Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы управления технологическими процессами. Учебное пособие
.pdf
21
1.5. Пути создания АСР.
Пример математического описания процесса
1. Изучение свойств объекта регулирования:
- на основе литературных источников, словесного описания (дос-
тоинство способа: доступность и дешевизна);
- расчётно-математическое исследование АСР (этот способ экономичен, но труден);
- экспериментальный путь (это самый надёжный способ, но доро-
гостоящий и не всегда безопасный).
2. Определение (составление) алгоритма управления объектом.
3. Создание опытного образца АСР.
4. Экспериментальное испытание и выявление отклонений
от расчётных режимов (показателей).
5. Доводка системы.
Рассмотрим расчётно - математический путь исследования.
Он предполагает наличие математического описания (модели)
объекта регулирования. Математическая модель объекта предполагает наличие системы равенств и уравнений, связывающих изменение выходных параметров объекта со значениями внешних
факторов, управляющих воздействий, параметров установки и
окружающей среды. Математическая модель может быть представлена в виде исходных дифференциальных или/и алгебраических уравнений и в аналитическом виде, т. е. в конкретной однозначной зависимости искомого параметра. Математическая модель должна описывать изменение параметра не только при установившемся режиме работы, но и во времени, т. е. в процессе перехода с одного значения искомой функции на другое.
Путь составления математической модели
Составление математической модели включает следующие этапы.
1. Выявление основных физических закономерностей.
2. Определение взаимосвязи отдельных элементов (пара-
метров), входящих в систему.
3. Анализ полученной системы уравнений.
4. Упрощение уравнений, нелинейных зависимостей.
5. Установление допустимых реальных границ изменения
параметра (желательно привести систему к безразмерному виду).
6. Решение уравнения или системы.
22
1.6. Использование дифференциальных уравнений
dt
М
F
у
S
к
D
PaS
с
для исследования динамики объектов управления
На рис. 1.23 представлена схема подачи жидкости потребителю, в которой предусмотрен уравнительный резервуар с уровнем жидкости h и поперечным сечением Sc. Объектом управления
является расход жидкости Qa через регулирующий орган с проходным сечением Sk(t).
h
n, об/мин
Рис. 1.23. Система насосной подачи жидкости потребителю
Полагаем режим течения таким, что расходная характеристика имеет вид
, (1.5)
,)(/1 ghSPghPSQ
kaaka
ghSQ
a
=
ka
гдеa- постоянная,
arra
=-+=
000
, (1.6)
,
0
S и h
k
0
- начальные (либо установившие-
0
Q ,
a
ся) значения Qa, Sk и h.
Допустим жидкость - несжимаемая, давление на входе в на-
сос постоянное, стенки ёмкости достаточно жёсткие (т. е.r и Sc постоянные), а расход на выходе насоса не линейно зависит от
числа оборотов n и уровня h (т. е. давления на выходе):
QП= f(n, h,…).
По закону сохранения массы имеет место равенство:
dh
SQQ
=- и
caП
00
QQ = , (1.7)
aП
где h - постоянная величина.
Поскольку n и Sk - независимые переменные, аr, Sc, g,a-
постоянные величины, система (1.5) - (1.7) является замкнутой
23
(число уравнений совпадает с числом зависимых от Sk и
¶
h
n функций).
Сначала необходимо найти h = f (n, Sk, Sc, …), а затем под-
ставить в выражение (1.5).
Для анализа свойств объекта управления и АСР, как прави-
ло, достаточно иметь линеаризованные математические модели.
Обычно при линеаризации нелинейных выражений используют
первые два слагаемых разложения их в ряд Тейлора. Действуя
подобным образом, найдём линейное приближение правой части
уравнения (1.7):
Q
¶
QQQ
+=- . (1.8)
ПaП
n
¶
Q
¶
n
ПП
+
DD
h
¶
00
(
Qh
g
a
+-
2
h
)
hS
D
ka
С учётом выражения (1.6) и Dh®0 уравнение ( 1.7) примет вид
dh
dt
æ
S
Q
S
c
a
k
ç
ç
2
è
1
1
QhS
ak
ö
Q
¶
÷
×-×+×
÷
h
¶
ø
Q
¶
ПП
. (1.9)
h
=D
n
D
00000
nQ
¶
a
или
Q
11
hS
c
¶
П
,n
D
×=D+
0
¶
ö
Q
П
÷
×
÷
¶
ø
(1.10)
n
1
. (1.11)
Sh
c
где
dy
h
y = ,
0
æ
ç
T
c
ç
2
è
y
Tdt
c
0
Q
a
S
-=
k
00
hS
k
Решение линейного дифференциального уравнения первого
порядка (1.11) при любых управляющих Sk(t) и возмущающих
воздействиях на объект управления )t(nD- записать нетрудно.
1.7. Объекты регулирования и их свойства
Переходной процесс - изменение регулируемой величины
(выходного параметра) во времени. Он может быть: монотонным,
колебательным без перерегулирования, колебательным с перерегулированием (рис. 1.24) .
24
Рис. 1.24. Виды переходного процесса: 1 - монотонный; 2 -
Х
вых
t
321Хзад
0
колебательный без перерегулирования; 3 - колебательный с перерегулированием
Объекты управления, как правило, наиболее сложное звено
в системе управления. Они не всегда детально изучены. Объекты
регулирования классифицируются по ряду признаков:
1) по виду основного характеризующего параметра;
2) числу контролируемых величин (1, 2, 3…);
3) виду внутренних связей (механические, гидравлические,
электрические, биологические и т. д.).
4) по виду математического описания: объекты регулиро-
вания делятся на объекты с сосредоточенными параметрами и с
распределенными. Если регулируемая величина в состоянии равновесия имеет везде одинаковое значение, то такие объекты называются с сосредоточенными параметрами (для таких объектов
можно пренебречь распределением параметров в пространстве).
Если регулируемая величина имеет везде не одинаковое значение, объекты называются с распределенными параметрами (для
их изучения приходится использовать математическую модель с
дифференциальными уравнениями в частных производных).
Основные свойства объектов управления.
1. Емкость - количество вещества или энергии, находящее-
ся в объекте. Чем больше ёмкость, тем проще автоматизировать
объект. Для характеристики ёмкости объектов используется коэффициент ёмкости.
Коэффициент ёмкости характеризует количество вещества
или энергии, которое надо подвести или отвести от объекта, при
25
котором регулируемая величина изменяется на одну единицу
()(
)
=-¥
®
3
2
1
t
0
своего измерения.
2. Самовыравнивание - свойство объекта приходить к уста-
новившемуся состоянию после нанесения возмущения без воздействия регулятора (рис. 1.25).
Х
вых
Рис. 1.25. Виды кривых разгона: 1 – объект с положительным самовыравниванием; 2 – объект без самовыравнивания (нейтральные объекты);
3 – объект с отрицательным самовыравниванием
Объектами без самовыравнивания управлять труднее.
Коэффициент самовыравнивания - отношение скорости
изменения выходной величины объекта к величине входного воздействия.
dX
1
K
c
X
вых
×=
вх
.
dt
3. Усиление - способность объекта усиливать или ослаблять
входной сигнал. Это свойство характеризуется коэффициентом
усиления.
Коэффициент усиления (Ку) - отношение выходного сигна-
ла в установившемся состоянии ко входному сигналу в установившемся состоянии:
tXtX
=
K
y
( ) ( )
выхвых
вхвх
. (1.12)
00=-¥®
tXtX
Пример: даны входные и выходные характеристики объекта
(рис.1.26). Определить коэффициент усиления.
26
t
0
0
t
х
t
х
вых
,
м3\
ч
0
0
x
x
выххвых
t
t
0
tеt
, oC
вх
30
20
70
55
а) б)
Рис. 1.26. Входные (а) и выходные (б) параметры объекта
Согласно (1.12): Ку=(70-55)/(30-20)=1,5 [(oC×ч)/м3].
4. Инерционные свойства объекта - характеризуются постоянной времени Т0 (рис. 1.27). Единицы измерения Т0- секунда, минута, час.
Чем больше Т0, тем легче обеспечить автоматическое
управление объектом.
5. Чистое (транспортное) запаздывание
- интервал
0
времени от начала нанесения возмущающего воздействия до начала изменения регулируемой величины (рис. 1.28). Чем больше
чистое запаздывание, тем труднее управлять объектом.
х
зад
зад
0
tТ
0
T
Рис. 1. 27. Выходные характеристики объектов регулирования
Примером объекта управления, имеющего чистое запаздывание, является концентрация водного раствора щелочи (спирта,
соли, сахара и т. п.) в ёмкости - смесителе, в которую доставляют
27
по трубопроводу (лотку, транспортёру) концентрат основного
±
х
вых
t
t
t
х
вх
компонента из ёмкости - накопителя.
0
Рис. 1. 28. Пример входного и выходного характеристик объекта
0
0
Кривая разгона - реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие, выраженное графически.
Время разгона - время, в течение которого регулируемый параметр изменяется от установившегося на момент t=0 до значения,
отличающегося от нового установившегося значения не более чем
5 %. Объектом с малым временем разгона управлять непросто.
1.8. Показатели качества регулирования
Показатели качества делятся на на 4 группы:
1) прямые, определяемые непосредственно по кривой пере-
ходного процесса;
2) корневые, определяемые по корням характеристического
уравнения (степень колебательности, степень устойчивости);
3) частотные, определяемые по частотным характеристикам
(запасы устойчивости по амплитуде и фазе);
4) интегральные, получаемые путем интегрирования функ-
ций (например, интегральная квадратичная оценка).
Прямые показатели качества. Качество процесса регули-
рования характеризуется совокупностью показателей. Все показатели качества можно проследить, имея кривую изменения регулируемого параметра АСР при наличии регулятора (рис. 1.29).
28
-
=
s
-
s
s
T
p
0
х
з
X
вых
t
t
Т
t
p
D
s
х
max
s
1
Рис. 1.29. Переходная характеристика АСР
Основными показателями качества являются:
1) статическая ошибка D- отклонение установившегося зна-
чения регулируемой величины от задания. Характеризует точность управления. Надо стремиться, чтобы D®0;
2) время регулирования tp - время, по истечении которого
отклонение управляемой величины от установившегося значения
не превышает некоторой заданной величины£0,05 хз. Чем t
меньше, тем система лучше. Этот показатель характеризует быстродействие;
3)
s
- максимальное перерегулирование. Характеризует
превышение регулируемого параметра над заданным значением:
xx
;
max
з
4) степень затухания колебанияY, %:
.
=
y
Стремятся, чтобы
1001×
s
s
®0, тогдаy®100 %, но иногда довольству-
1
ются системами сy=70-80 %;
5) время чистого запаздыванияt. Чемt меньше, тем лучше;
6) период (Т) и частота собственных колебаний
w
= .
2
p
Перечисленные показатели являются прямыми показателя-
ми качествами и присущи только устойчивым системам.
29
1.9. Использование преобразования Лапласа
для исследования динамики систем регулирования
В общем виде поведение системы в динамике можно запи-
сать следующим образом:
n
xd
вых
A
n
n
dt
m
1
-
B
m
xd
1
-
m
-
dt
n
1
-
xd
A
n
-
вх
1
вых
1
n
1
-
dt
dx
вх
B...
dt
dx
вых
A...
dt
++++
,xB
вх
01
01
m
xd
BxA
вх
dt
m
+=++++
(1.13)
mвых
где Аi и Вi - коэффициенты, n и m - показатели степени.
Слагаемые правой части уравнения (1.13) определяют динамику изменения входной величины, левой - динамику изменения выходной.
При решении уравнений вида (1.13) возникает ряд трудностей: 1) в определении корней левой части уравнения, если n>3;
2) в задании начальных условий; 3) дифференциальное уравнение
(1.13) можно решить, если Хвх будет одним из типовых сигналов.
Чтобы избежать перечисленных трудностей, можно воспользоваться операционными исчислениями или переходом к
другой записи дифференциального уравнения с помощью какоголибо оператора (например, с помощью оператора Лапласа).
Преобразование Лапласа имеет вид:
¥
-
t
l
() ()
=
l
ò
0
, (1.14)
dtetxX
где x(t) - оригинал функции; X(l) - изображение по Лапласу;l оператор Лапласа (комплексная переменная).
Преобразования Лапласа можно использовать только для
непрерывных и ограниченных функций x(t).
Уравнение (1.13) после использования преобразования по
Лапласу примет вид:
n
n
n
-
1
n
-
1
)(X)BB
ll
×++
вх
01
1
m
mвых
m
-
1
...BB()(X)A...AA(
llllll
m
++=×++++
-
11
Отсюда следует:
1
l
)(X
l
вх
)(X
l
вых
)(W
m
m
==
n
n
m
-
1
m
-
1
n
-
1
n
-
BB...BB
++++
lll
01
. (1.15)
AA...AA
++++
lll
01
30
W(l) - передаточная функция. Передаточной функцией на-
www
+
=
зывается отношение выходной величины в изображении по Лапласу ко входной величине при нулевых начальных условиях.
При n³m передаточная функция является дробнорациональной.
Свойства преобразования Лапласа
1. Изображение от суммы равно сумме этих изображений.
2. Постоянный коэффициент можно вынести за знак изо-
бражения.
3. Если x(t) имеет изображение по Лапласу X(l), то
n
xd
dt
n
¸
n
,
)(llX
т. е. производной оригинала соответствует умножение изображения на оператор Лапласаl.
4. Если x(t) имеет изображение по Лапласу X(l), то
¥
)(
dttx
ò
0
)(
l
X
,
¸
l
т. е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на оператор Лапласаl.
1.10. Понятие о частотной характеристике системы
Если в выражение передаточной функции объекта регулирования или АСР W(l) подставитьl=jw, где
,w - кру-
1-=j
говая частота [рад/с], то получим для соответствующего объекта
регулирования или АСР выражение W(w). Например, из (1.15)
следует:
3
...
+--+
www
jBBjBB
3
3
wwww
AjAAjA
4
.
4
...1
-+--+
W
2
)(
=
w
210
2
21
3
Выражение W(w) всегда можно представить в виде суммы
вещественной части Re(w) и мнимой части jIm(w):
)()Re()(
jJW
.
m
Отсюда следует, что если на вход системы рис. 1. 30 подаёт-
ся гармонический сигнал с частотойw (рис. 1.31), то на выходе
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]