Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум
.pdf
21
9. Игральную кость бросают 180 раз. Сколько раз, вероятнее всего, выпадет
шесть очков? Найти вероятность этого события.
Контрольные вопросы
1. Какие испытания называются независимыми?
2. Запишите формулу Бернулли.
3. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит
менее k раз?
4. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит
не менее k раз?
5. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит
более k раз?
6. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит
не более k раз?
7. Что вычисляется с помощью локальной теоремы Лапласа?
8. Как записывается локальна теорема Лапласа?
9. Какие задачи решаются с помощью интегральной теоремы Лапласа?
10. Как формулируется интегральная теорема Лапласа?
11. Запишите функцию Лапласа.
12. Как найти значение функции Лапласа для конкретно заданного
числового значения?
1.5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Случайной величиной называют действительную переменную,
которая в результате испытания может принимать одно из своих
возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины можно разделить на два основных вида в
зависимости от числа возможных значений: дискретные и непрерывные.
Дискретной случайной величиной называют величину, которая
может принимать конечное или счетное множество возможных значений,
т.е. такое множество, элементы которого можно занумеровать.
Непрерывной случайной величиной называют величину, которая
может принимать любое заранее неизвестное значение из некоторого
конечного или бесконечного интервала.
Законом распределения случайной величины часто называют
соответствие между возможными значениями случайной величины и
вероятностями, с которыми она эти значения принимает.
22
Для моделирования поведения случайных величин, встречающихся на
практике, в Libre-Office Calc имеются следующие функции, описывающие
распределения:
- Непрерывные распределения
Нормальное распределение: функции НОРМРАСП(x; ; ; 0-
дифференциальная функция распределения или 1 – интегральная функция
распределения), НОРМСТРАСП(x), НОРМОБР(вероятность; ; ),
НОРМСТОБР(вероятность) и др.;
Непрерывное равномерное распределение: функция СЛЧИС (возвращает
равномерно распределенное случайное число от 0 до 1); СЛЧИС.ДВ
(возвращает равномерно распределенное случайное число от 0 до 1,
долговременно)
Экспоненциальное распределение: функция ЭКСПРАСП(x; ; 0-
дифференциальная функция распределения или 1 – интегральная функция
распределения);
Гамма распределение: функции ГАММАРАСП(x; ; ; 0-
дифференциальная функция распределения или 1 – интегральная функция
распределения) и ГАММАОБР(вероятность; ; );
Логнормальное распределение: функции ЛОГНОРМРАСП(x; ; ; 0-
дифференциальная функция распределения или 1 – интегральная функция
распределения) и ЛОГНОРМОБР(вероятность; ; );
Распределение Вейбулла: функция ВЕЙБУЛЛ(x; ; ; 0-
дифференциальная функция распределения или 1 – интегральная функция
распределения);
Бета-распределение: функции БЕТАРАСП(x; ; ; Интегральная; начало;
конец) и БЕТАОБР(вероятность; ; ; начало; конец);
- Дискретные распределения
Биномиальное распределение: функции БИНОМРАСП (k,n,p,0 –
вычисляет функцию вероятности и 1 – функцию распределения),
БИНОМ.ОБР(Испытания; вероятность успеха; предельная вероятность);
Распределение Пуассона: функция ПУАССОН(k; ; 0 – число успехов
равно k и 1 – число успехов k);
Гипергеометрическое распределение: функция ГИПЕРГЕОМРАСП
(число_ успехов в выборке; размер выборки; число успехов в
совокупности; размер совокупности);
Отрицательное биномиальное распределение: функция ОТРБИНОМРАСП
(число неудач; число успехов; вероятность успеха).
Специальные законы распределения
Биномиальное распределение
По биномиальному закону распределяется дискретная случайная величина X,
значения которой представляют число появлений события A при n
23
независимых испытаниях, когда
. При этом
вероятности вычисляются по формуле Бернулли.
Такое распределение называется биномиальным.
Из последнего равенства следует, что сумма вероятностей значений случайной
величины, распределенной по биномиальному закону, равна единице, так как
.
Математическое ожидание биномиального закона равно .
Дисперсия для биномиального закона распределения равна ,
а среднее квадратическое отклонение равно .
Распределение Пуассона
По закону Пуассона распределена дискретная случайная величина X,
вероятность значений которой
определяется формулой
, где – положительное число, которое называется
параметром Пуассона. Формулой определяется семейство законов Пуассона,
определяемое параметром . Значение вероятности
вычисляется
при помощи функции ПУАССОН(m;; ЛОЖЬ).
Математическое ожидание пуассоновского распределения равно .
Дисперсия для распределения по закону Пуассона равна .
Значение функции распределения Пуассона
вычисляется
при помощи функции ПУАССОН(m;;ИСТИНА).
Потоком событий называется последовательность событий, которые
наступают в случайные моменты времени. Простейшим − пуассоновским −
называется поток событий, который обладает свойствам стационарности,
отсутствия последействия и ординарности.
Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность
появления m событий потока на любом промежутке времени зависит только
от числа m и от длительности t промежутка времени.
Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что
вероятность появления m событий потока на любом промежутке времени
длительностью t не зависит от того, появились или не появились события в
моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка
времени.
Свойство ординарности характеризуется тем, что вероятность
появления более одного события за малый промежуток времени
пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного
события.
Интенсивностью потока называется среднее число событий,
появляющихся в единицу времени.
Вероятность появления m событий простейшего потока
интенсивностью λ за время, длительностью t , определяется по формуле
Пуассона
.
24
П р им е р 1. Среднее число заказов билетов, поступающих кассиру в одну
минуту, равно трём. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит:
а) четыре заказа; б) менее четырёх заказов; в) не менее четырёх заказов.
Решение: По условию .
а) Искомая вероятность того, что за 2 минуты поступит четыре вызова
определяется по формуле Пуассона
.
б) Событие "поступило менее четырёх заказов" произойдет, если наступит
одно из следующих несовместных событий: 1) поступило три заказа; 2)
поступило два заказа; 3) поступил один заказ; 4) не поступило ни одного
заказа. Эти события несовместны, поэтому применима теорема сложения
вероятностей несовместных событий:
.
в) События "поступило менее четырёх заказов" и "поступило не менее
четырёх заказов" противоположны, поэтому искомая вероятность того, что
за 2 минуты поступит не менее четырёх заказов,
.
Равномерное распределение
Равномерным называют распределение непрерывной случайной величины,
если все значения её лежат внутри некоторого интервала и все они
равновероятны. Плотность вероятности равномерного распределения на
интервале определяется формулой
Функция распределения задается формулой
Математическое ожидание равномерного закона равно
.
Дисперсия равномерного закона равна
, а среднее квадратическое
отклонение равно
.
Показательное распределение
Показательным − экспоненциальным − называется распределение
непрерывной случайной величины, плотность распределения которой
где λ – положительное число.
25
Значение плотности показательного распределения
вычисляется
с помощью функции ЭКСПРАСП(x; λ; ЛОЖЬ).
Функция распределения показательного закона имеет вид
Значение функции показательного распределения
вычисляется с помощью функции ЭКСПРАСП( x; λ; ИСТИНА).
Математическое ожидание показательного закона равно.
Дисперсия показательного закона равна
, а среднее
квадратическое отклонение равно .
К показательному закону приводит задача о распределении
вероятности случайной величины T – промежутка времени t между
последовательными событиями в простейшем потоке событий. Функция
распределения этой случайной величины при принимает значение,
равное нулю, а при
) =
,
где
Следовательно,
то есть промежуток времени t между последовательными событиями
простейшего потока имеет показательное распределение
Показательное распределение используется для вычисления надёжности
работы элемента (простого или сложного), если последовательность отказов
образует простейший поток событий с интенсивностью . В этом случае при
определяет вероятность отказа за время
длительностью . Следовательно, вероятность безотказной работы за это же
время равна
.
Функция называется функцией надёжности.
При показательном распределении
, то есть
.
Функция
, определяемая равенством, называется показательным
законом надёжности.
Пример2. Время безотказной работы элемента распределено по
показательному закону
(− время в часах). Найти
вероятность безотказной работы элемента в течение 100 часов.
Решение: Интенсивность отказов . Вычислим вероятность
безотказной работы элемента в течение 100 часов:
.
Значение показательного закона надёжности
может быть
вычислено следующим способом:
ЭКСПРАСП(100; −0,02; ИСТИНА).
26
Нормальное распределение
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной
случайной величины, плотность распределения которой
,
где a, σ – параметры нормального распределения, при этом .
Параметры нормального распределения постоянные величины.
Кривая нормального распределения имеет холмообразный вид, симметричный
относительно . Максимальная ордината кривой, равная
,
соответствует точке . По мере удаления от точки a плотность
распределения убывает, и при кривая распределения асимптотически
приближается к оси абсцисс. Площадь под кривой распределения равна
единице.
Параметр a представляет собой математическое ожидание нормального
распределения. Параметр σ – среднее квадратическое отклонение
нормального распределения. Дисперсия нормального закона равна
.
Функция нормального распределения
.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на
интервал равна
Вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины на участок длиной 2l, симметричный относительно центра
рассеивания a, можно вычислить по формуле
.
Правило трёх сигм. Вероятность того, что отклонение нормально
распределенной случайной величины от математического ожидания превысит
утроенное среднее квадратическое отклонение, равна
.
Это означает, что лишь в 0,27 % случаев может произойти отклонение,
большее чем . Такие события можно считать практически невозможными.
Всё это означает, что для нормально распределённой случайной величины всё
рассеивание, с точностью до долей процента, укладывается на участке .
Таким образом, по известным математическому ожиданию и среднему
квадратическому отклонению случайной величины ориентировочно можно
указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки
интервала возможных значений называется "правилом трёх сигм". Из этого
правила следует также ориентировочный способ определения среднего
квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное
практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Этот
грубый способ рекомендуется, если нет других, более точных, способов
определения .
27
Для нахождения значения функции нормального распределения для
значения x при известных среднем и стандартном отклонении используется
функция НОРМРАСП(x; среднее; стандартное отклонение; ИСТИНА).
НОРМРАСП(x; a; σ; ИСТИНА) =
В случае нахождения значения функции плотности распределения
последний аргумент равен значению «ЛОЖЬ».
Задачи
1. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х – числа
выпадений чётного числа очков на двух игральных костях.
2. В партии из 12 деталей имеются 9 стандартных. Наугад отобраны две
детали. Составьте закон распределения числа стандартных деталей среди
отобранных.
3. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна
0,9. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Составьте
закон распределения случайной величины Х – числа патронов, выданных
стрелку.
4. Фабрика отправила на торговую базу 500 изделий. Вероятность
повреждения в пути одного изделия равна 0,002. Найти закон распределения
случайной величины Х – числа повреждённых изделий в пути следования.
5. Построить графики следующих функций распределения. Определить
вероятность того, что случайная величина попадет в интервал .
а) б)
6. Найти плотность распределения случайной величины по заданной функции
распределения
а) б)
7. Плотность распределения непрерывно й случайной величины Х задана на
всей оси ОХ равенством
. Найти постоянный параметр С.
8. В следующих заданиях задана плотность
распределения непрерывной
случайной величины Х. Найти функцию распределения
.
а) б)
28
9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим
ожиданием . Вероятность попадания Х в интервал (10; 20) равна 0,3.
Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0; 10)?
Контрольные вопросы
1. Какая случайная величина называется дискретной?
2. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
3. Основное свойство закона распределения.
4. Что называется функцией распределения случайной величины?
5. Какая случайная величина называется непрерывной?
6. Какими свойствами обладает функция распределения случайной величины?
7. Какой функцией является функция распределения дискретной случайной
величины?
8. Чем характеризуется функция распределения непрерывной случайной
величины?
9. В каких пределах изменяется функция распределения?
10.Чему равна вероятность принятия конкретного значения для непрерывной
случайной величины?
11. Что называют плотностью распределения вероятностей непрерывной
случайной величины?
12. Какими свойствами обладает плотность распределения?
13. Возможно ли построить функцию плотности распределения для
дискретной случайной величины?
14. Объясните вероятностный смысл плотности распределения.
15. Какое распределение называется биномиальным?
16. Как определяется распределение Пуассона?
17. Как записывается плотность равномерного распределения?
18. Определить показательное распределение.
19. Какое распределение называется нормальным?
1.6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Наиболее распространенными числовыми параметрами, получившими
название числовых характеристик или моментов случайной величины,
являются математическое ожидание и дисперсия.
Начальным моментом порядка случайной величины Х называется
число:
- для дискретной случайной величины
,
- для непрерывной случайной величины
,
где хi – всевозможные значения Х и их pi – вероятности, f(x) – плотность
вероятности.
29
Относительным моментом порядка к случайной величины Х
(относительно числа а) называется число:
- для дискретной случайной величины
,
- для непрерывной случайной величины
Очень часто вместо самой случайной величины рассматривают
центрированную случайную величину .
Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют
число:
- для дискретной случайной величины
,
- для непрерывной случайной величины
.
Среди всех моментов можно выделить 2 основных.
Первый начальный момент называют математическим ожиданием
m1=МХ.
Свойства МХ:
1. MC=C, С = соnst;
2. М(СХ)=СМХ, С = соnst;
3. М (ХY)=МХ МY для любых случайных величин Х и Y;
4. М (ХY)=МХ МY для независимых случайных величин Х и Y.
Второй центральный момент называют дисперсией
DXm2
.
Свойства DX:
1. DX = 0, С = const;
2. D(CX) = C2DX, С = const;
3.
DYDXYXD
для независимых Х и Y;
4.
DXXCD
, С = const;
5.
,YDXMXDYMDYDXYXD
22
Х и Y независимы.
6.
Y,Xk2DYDXYXD
Среднеквадратическое отклонение случайной величины – это корень
квадратный из дисперсии Х=
х
=
DX
.
Асимметрией называется отношение центрального момента третьего
порядка к кубу среднеквадратического отклонения:
.
Эксцессом называют отношение четвертого центрального момента к
четвертой степени среднеквадратического отклонения без 3:
.
Коэффициентом ковариации (корреляционным моментом,
ковариацией) случайных величин Х и Y называют
)Y,Xcov()Y,X(k
.
Коэффициент ковариации имеет размерность ХY.
Для вычисления корреляционного момента дискретных случайных
величин используют формулу
.
Для непрерывных случайных величин:
30
.
Корреляционный момент служит для характеристики связи между
величинами X и Y. Если X и Y независимы, корреляционный момент равен 0,
иначе корреляционный момент отличен от нуля.
Часто удобно пользоваться безразмерными коэффициентами, не
зависящими от масштаба.
Коэффициентом корреляции называют
Свойства
:
1.
.
2. для независимых Х и Y.
3. Если ;
«+», если и одинаковы по знаку; «-», если и
разные по знаку;
4.
5. , когда случайные величины Х и Y линейно зависимы.
, если , если .
Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи
между Х и У: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к
единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента
корреляции к нулю, тем связь слабее. Коррелированными называют две
случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.
Некоррелированными называют две случайные величины, если их
корреляционный момент равен нулю.
П р им е р 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно
распределённой в интервале (3; 9).
Решение:
;
;
.
П р им е р 2. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение
нормально распределённой случайной величины X равны числам 12 и 4,
соответственно. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет
значение, заключённое в интервале (15; 21).
Р е ше н и е : Используя НОРМРАСП(x; ; ; 0-дифференциальная функция
распределения или 1 – интегральная функция распределения), получим
НОРМРАСП(21; ; ;1) –
- НОРМРАСП(15; ; ;1) = .
П р им е р 3. Двумерная случайная величина задана своим законом
распределения. Требуется найти коэффициент корреляции данной системы
случайных величин
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]