Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проектирование систем снижения шума оборудования при высокочастотном импульсном характере технологического процесса. Учебное пособие
.pdf
31
Таблица 2.5
Стандартные среднегеометрические и граничные значения
частот в октавных полосах, Гц
Номер полосы
f
i min
f
i ср.геом
f
i max
1
22,4
31,5
45
2
45
63
90
3
90
125
180
4
180
250
355
5
355
500
710
6
710
1000
1400
7
1400
2000
2800
8
2800
4000
5600
9
5600
8000
11200
Алгоритмы предусматривают расчеты собственных частот и форм
колебаний в октавных полосах частот при колебаниях относительно
осей Х и Y с учетом того, что осевые моменты инерции по этим осям
различны.
Расчет частоты, являющейся границей между заготовками
малого и большого волнового размера
Исходные данные: скорость звука в воздухе с0 = 340 м/с; волновое
число
2
k
м–1; длина волны
0
;
i
c
f
наибольший размер сечения R, м
(табл. 2.6). Результаты расчета даны в табл. 2.7.
Таблица 2.6
Исходные данные для расчета
Частота, Гц
, м
,k
м
–1
Rk
I участок
II участок
III участок
31,5
10,508
0,61275
0,175
0,089
0,1176
63
5,254
1,1959
0,341
0,1736
0,229
125
2,648
2,3728
0,676
0,344
0,4555
250
1,324
4,1456
1,35
0,689
0,911
500
0,662
9,4912
>1
1,378
1,822
1000
0,331
18,982
>1
>1
>1
2000
0,1655
37,965
>1
>1
>1
4000
0,08275
75,93
>1
>1
>1
8000
0,041375
151,859
>1
>1
>1
32
Таблица 2.7
Результаты расчета по частотам
Параметры
I участок
II участок
III участок
Наибольший размер
поперечного сечения
0,285
0,145
0,192
Заготовки малого
волнового размера
до f = 125 Гц включительно
до f = 250 Гц включительно
Заготовки большого
волнового размера
от f = 250 Гц
от f = 500 Гц
Расчет виброскоростей
Виброскорости колебаний по каждой координате рассчитывают по
соответствующим формулам.
Пределы суммирования по членам разложения Фурье (параметр i),
как показывает практика, достаточно принять от 1 до 5, что обеспечивает приемлемую точность.
В связи с тем, что для определения максимального уровня звуковой
мощности и звукового давления в каждой октавной полосе спектра шума, необходимо использовать максимальное значение полной виброскорости:
2
2
,
max ( , ) ( , )
t z x y
V t z V t z
,
то задача сводится к нахождению данного максимума. Алгоритм позволяет вычислить максимальную виброскорость заготовки в каждой октавной полосе ее спектра для участка заготовки lз, на котором ее сечение неизменно.
Исходные данные
1. Технологические и общие параметры согласно технологической
инструкции и константы:
Т – частота следования ударных импульсов, с;
t1 – длительность контакта шарика инструмента с деталью, с;
Р – сила взаимодействия инструмента и заготовки, Н;
АХ, АY, АХ1, АY1 – нормативные элементы силового воздействия ин-
струмента на заготовку, Н;
Е – модуль упругости стали, Па;
Sп – скорость подачи инструмента вдоль продольной оси заготовки, м/с;
JX, JY – моменты инерции относительно главных осей сечения заго-
товки.
33
2. Данные из других программ:
из подпрограммы OWNFREQ: матрицы минимальных и максимальных номеров форм колебаний по осям координат и октавным полосам;
m0.
3. Стандартная процедура максимума функции двух переменных
методом покоординатного спуска:
диапазон поиска по t: t0 = 0, t
max
= lз/Sп;
диапазон поиска по z: z0 = 0, z
max
= lз;
точность поиска по t и z (t = 0,1 c и z = 0,001 м).
Вычисление уровней звукового давления и звуковой мощности
Вычисление уровня звукового давления осуществляют по двум вариантам: для заготовок большого и малого звуковых размеров, что
определяется критерием k*R в сравнении с единицей (R – наибольший
размер сечения детали). Волновое число k* связано с длиной волны
соотношением:
*
2.k
Если выразить длину волны через скорость звука в воздухе с0 и через частоту звуковых колебаний fi, то получим:
*
0
2
.
i
f
k
c
В табл. 2.6 и 2.7 приведены расчеты критерия k*R для изделия с сечением постоянных размеров. Для рассматриваемого изделия и его части постоянного сечения имеют место следующие соотношения: заготовке малого волнового размера соответствуют октавные полосы частот с i=1 по i = 4 (среднегеометрические частоты в этих полосах: 31,5;
63; 125; 250); заготовке большого волнового размера – октавные полосы частот с i = 5 по i = 9. Функцию, определяющую диаграмму направленности звукового излучения, примем равной единице, чему соответ-
ствует = 90°.
Исходные данные:
FINOV[1…9] – массив значений среднегеометрических частот в
октавных полосах, Гц;
скорость звука в воздухе с0 = 340 м/с;
34
R – наибольший размер сечения заготовки на участке lз, R = 0,192 м;
Rп – расстояние от источника звука до приемника Rп = 1,5 м;
lз – длина участка заготовки постоянного сечения lз = 6,4 м;
Sз – площадь поверхности заготовки на участке lз, Sз = 2,76 м2;
Р0 – пороговое значение звукового давления, Р0 = 210–5 Па;
VCMAX[1…9] – массив значений максимальных значений виброскорости в октавных полосах (из подпрограммы VCMAX).
2.3.2. Расчет балки переменного сечения
Рассмотрим расчет балки, иллюстрацией которого является левый
(первый) участок, первые 300 мм длины которого представляют собой
часть механизма крепления заготовки, и средний (второй) участок, на
4,5 м которого цилиндрическое сечение постепенно переходит в сечение типа «капля». Используем формулы, описывающие зависимости
осевых моментов инерции и площадей поперечного сечения от продольной координаты Z для 1-го и 2-го участков (JX1(z), JY1(z), F2(z)) c достаточной для практических целей точностью. Общая последовательность расчетов уровней звукового давления и звуковой мощности для
балок переменного сечения такая же, как и для балок постоянного сечения: для каждой октавной полосы вычисляют собственные частоты
колебаний, затем – суммарные максимальные виброскорости, что дает
возможность перейти к вычислению звукового давления и его уровня,
а также звуковой мощности и ее уровня.
Расчет собственных частот
Для вычисления собственных частот балки переменного сечения,
защемленной в опорах, используем дифференциальное уравнение, по
которому в итоге можно получить собственные частоты в октавных
полосах:
4 3 2 2
2
4 3 2 2
d d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) ( )
( ) 2 ( ) 0,
d d d d d
y J z y z J z y z S z
J z y z p
z z z z z E
(2.19)
где р – круговая собственная частота колебаний, рад/с.
Под J(z) понимается соответственно JX(z) или JY(z). Поскольку эти
функции так же, как и функции S(z) считаются известными, можно
принять:
2
2
d ( ) d ( ) ( )
( ); ( ); ( ).
dd
J z J z S z
K z L z M z
z z E
35
Тогда (2.19) будет иметь вид:
4 3 2
2
4 3 2
d d ( ) d ( )
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
d d d
y y z y z
J z K z L z M z y z p
z z z
, (2.20)
представляя собой каноническую форму линейного однородного дифференциального уравнения 4-го порядка, в котором пропущен член, содержащий первую производную dy, и коэффициенты которого являются непрерывными по всей длине балки. Член р2 можно также представить функцией (z). Для уравнения такого вида, если их решить относительно высшей производной и задавать значения производных от нулевого до (n–1)-го порядка в некоторой, лучше всего, начальной точке,
искомую функцию у(z) можно представить рядом Тэйлора с любой заданной точностью.
Преобразуем выражение (2.20), положив:
2
4 3 3
4 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
( ); ( ); ( );
( ) ( ) ( )
d d d
2 ( ) ( ) ( ) .
d d d
K z L z M z p z
N z P z Q z
J z J z J z
y y y
N z P z Q z y
z z z
(2.21)
Определим начальные условия, соответствующие левой опоре балки, т. е. при z = 0. Условия защемления в опоре позволяют сразу записать:
y
(0)
= 0 – отсутствие перемещения на опоре;
00z
dy
dz
– отсутствие угла поворота на опоре.
Для производных 2-го и 3-го порядков примем во внимание, что
23
пер
изг
23
()
d ( ) d
;
d ( ) d ( )
Qz
y M z y
z EJ z z EJ z
,
где М
изг
– изгибающий момент; Q
пер
– перерезывающая сила.
Примем, что начальной ситуацией для возбуждения собственных
колебаний является напряженное состояние, вызванное некоторой единичной силой, приложенной в пролете. Логично предположить, что эта
единичная сила должна быть приложена в такой точке, чтобы опорный
момент был максимален. Этой ситуации отвечает приложение силы на
расстоянии 1/3 пролета, что для балки на защемленных опорах дает:
23
23
d 0,148 d 0,7407
0 , .
d ( ) d ( )
y L y
при z
z EJ z z EJ z
при
36
Теперь исходя из (2.21) и полагая
11
( ) ( )
( ) , ( )
( ) ( )
N z L z
N z L z
EJ z EJ z
:
4
11
4
00
d
при 0 2,81814 ( ) 0,148 ( )
d
ZZ
y
z N z L P z
z
(2.22)
и, ограничиваясь пятью членами ряда, записываем:
5
11
5
00
d
при 0 2,81814 ( ) 0,148 ( )
d
ZZ
y
z N z L P z
z
. (2.23)
Запишем решение дифференциального уравнения в виде ряда Тейлора:
4
00
(0 ) ( 0) (0) ( 0 ) (0 )
()
...
1 1 2 3 4
IV
z z z z
y y y y y y
или с учетом (2.22) и (2.23) и того, что z0 = 0:
2 3 4
1 1 0 1 0
5
1 0 1 0
0, 7407
0,148 (1, 4814 ( ) 0,148 ( ) )
2 6 24
(1,4814 ( ) 0,148 ( ) )...
120
zz
zz
z z z
y L N z L P z
z
N z L P z
Подстановка полученного результата в (2.20) с учетом обратных
преобразований N1(z), L1(z), P(z) и Q(z) в J(z), K(z), L(z), M(z) дает возможность решить это уравнение относительно р. При этом величина р
оказывается выраженной как функция от z: р = (z). Координату z как
переменную можно выразить через подачу инструмента и время: z = Sпt
и таким образом получить:
р = (t).
Теперь остается функцию (t) разложить в ряд Фурье (стандартным образом) и, переходя к частоте fi, измеряемой в с–1 от круговой частоты р, измеряемой в рад/с, окончательно для собственных частот колебаний получить:
0
1
1
( ) cos sin ,
22
i n n
n
a
f t a nt b nt
где а0, аn, bn (n = 1, 2, …) – определяются стандартными формулами для
коэффициентов ряда Фурье.
Значения fi, полученные при различных n = 1, 2, …, образуют последовательность частот, из которых принимаются во внимание частоты в диапазоне от 22,4 до 11200 с–1, которые затем рассортировываются
по октавным полосам частот. Все описанные действия проделываются
дважды: для колебаний относительно оси Y и для колебаний относительно оси X.
37
Исходными данными для расчета являются:
интерполяционные формулы для моментов инерции в функции
координаты z (JX(z), JY(z));
стандартные формулы для расчета коэффициентов ряда Фурье
а0, аn, bn (n = 1, 2, …);
продифференцированные по z интерполяционные формулы:
2
2
22
d ( ) d ( )
d ( ) d ( )
( ); ( ); ( ); ( );
d d d d
yy
xx
x y x y
J z J z
J z J z
K z K z L z L z
z z z z
вспомогательные функции:
11
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ); ( ); ( ); ( );
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ); ( ); ( ); ( );
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
x x x x
x x x x
y y y y
y y y y
y y y y
K z L z N z L z
N z P z N z L z
J z J z EJ z EJ z
K z L z N z L z
N z P z N z L z
J z J z EJ z EJ z
дифференцированные вспомогательные функции:
( ),
x
Nz
( ),
x
Nz
( ),
y
Nz
( ),
y
Nz
( ),
x
Pz
( ),
x
Pz
( ),
y
Pz
( ),
y
Pz
1
( ),
x
Nz
1
( ),
x
Nz
1
( ),
x
Lz
1
( ),
x
Lz
1
( ),
y
Lz
1
( );
y
Lz
числовые значения всех приведенных функций от z при z = 0, ко-
торые будем обозначать теми же буквами, только строчными с индексом 0 для функций, 01 и 02 – для первых и вторых производных.
Расчет виброскоростей
Рассмотрим возможное решение этой задачи для одной из координат – пусть это будет координата Y. Для координаты Х решение будет
аналогичным.
Обозначим
()
()
y
Jz
Kz
y
и
2
2
()
()
y
Jz
Lz
y
. Тогда можно записать:
4 3 2 2
4 3 2 2
п
1
11
()
( ) 2 ( ) ( )
2
sin sin sin .
y
y
ki
y y y F z y
J z K z L z
z z z E z
P
kz kS i
tt
E l l T
(2.24)
Подобное дифференциальное уравнение может быть проинтегрировано, если удастся разделить переменные. Для возможности выполнить такой прием примем следующие допущения.
38
1. Рассмотрение изменения площади сечения конкретной детали
показывает, что это изменение сравнительно невелико. Коэффициенты
вариации ( = /F) составляют для левого участка 1 = 0,128 и для 2-го
участка 2 = 0,168. Можно допустить вместо F(z) принять среднегеомет-
рическое значение площади.
2. Заменим переменную, выразив
2
d
d
yV
tt
, где
ddy
Vt
есть ничто
иное, как виброскорость.
3. В правой части уравнения (2.24) член
sin
kzl
как один из сомно-
жителей гармонического временного синусного произведения выразим
через время и подачу:
п
sin
kS
t
l
.
Теперь (2.24) будет иметь вид:
4 3 2
2
п
1
4 3 2
11
2
( ) 2 ( ) ( ) sin sin
y
r
y
ki
P
y y y F V kS i
J z K z L z t t
z z z E t E l T
.
(2.25)
Для удобства интегрирования правую часть уравнения можно выразить как сумму синусов аргументов, полученных комбинациями сумм
и разностей исходных аргументов:
1
sin sin sin sin( ) sin( ) sin( ) sin( )
4
x y z x y z y z x z x y x y z
.
В нашем случае:
п
1
22
, .
Si
x y t z t
lT
После преобразования правой части уравнения (2.25) и переноса
функций времени t и функций координаты z по разные стороны знака
равенства получим:
пп
1 1 1
11
4 3 2
4 3 2
d 2 2 2 2 2
sin 2sin sin
d4
( ) 2 ( ) ( ) .
y
r
ki
y
P
F V kS i i kS i
t t t t t
E t E l T T l T
y y y
J z K z L z
z z z
Подобные уравнения можно решить, если найти такое С, что
42
12
42
d d d
, , , , ,... , .
d d d
V y y
F V t C F y z C
t t t
(2.26)
39
Другими словами, использовать возможность отдельного интегрирования правой и левой части уравнения (2.26) и получить решение в
виде:
12
( , , , ) .F V x y z F F
Параметр С может быть определен из дополнительных условий.
Рассмотрим начальные условия на шарнирной опоре с координатами
z = 0 и t = 0. Для шарнирной опоры
0, 0yy
(так как изгибающий
момент на такой опоре равен нулю),
0
d
0
d
t
y
V
t
(так как смещение на
опоре, а следовательно, и скорость равны нулю). Осталось определить
ddy
z
и
3
3
ddy
z
.
Угол наклона
ddy
z
упругой линии на шарнирной опоре можно
найти, если принять, что выведение балки из равновесия для дальнейших колебаний осуществляется импульсом силы Р1, с которой происходит взаимодействие одиночного шарика с заготовкой. Максимальный
угол наклона сечения балки на опоре соответствует расположению силы Р1 в середине пролета. При этом мгновенный угол поворота
2
1
0
d
,
d 16 (0)
y
z
y
Pl
y
z EJ
(2.27)
где Р1у – проекция силы Р1 на ось Y.
Третья производная равна:
3
3
d
d ( )
y
y
Q
y
z EJ z
,
где Qy – мгновенная реакция на опоре, а Jy(z) = Jy(0),
12y
y
P
Q
, откуда
3
1
3
d
.
d 2 (0)
y
yP
z EJ
(2.28)
Значения производных более высоких порядков получим из правой
части формулы (2.26), если перепишем ее в виде:
4 3 2
4 3 2
( ) ( )
( ) ( )
yy
y K z y L z y
z J z z J z z
, (2.29)
40
откуда для z = 0, и приняв
()
()
y
Kz
Mz
Jz
,
()
()
y
Lz
Nz
Jz
и
()
()
y
Mz
Qz
Jz
,
получим:
4
1
4
5
1
5
(0)
(0) ,
2 (0)
( ) .
2
y
y
y
P
y
M
z EJ
P
y
Qz
zE
(2.30)
Теперь можно проинтегрировать правую и левую части уравнения
(2.26):
левая часть будет иметь вид:
пп
1 1 1
11
d
4
2 2 2 2 2
sin d 2sin d sin d ,
y
y
ki
P
cE
Vt
FF
kS i i kS i
t t t t t t t t
l T T l T
а интеграл этого уравнения:
1
1
пп
1 1 1
пп
11
1 1 1
4
2 2 2 2 2
cos 2 cos cos
.
2 2 2 2 2
y
r
ki
P
CE
F V t
FF
kS i i kS i
t t t t t
l T T l T
C
kS i i kS i
t t t t t
l T T l T
Правую часть уравнения (2.26) разложить в ряд Тейлора, ограничившись пятью членами ряда:
2 3 4 5
2
(0) (0) (0) (0) (0) (0) ...
1! 2! 3! 4! 5!
IV V
z z z z z
F y y y y y y y
Подставляя сюда значения производных из (2.27)–(2.30), получаем:
2 3 4 5
1 1 1 1
2
(0) (0)
.
16 (0) 12 (0) 48 240
y y y y
yy
zP l z P z P Q z P Q
F y C
EJ EJ E E
Найдем постоянные интегрирования из начальных условий:
при t = 0 для функции F1: C1 = 0 и С = 0;
при z = 0 для функции F2: С = 0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]