варианте хi ставится в соответствие частота, равная
соответствующей интервальной частоте n(хi).
Пример 2. Задано статистическое распределение выборки в форме:
Рост мужчины, см
менее 160
160-170
170-200
более 200
Число мужчин в выборке
2
10
60
3
Построить интервальное статистическое распределение выборки, определив
варианты и их интервальные частости, составить последовательность
накопленных частот и относительных частот интервального распределения.
Решение: Имеем выборку объемом n = 2 + 10 + 60 + 3 = 75. Строим
интервальное статистическое распределение выборки и последовательности
накопленных частот и относительных частот интервального статистического
распределения выборки:
хi
[150, 160)
[160, 170)
[170, 200)
[200, 230]
х
i
155
165
185
215
n(хi)
2
10
60
3
n(хi)/n
2/75
10/75
60/75
3/75
n*(хi)
2
12
72
75
n*(хi)/n
2/75
12/75
72/75
1
Графический анализ данных. Полигон и гистограмма
Графически дискретное статистическое распределение выборки задается
полигоном распределения: в координатных осях х и ni/n (или ni) отмечаются
точки полученного статистического распределения выборки, которые служат
вершинами ломаной, при этом крайние точки замыкаются на ось х либо
перпендикулярами, либо отрезками к значениям х, отстоящими от крайних
вариант х
min
и х
max
на соответствующий смежный относительно этих точек
интервал между вариантами.
36
Для статистического распределения примера 1:
Если на каждом частичном интервале построить прямоугольник
площадью n
i
/n, т.е. высотой , то получится ступенчатая фигура
интервального статистического распределения, называемая гистограммой
(величина называется плотностью интервальной частости или
удельной частостью); сумма площадей всех прямоугольников гистограммы
равна 1. Если ограничить гистограмму плавной кривой так, чтобы она
проходила через середины верхних сторон прямоугольников, а площадь под
ней относительно оси х была равна 1, то такая кривая называется графиком
эмпирической функции частости вариант f*(x). Эта функция является
статистическим аналогом плотности вероятности f(x) непрерывной случайной
величины Х, поскольку площадь под кривой на частичном интервале равна
n(хi)/n = р(Ххi) при n .
Другой формой интервального статистического распределения является
статистическая функция распределения выборки F*(x). Значения F*(x)
определяются накопленной относительной частотой вариант, строго меньших
аргумента этой функции, т.е. для дискретного F*(x) = n*(xi)/n, где xi < x; для
интервального статистического распределения F*(x) = п*(хi)/п, т.е. в
пределах интервального вариационного ряда определяется только для х,
соответствующих правым границам частичных интервалов. Функция F*(x)
является статистическим аналогом функции распределения F(x) случайной
величины Х.
37
Для сглаживания функции F*(x) строится кумулята – ломаная, звенья
которой соединяют точки графика накопленных относительных частот.
П р им е р 3. Построить статистическую функцию распределения и кумуляту
для дискретного статистического распределения примера 1.
Р е ше н и е : Имеем дискретное статистическое распределение выборки:
xi 2 3 5 7 10
ni/n
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
Находим значения F*(x) для x = хi, т.е. для значений вариант с учетом: F*(xi)
= n(xi)/n, где n(xi) накопленная частота на интервале (– , хi):
xi
< 2 2 3 5 7
10
> 10
ni/n
0
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
0
n*(xi)/n
0
0,2
0,2
0,7
0,9 1 1
F*(x)
0
х(–; 2]
0,2
х(2; 3]
0,4
х(3; 5]
0,7
х(5; 7]
0,9
х(7; 10]
1
x > 10
Строим график F*(x):
Кумулята для дискретного статистического распределения соединяет левые
окончания ступенек функции F*(x), соответствующие накопленным частостям
дискретного распределения выборки, причем начальная точка кумуляты а0
отстоит влево от минимальной варианты х
min
выборки на длину интервала
между х
min
и следующей вариантой (в нашем случае а0 = 1):
Построение гистограммы в Libre-Office Calc.
Рассмотрим построение гистограммы в Libre-Office Calc с помощью
«Мастера диаграмм». Предварительно можно ввести необходимые данные.
Затем набрать последовательно: Вставка → Диаграмма. Появится диалоговое
окно:
38
Затем последовательно выполнить шаги: Тип диаграммы →Диапазон данных
→Ряды данных →Элементы диаграммы.
Задачи
1. По данным выборки составим статистическое распределение выборки,
построить гистограмму относительных частот, эмпирическую функцию
распределения.
2. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х
неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали
следующие 60 значений:
3; 1; 3; 1; 4; 1; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 1; 1; 4; 3; 1; 1;
4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3;
1; 2; 1; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5.
Необходимо выполнить операции ранжирования и построить вариационный
ряд (7 вариант), вычислить характеристики и
.
3. Используя режим Гистограмма, построить по данным задачи 2
гистограмму относительных частот.
4. При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено
следующее количество членов семьи: 5; 3; 2; 1; 4; 6; 3; 7; 9; 1; 3; 2; 5; 6; 8; 2; 5;
2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4.
Составьте вариационный ряд распределения частот. Постройте полигон
распределения частот, кумуляту. Определите среднее число членов семьи
39
Охарактеризуйте колеблемость размера семьи с помощью показателей
вариации. Объясните полученные результаты, сделайте выводы.
5. Имеются данные о еженедельном количестве проданных компьютеров
одной из фирм: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530,
641, 359, 566, 452, 633, 474, 499. 580, 606, 344, 455,505, 396, 347, 441, 390, 632,
400, 582. Составьте вариационный ряд. Найдите среднее количество
проданных компьютеров. Рассчитайте показатели вариации
3) Администрацию магазина интересует частота покупок калькуляторов.
Менеджер в течении января регистрировал данные о покупке МК и собрал
следующие данные: 8, 4, 4, 9, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 3, 5, 7, 10, 6, 5, 7, 3, 2, 9, 8, 1, 4,
6, 5, 4, 2, 1, 0, 8. Постройте вариационный ряд, определите его числовые
характеристики. Какие рекомендации вы дали бы администрации универсама?
6. Число пассажиров одного из рейсов за 30 дней составило: 128, 121, 134,
118, 123, 109, 120, 116, 125, 128, 121, 129, 130, 131, 127, 119, 114, 124, 110, 126,
134, 125, 128, 123, 128, 133, 132, 136, 134, 129. Составьте вариационный ряд.
Найдите среднее число пассажиров в рейсе? Рассчитайте показатели
вариации. Сделайте анализ полученных результатов.
7. По данным выборочного обследования получено следующее
распределение по среднедушевому доходу
Среднедушевой
доход семьи в месяц,
у.е.
До
25
25-50
50-75
75-100
100-125
125-150
150 и
выше
Количество
обследованных семей
46
236
250
176
102
78
12
Постройте гистограмму, кумуляту. Рассчитайте среднюю мощность
предприятий. Найдите дисперсию, среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации. Сделайте анализ полученных результатов.
8. Продажа акций на аукционе характеризуется следующими данными:
Продажа акций в %
9 - 15
15 - 21
21 - 27
27 - 33
Число акционерных
обществ
3 5 4
2
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний процент
продажи акций. Охарактеризуйте колеблемость процента продажи акций с
помощью соответствующих показателей.
9. Для оценки состояния деловой активности предприятий были
проведены обследования и получены следующие результаты:
Показатель деловой
активности
0 - 8
8 - 16
16 - 24
24 - 32
Число предприятий
10
15 8 5
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение
показателя деловой активности, дисперсию. среднее квадратическое
отклонение, коэффициент вариации. Сделайте анализ полученных
результатов.
40
Контрольные вопросы
1. Генеральная и выборная совокупности.
2. Требования, предъявляемые к выборке к выборке.
3. Понятия «варианты» и вариационного ряда.
4. Статистическое распределение выборки.
5. Полигон и гистограмма.
6. Эмпирическая функция распределения выборки.
7. Числовые характеристики статистического распределения выборки.
8. Точечные оценки. Теоремы о выборочном среднем и дисперсии.
9. Метод максимального правдоподобия.
2.2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического
распределения называют функцию от наблюдаемых значений случайной
величины.
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.
Точечными оценками являются выборочная средняя (характеристика
положения); выборочная дисперсия
, выборочное среднее квадратическое
отклонение (СКО)
(характеристики рассеяния). К точечным оценкам
относятся также выборочные мода, медиана, асимметрия и эксцесс.
Замечание 1. Вместо термина «выборочное СКО» в ряде источников
применяется термин «стандартное отклонение».
Замечание 2. Выборочная средняя , вычисленная по эмпирическим данным,
является случайной величиной. Оценка СКО случайной величины x
называется стандартной ошибкой.
Характеристики положения определяют положение центра эмпирического
распределения.
1) Выборочная средняя представляет собой среднее арифметическое
значение признака выборочной совокупности:
- для несгруппированных данных;
– для сгруппированных данных, где
– объем
выборки, а k – количество интервалов или значений признака для
сгруппированных данных.
2) Выборочная мода
: модой дискретного вариационного ряда является
варианта, имеющая наибольшую частоту; мода интервального
вариационного ряда определяется по формуле
(здесь i – номер; – начало; h – длина;
– частота модального интервала,
т.е. интервала, имеющего наибольшую частоту).
3) Выборочная медиана
: медиана дискретного вариационного ряда при
нечетном n определяется значением серединного элемента, при четном n равна
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]